2005年全国高中数学联赛加试第2题的探讨

探讨一些竞赛试题的背景和演变是一件十分有意义的工作，它既可挖掘知识之问的纵横联系，又可以培养学生发现问题、解决问题的能力，同时可激发学生学习数学的兴趣，还可以揭示命题人的思维方法，为学生发现问题的本质提供思路和借鉴的模式，让他们也能享受参与做科学研究的乐趣，更能促使他们在以后科学研究的道路上走得更好些，更远些。     

2006年全国高中数学联赛加试第3题的推广

2006年全国高中数学联赛加试第3题： 解方程组：（x-y＋z-w=2;x^2-y^2＋z^2-2^2=6;x^3-y^3＋z^3-w^3=20;x^4-y^4＋z^4-w^4=66.）     

2004年全国高中数学联赛加试第一题解法探讨

例在锐角三角形ABC中,AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点,FG与AH相交于点K.已知BC=25,BD=20,BE=7,求AK的长.     

2019年全国高中数学联赛加试第三题的改进

原题设m为整数,|m|≥2.整数列a1,a2,…满足a1、a2不全为零,且对于任意正整数n,均有an+2=an+1-man.证明:若存在整数r、s(r>s≥2)使得ar=as=a1,则r-s≥|m|.[分析]不妨设a1与a2互素(否则,若(a1,a2)=d>1,则(a1/d,a2/d)=1,且用a1/d,a2/d,…代替a1,a2,…,条件与结论均不改变).     

2005年全国联赛加试第二题的另解

题目设a、b、c、x、y、z〉0满足 cy＋bz=a,az＋cx=b,bx＋ay=c. 求函数 f（x,y,z）=x^2/1＋x＋y^2/1＋y＋z^2/1＋Z的最小值．     

关于2003年全国高中数学联赛加试第二题

题目　设三角形三边长分别是整数l、m、n ,且l>m >n .已知　3l1 0 4 =3m1 0 4 =3n1 0 4 ,其中 {x}=x - [x],而 [x]表示不超过x的最大整数 .求这种三角形周长的最小值 .1　试题的另解解 :由已知得3l≡3m ≡3n(mod 1 0 4 ) .①式① 3l≡3m≡3n(mod 2 4 ) ,3l≡3m≡3n(mod 54 ) 3l-n≡3m -n≡1 (mod 2 4 ) ,3l-n≡3m -n≡1 (mod 54 ) .因为 ( 3,2 4 ) =( 3,54 ) =1 ,根据欧拉定理得 3φ( 2 4) ≡1 (mod 2 4 ) ,3φ( 54) ≡1 (mod 54 ) ,其中φ(2 4 ) =2 4 1- 12 =8,φ(5 4) =5 41- 15 =5 0 0 .设k1、k2 是分别使 3k≡1 (mod 2 4 ) ,3k≡1 (mod …     

2005年全国高中数学联赛解答题第三题的别解

题目:过抛物线y=x2上的一点A(1,1)作抛物线的切线,分别交x轴于D,交y轴于B.点C在抛物线上,点E在线段AC上,满足EAEC=λ1;点F在线段BC上,满足FBCF=λ2,且λ1 λ2=1,线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时,求点P的抛物线轨迹方程.参考答案提供的解法较烦琐,笔者经过研究找到了四     

一道全国高中数学联赛解析几何题的解题分析

2003年全国高中数学联赛已于10月份落下帷幕，一试中第15题引人注目，该题设计一种探究性的情景，能充分发挥学生的想象力和创造力。     

2004年全国高中数学联赛加试第三题的别解

2004年全国高中数学联赛加试第三题是:对于整数n≥4,求出最小的整数f(n),使得对于任何正整数m,集合{m,m 1,…,m n 1}的f(n)元子集中,均有至少3个两两互素的元素.     

2005年全国高中数学联赛加试题另解

第一题 如图1，在△ABC中，设AB〉AC，过点A作△ABC的外接圆的切线l，又以点A为圆心、AC为半径作圆分别交线段AB于点D，交直线l于点E、F．证明：直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心．     

巧思探求的过程妙解本质的揭示--谈2003年全国高中数学联赛加试第一题

例1　过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线,切点为A、B ,所作割线交圆于C、D两点,C在P、D之间.在弦CD上取一点Q ,使∠DAQ =∠PBC .①求证:∠DBQ =∠PAC .②( 2 0 0 3,全国高中数学联赛)本文所提供的解题思路,希望能与读者一起走进题目的深层结构,并获得怎样学会解题的有益启示.1　朦胧对称的探索图1　　根据题目的描述,我们画出一个图形(图1 ) ,根据图形,我们看到,在A、C、B、D四点共圆的条件下,已知式①与求证式②存在一种对称关系(图2 ) .图2当然,由一对上下相等的角推出另一对(由同样六个点组成)上下相等的角不是无条件的,题…     

2006年全国高中数学联赛加试题另解

第一题 以B0、B1为焦点的椭圆与△B0B1的边ABi交于点Ci（i=0，1）．在AB0的延长线上任取点P0，以B0为圆心、B0P0为半径作圆弧P0Q0交C1B0的延长线于点Q0；以C1为圆心、C1Q0为半径作圆弧Q0P1交B1A的延长线于点P1；[第一段]     

2003年全国高中数学联赛加试题另解

2003年全国高中数学联赛结束后，编辑部收到很多热情读的来稿，就联赛加试题给出了许多异于标准答案的解法．现根据来稿先后及解法的特点将部分解答进行整理，望与广大读分享．     

2004年全国高中数学联赛加试题另解

第一题　在锐角△ABC中 ,AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H ,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点 ,FG与AH相交于点K .已知BC =2 5,BD =2 0 ,BE =7.求AK的长 .解法 1 :易得CD =1 5,CE =2 4 .又易知B、C、D、E四点共圆 .由托勒密定理知CE·BD =DE·BC CD·BE .代入数据解得DE     

2002年全国高中数学联赛加试题另解

20 0 2年全国高中数学联合竞赛于 2 0 0 2年 1 0月 1 3日结束 ,许多读者于一周之内寄来加试题的解答 ,其中诸多证明方法或解法相同或相近 .现根据来稿先后及解法特点整理如下 .图 1第一题　如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =6 0° ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于点Ｈ ,点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ .求ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值 .解法 1:连ＯＢ、ＯＣ ,并设△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ .由三角形外心性质知∠ＢＯＣ =2∠Ａ =12 0° .由垂心性质知∠ＢＨＣ =180° -∠Ａ =12 0° .所以 ,Ｂ、Ｃ、Ｈ、Ｏ四点共圆 .由…     

2007年全国高中数学联赛加试题另解

第一题 在锐角△ABC中,AB〈AC,AD是边BC上的高,P是线段AD内一点,过P作PE⊥AC,垂足为E,作PF⊥AB,垂足为F,O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心．求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心．     

2005年全国高中数学联赛

一、选择题(每小题6分,共36分) 1.使关于x的不等式 (√x-3)+(√6-x)≥k 有解的实数k的最大值是( ).