抽象函数的周期性研究

关于抽象函数的周期性研究,多见于报刊,但都不够全面,现将常见的类型归结于下,供参考．1．若函数f（x）（x∈R）满足f（x＋a）=f（x＋b）,则以f（x）（x∈R）是周期为a-b的函数．证明 令x’=x＋b,贝x＋a=x＋b＋（a-b）=x′＋（a-b）,由已知条件f（x＋a）=f（x＋b）得f（x′）=f（x′＋（a-b））,即a-b为函数f（x）的一个周期．     

函数单调性的一些应用

1．恒成立问题的求参 例1已知函数，f（x）=a＋2x-x^2/x，x∈[1，＋∞），若对任意x∈[1，＋∞），f（x）〈0恒成立，试求a的取值范围．     

2008年高考江西卷压轴题的简解及推广

题已 知函数f（x）=1/√1＋x＋1/√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）. （1）当a=8时,求f（x）的单调区间; （2）对任意正数a,证明1〈f（x）〈2．     

2006女子数学奥林匹克

第一天 1．设a＞0，函数f：（0，＋∞）→R满足f（a）=1．如果对任意正实数x、y，有f（x）f（y）＋f（a/x）f（a/y）=2f（xy）, 求证：f（x）为常数。     

如何理解函数的值域和函数值的范围

问题 已知函数f（x）=x^2＋（a＋1）x＋1（x∈R）． （Ⅰ）若函数厂（菇）的值域为[0,＋∞）,求实数。的取值范围;     

一对高考题的多视角分析

例（2013年高考大纲版全国卷文21（2））已知函数f（x）=x^3＋3ax^2＋3x＋1．若x∈[2,＋∞）时,f（x）≥0,求a的取值范围．     

对一道高考难题的再思考

2008年高考江西卷（理科数学）的压轴题为： 已知函数f（x）=1/√1＋x＋1/1√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）. （1）当a=8时,求f（x）的单调区间; （2）对任意正数α,证明：1〈f（x）〈2．     

求导法解题入手关键

一、选取适当的求导函数 例1已知f（x）=log3x2＋ax＋1/x2-ax＋1在[1,＋∞）上是增函数,且在（-∞,＋∞）上有最大值1,求a的值．     

2008年全国高考江西卷（理）22题解题思路剖析

题目：已知函数f（x）=1/√1＋x＋1/√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）,（1）当a=8时,求f（x）的单调区间; （2）对任意正数a,证明：1〈f（x）〈2。     

湖北卷（理）第21题（Ⅲ）

题目 已知函数f（x）=ax＋b/x＋c（a〉0）的图象在点（1,f（1））处的切线方程为y=x-1． （Ⅰ）用a表示出b,c; （Ⅱ）若f（x）≥In z在[1,＋∞）内恒成立,求a的取值范围;     

一道求取值范围问题的多角度思考

题目 已知函数f（x）=ax^3＋bx^2-x＋c（a,b,c∈R,且a≠0）． （1）若b=1,且f（x）在（2,＋∞）上存在单调递增区间,求。的取值范围;     

2006年高考数学十类易错题透视

一、忽视函数单调性的概念致错 例1（北京卷）已知f（x）={（3a-1）x＋4a,x〈1 logax,x≥1是（-∞，＋∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）     

忽视字母的取值范围

已知函数F（x）=｜lg x｜,若0〈a〈b,且f（a）=f（b）,则a＋2b的取值范围是（）.A.（22~（1/2）,＋∞） B.[22~（1/2）,＋∞）C.（3,＋∞） D.[3,＋∞）错解：由f（a）=f（b）,得｜lg a｜=｜lg b｜,则a=b（舍去）或b=1/a,故a＋2b=a＋2/a≥22~（1/2）...     

三类抽象函数问题的处理策略

一、含抽象函数的不等式的解法解这类不等式，应充分利用函数的单调性，想方设法去掉“f”，构成不含“f”的不等式再求解．例１已知函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a＜０）对于任意实数x恒有f（２＋x）＝f（２－x）成立．解不等式f（１－２x２）＞f（１＋２x－x２）．解析∵a＜０，∴f（x）的图象开口向下，其对称轴方程为x＝２，故f（x）在（－∞，２犦上单调递增，而在犤２，＋∞）上单调递减．∵１－２x２≤１＜２，１＋２x－x２＝２－（x－１）２≤２，∴（１－２x２）与（１＋２x－x２）的值在区间（－∞，２犦上．故原不等式可化为１－２x…     

（-∞，0）U（0，＋∞）是一个复合区间

众所周知,我们可以说“函数f（x）=1/x在（-∞,0）上是减函数”,也可以说“函数f（x）=1/x在（0,＋∞）上是减函数”,但不可以说“函数f（x）=1/x在（-∞,0）U（O,＋∞）上是减函数”．     

全国卷Ⅰ（理）第20题

题目 已知函数f（x）=（x＋1）In x—x＋1. （Ⅰ）若xf′（x）≤x^2＋ax＋1,求a的取值范围; （Ⅱ）证明：（x-1）-f（x）≥0．     

f′（-′x）究竟表示什么

1．引例 f（x）和9（x）是定义域为（-∞，0）∪（0，＋∞）的可导奇函数和偶函数，当x〈0时，f′（x）9（x）＋f（x）g’（x）〉0，且g（-3）=0，解不等式f（x）g（x）〈0．     

利用导数解题应注意的几个问题

一、利用导数求函数的单调区间应注意单调区间的写法 例1 求函数f（x）=x^4-2x^2＋3的单调区间. 解f′（x）=4x^3-4x=4x（x＋1）（x-1）． 由f′（x）〉0,可得x〉1或-1〈x〈0; 由f′（x）〈0,可得x〈-1或0〈x〈1． ∴f（x）的增区间为[-1,0],[1,＋∞）;减区间为（-∞,-1],[0,1]．     

一道高考试题的别解

1．问题的提出 已知函数f（x）=1/3x^3＋ax^2＋bx,且f′（-1）=0. （Ⅰ）试用含a的代数式表示b,并求f（x）的单调区间;     

函数f(x)=log_x(x+1)单调性的一组优美结论

命题 函数f（x）=logx（x＋1）在区间（0,1）,（1,＋∞）上分别是减函数．