由同一个三角形构造的一批命题

等腰三角形的顶角为20°,这是一个极为普通的三角形,用它构造的一批命题却是题型各异,思路新颖,解法巧妙,令人耳目一新,现介绍如下,以飨读者。     

由一道课本习题引出的一串命题

现行高一数学课本(试验修订本·必修·下册)中有这样一道习题:已知α+β+γ=nπ丌(n∈Z),求证tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ.此等式的实质是三个角的正切之和与正切之积可以互相转化.再作深入探讨,还可以引伸出以下几个有趣而且也有广泛应用的新命题.     

一个与等腰三角形有关的命题

我们在学习等腰三角形时经常会遇到这样一个命题：等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．下面让我们一起来对此命题进行探究．     

一个三角形命题的空间推广

在平面几何中,有如下一个命题: 设P为△ABC内任意一点,AP、BP、CP的延长线分别交对边于A1、B1、C1,则     

周界中点三角形的一个命题

命题　设Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的周界中点 ,且ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ,ＡＢ =ｃ ,ｓ=12 (ａ +ｂ +ｃ) ,△ＡＥＦ、△ＢＤＦ、△ＣＤＥ、△ＡＢＣ的面积分别记为△Ａ、△Ｂ、△ Ｃ、△ ,△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ .则有 ∑(ｓ-ａ)△ Ａ=△22Ｒ.证明 :由三角形周界中点的定义知ｓ=ＡＢ +ＡＥ =ｃ +ＡＥ ,ｓ=ＡＣ +ＡＦ =ｂ +ＡＦ ,则ＡＥ =ｓ-ｃ,ＡＦ =ｓ-ｂ .又∵ｓｉｎＡ =ａ2Ｒ,ｓｉｎＢ =ｂ2Ｒ,ｓｉｎＣ =ｃ2Ｒ,∴△Ａ =12 ＡＥ·ＡＦ·ｓｉｎＡ=12 (ｓ-ｃ) (ｓ-ｂ)· ａ2Ｒ=ａ4Ｒ(ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ) .故 (ｓ-ａ)△Ａ=…     

从一个假命题说起

1 一个假命题命题:任一个三角形是等腰三角形.已知:△ABC(如图1).求证:△ABC 为等腰三角形.证明:如图2,作 AB 的中垂线 MD 交∠ACB 的平分线于 D 点,分别作 DE⊥BC,垂足为 E,DF⊥AC,垂足为 F,连结 BD、AD,则易知:DE=DF,BD=AD.     

由一道几何命题引起的思考

九年义务教育几何课本第二册第118页有这样一道自我检测题： 　　求证：等腰三角形两腰上的高的交点,与底边两端点的距离相等.……     

由一代数不等式引出的若干命题

高中课本上,有这样一个代数不等式: 设a,b,c∈R+,则 b+c/a+c+a/b+a+b/c≥b. (1) 利用二元或三元均值不等式,可方便地证明(1)式.本文将对(1)作适当变形,从而引出若干有趣结论,下面以命题形式加以简述.     

一个奇特的定值命题

通常的定值命题，如“正多边形内一点到各边距离之和为定值”，是图形不变，而点运动形成定值．有意思的是，笔发现一个定值命题是点不动，而图形发生改变形成的．     

一个三角命题的探讨

文[1]中介绍了两个三角命题:命题1若sin3θ-cos3θ=-1,则sinnθ-cosnθ=-1(n为正奇数).命题2若sin3θ cos3θ=1,则sinnθ cosnθ=1(n为正整数).笔者阅后深受启发,继续探讨发现一、命题1是命题2的特例(在命题2中用-θ换θ同时令n为奇数就得到命题1).二、命题2可以推广为:命题3若sinmθ cosmθ=1(m为正奇数),则sinnθ cosnθ=1(n为正整数).证明当m=1时,sinθ cosθ=1,∴sinθcosθ=0,∴sinθ=0cosθ=1或csionsθθ==10.∴sinnθ cosnθ=1.当m≠1时,∵sinmθ≤sin2θ,cosmθ≤cos2θ,∴sinmθ cosmθ≤sin2θ cos2θ=1.当且仅当sinmθ=sin2θco…     

由一个错误答案引出的问题

中学生学习报数学周刊高一版第7期给出了这样一道题"函数f(x)=1/(x2-ax-a)在[-2,-1/2]上单调递增,那么a的取值范围是( )     

一个三角形最值命题的应用

命题直角三角形ABC的周长为定值l,则它的面积的最大值为(3-22)/(4)l2.     

