“饮马问题”的应用与拓展

<正>初中阶段求最短路径问题中,"饮马问题"是最典型的问题之一,它既符合生活实际,又蕴含深刻的数学知识,是一道经久不衰的经典问题.其实,实际生活中的许多问题就是"饮马问题"的应用与拓展,本文试对"饮马问题"作一分析与拓展.     

“将军饮马”问题的应用及拓展

<正>我们知道,典型的"将军饮马"问题属"一动两定"型问题,其本质是将同侧两折线段之和通过轴对称化为异侧两折线段之和.而其拓展、延伸与变式问题,往往需要通过辅助线转化为"将军饮马"问题,最后,利用"两点之间线段最短"或"点到直线垂线段最短"基本原理解决.本文主要探究"一定两动"型和"两定两动"型最值问题的解题策略,供参考.     

饮马问题的拓展与应用

1.走进数学故事 唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头2句说：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题。如图1所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点A出发,走到河边饮马后再到点B宿营请问怎样走才能使总路程最短？这个问题早在古罗马时代就有了,传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦。一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发,先到河边饮马,然后再去河岸同侧的B地开会,应该怎样走才能使路程最短？从此,这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传开来^[1]。对称性在初等数学到高等数学中都有着广泛的应用,利用对称性求最值的问题伴随着学生从小学到大学的数学学习过程。在恰当的时机引领学生对对称性问题进行合理地探索,显得迫切而必要。     

"饮马问题"的拓展

问题如图1，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩A牵出马，到笔直的河岸l去饮马，然后回到帐篷B，走什么样的路线最短？     

又见“饮马问题”

正~~     

又见“饮马问题”

解如图1,先求｜PC1｜＋｜PC2｜的最小值．作点C1（2,3）关于x轴的对称点C3（2,-3）,则｜PC1｜＋｜PC2｜＝｜PC3｜＋｜PC2｜,因为两点之间线段最短,所以｜PC3｜＋｜PC2｜.     

“将军饮马”问题的应用

据说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦.一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题.军官每天从军营A出发先到河边C处饮马,然后再去河岸同测的B处开会,(如图1)应该怎样走才能使路线最短?这个问题被称为“将军饮马”问题而广为流传.体现在新课标人教版八年级(上)第131页探究,解答见课本.下面我们再来看看在其他方面的应用.我们知道,光在同一种介质里的传播是依直线进行的,也就是说依最短路线进行的.但是当光从一点射出后不是直接射向另一点,而是经过镜面反射到另一点的时候,光仍旧是依最短的路径进行的.…     

“将军饮马”问题再探

挖掘教材,抓住教材典型问题做进一步研究是一线教师经常在做的,而如何在教学中对经典问题进行更加深入的挖掘就成了关键笔者认为,抓住了问题的本质和各条件之间的联系,进行横向或纵向的对比剖析,洞悉内在联系,必能从常见问题中找到新的突破口下面笔者以一个经典问题为例,通过初中阶段的相关知识,给出自己独特的解决方案与各位读者和专家研究,以期呈现另类的数学之美。     

“将军饮马”问题的求解策略

<正>“将军饮马”是初中数学中最为常见的最值问题求解模型,掌握“将军饮马”模型,并对该模型的具体应用做分析,有利于提高同学们的思考问题方式和解决问题的能力.一、“将军饮马”问题阐述在人教版数学八年级上册(P85页),13.4课题学习介绍了最短路径问题,这就是我们俗称的“将军饮马”问题,就这个问题的基本描述来看,牧马人在A点,最后回到B点,牧马人要去河边饮马,如何选择C点使CA+CB的值最小?     

“将军饮马”问题的求解策略

<正>最值问题是初中数学中的重要内容．学生通过最值问题的探究,不仅可以巩固相关的知识和技能,还能感悟其中重要的思想方法．线段最值问题常通过平移、翻折、旋转、相似等方法转化为“两点之间线段最短”“垂线段最短”这两个基本原理来解决．本文以“将军饮马”问题为例,结合几个不同类型的问题加以说明,与同行交流分享．     

饮马问题

唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说:"白日登山望峰火,黄昏饮马傍交河."诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图1所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走     

探究数学题中的“将军饮马”问题

相信大家都有听过:"白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河。"这两句话是来自诗人李颀的唐诗《古从军行》的开头前两句。其实在这首诗中,它又隐含着一个非常重要的初中数学问题,那就是轴对称的应用。     

“将军饮马”型问题的一种推广

<正>1问题的提出我校九年级组织的一次数学考试中,有这样一道题:如图1,AD⊥DC,BC⊥CD,且AD=8,BC=3,CD=10,在线段CD上找一点P,使PA+PB的值最小,并求出该最小值.显然,该题属于较熟悉的"将军饮马"型问题,只需先求出点B关于直线CD的对称点B_1,再连接AB_1,交CD于点P,由轴对称性     

“将军饮马”型问题的一种推广

1问题的提出
　　我校九年级组织的一次数学考试中,有这样一道题：
　　如图1,AD ⊥ DC,BC ⊥CD,且 AD ＝8,BC ＝3,CD ＝10,在线段CD上找一点P,使PA ＋ PB 的值最小,并求出该最小值。     

由“将军饮马”再探路径问题

<正>路径最短问题是初中数学教学中的重要题型,又是与生活实际有密切联系的应用问题.引导学生运用所学知识解决路径最短问题,体现了学生的学习与社会生活的密切联系,强调了数学来源于生活,服务于生活的新课程理念.本文通过再次研究"将军饮马"问题,把两条路径之和最短问题拓展到三条路径之和最短问题,以此激发学生学习数学的兴趣,培养学生探究科学的热情.一、情境导入问题1(将军饮马)牧马人从A地出发,     

由“将军饮马”说起

相传,海伦是古希腊亚历山大城精通数学、物理的学者.一天,一位将军向他请教一个问题:如图1所示,将军准备从A点出发,想让马到一条笔直的河流上去饮水,然后再去B地,那     

由“牧马人饮马”想到

主要叙述了牧马人饮马问题的解决方法在平面图形中的推广应用。     

“将军饮马”妙用两例

相传 ,古希腊亚历山大里亚城有一位精通数学和物理的学者 ,名叫海伦 .有一天一位将军专程拜访海伦 ,求教一个百思不得其解的问题 :如图 1所示 ,从A地出发到笔直的河岸去饮马 ,然后再去B地 ,走哪一条路线最短呢 ?这个问题后来就被称为平面几何中的“将军饮马”问题 .图 1当时海伦稍加思索便圆满地解答了这个问题 :图 2如图 2所示 ,设A点关于河岸的对称点为A′ ,连接A′B与河岸交于M点 ,则从A点到M点去饮马 ,再从M点到B点去 ,走的路线最短 .这是因为对于河岸上任何异于M点的M点都有AN NB =A′N NB >A′B =A′M MB =AM MB .据…     

“将军饮马”模型的应用

"将军饮马"模型其实是根据两点之间线段最短的原理求最短距离的一个方法模型,若已知两点在同一直线的一边,要在此直线上求一点,使得此点到已知两点的距离之和最小,作法是求已知两点中其中一点关于该直线的对称点,对称点与另外一点的连线与已知直线的交点即为所求的点,且最小距离之和为对称点与另一点的连线的线段长.     

趣谈将军饮马问题

海伦(Hemn)，古希腊数学家、物理学家、天学家，他曾巧妙地运用轴对称知识解答过一位希腊将军向他请教的“饮马问题”．