一个错误命题的反例图形及其作法

正在学习平行四边形的时候,学生时常会遇到这样一道判断题:一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形吗?学生判断这个命题时,往往在作图时总是受平行四边     

由同一考点命题的变迁看新课程能力要求的变化

本文通过列举同一考点在不同时期命题的变迁,充分诠释新课程标准在学生能力要求上的变化。     

一个关于全等三角形的有趣命题

两个大的全等三角形，把其中一个划分成两个小的三角形，一个涂成红色，另一个涂成蓝色；对另一个大三角形也同样处理。今问：若两个红色三角形全等，一定能保证两个蓝色三角形也全等吗？     

由一个错误命题引起的思考

命题1 互为反函数的两个函数的图象若有交点，则交点必在直线y=x上．     

一个命题的探究

<正>等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.这是我们一个常见的命题,本文对此命题进行一番探究.一、命题及证明思路已知:如图1,△ABC中,AB=AC,∠BAC为锐角,P为底边BC上任意一点,点P到两腰的距离分别为r1,r2,腰上的高为h,求证:r1+r2=h.     

一个命题的探究

在学习等腰三角形时经常会遇到这样一个命题:"等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.下面让我们一起来对此命题进行探索.一、命题的证明已知:如图1,△ABC中,AB=AC,∠BAC为锐角,P为底边BC上任意一点,点P到两腰的距离分别为r1,r2,腰上的高为h,求证:r1+r2=h.思路分析:由题目已知可以发现:图中有三条高,由高即可联想面积,故本题可利用面积法进行证明.     

倍角三角形三边关系的一个命题

定理　在△ABC中 ,∠A =n∠B ,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边 ,a、b、c的关系记为 fn=fn(a ,b,c) =0 ,则有 (记N =14( 2n + ( -1 ) n +1+ 1 )fn=∑nk =1( -1 ) k- 1C2k - 1n b[4a2 c2 -(a2 -b2 +c2 ) 2 ]k - 1(a2 +c2 -b2 ) n- 2k+1-a( 2ac) n - 1.证明 :由 (cosB +isinB ) n =∑nk=0 Ckncosn -kB·(isinB) k=cosnB +isinnB ,得　sinnB =∑Nk=1C2k- 1n ( -1 ) k- 1sin2k- 1B　·cosn - 2k+1B .①又由sinAsinB=sinnBsinB =ab ,sinnB =absinB ,代入①即得∑Nk=1( -1 ) k - 1C2k- 1n sin2k- 2 B·cosn - 2k+1B -a =0 .②由余…     

来自中考命题组的一次探究活动——关于一道图形分割试题的探讨

我曾和以前的学生一起探究过这样的问题 :如何画两条直线将一个正方形分成面积相等的四块 .受当时探究的启发 ,在参与 2 0 0 3年泰州市中考数学命题时 ,我编制出以下问题 :为了美化环境 ,需在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草 .现将这块空地按下列要求分成四块 :( 1 )分割后的整个图形必须是轴对称图形 ;( 2 )四块图形形状相同 ;( 3 )四块图形面积相等 .现已有两种不同的分法 :( 1 )分别作两条对角线 (图 1 ) ;( 2 )过一条边的三等分点作这边的垂线段 (图 2 ) .(图 2中两个图形的分割看做同一方法 ) .请你按照上述三个要求 ,分别在下…