习题背后,别有洞天——一道教材习题的背景探究

本文从一道教材习题出发,发掘其背景——贝努利不等式,并分析总结了贝努利不等式多种推论及其在模拟题、高考题中的应用。     

２００１年一道高考试题的背景

今年高考理科第20题(Ⅱ)为:已知m,n是正整数,且1相似文献   

贝努利不等式的推广及运用

给出了贝努利不等式的一个简洁证明及三个推广,并以此简捷证明了算术--几何平均不等式和近期数学通报上讨论较多的一类不等式.     

构作长方形数表证一类不等式题

文[1]用贝努利不等式的变式给出一类不等式题的证明方法,事实上这些题目都可以用构作长方形数表来证明,长方形数表也是证明不等式的一种重要途径．     

数列{（1＋1／n）^n}收敛性的几种证法

对数列极限中的重要极限limn→∞（1＋1／n）^n的存在性，分别用二项式展开定理、贝努利不等式、平均值不等式、构造不等式等方法，给出了不同的证明。     

贝努利不等式的应用举例

不等关系是基本的数学关系,不等式在数学研究和数学应用中起着重要的作用．鉴于不等式在数学中的地位与作用,《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）将“不等式选讲”作为选修系列4的第5专题,而贝努利不等式就是其中的一个重要不等式．《标准》对贝努利不等式的教学要求可归结为下面三点：     

Binomial theorem与Bernoulli inequality的妙用

由于贝努利不等式的形式简单,内容丰富,应用广泛,所以教师和学生对这一部分研究较多,而二项式定理由于形式繁琐,大家都不喜欢多花时间研究.因此,下面我就谈谈二项式定理和贝努利不等式的妙用,力图改变大家对它们的看法.     

巧用贝努利不等式求解高考或竞赛试题

《湖北省普通高中数学教学实施指导意见》将《新课程标准》中选修系列4—5“不等式选讲”作为指定学生选修习I的专题,而贝努利不等式就是其中一个重要不等式．本文主要探讨贝努利不等式及其推论在高考或竞赛解题中的应用．     

贝努利不等式的螺旋式证明

《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）,将贝努利不等式作为选修系列4第5专题“不等式选讲”中的一个重要不等式．从对高中课改实验区的调查来看,大多数老师对选修系列4第5专题比较熟悉,愿意讲授“不等式选讲”．因此,对贝努利不等式的探究是有益的．     

巧用贝努利不等式的变式解三角不等式

贝努利不等式：若x〉-1,n∈N且n≥2,则（1＋x）^n≥1＋nx．当且仅当x=0时,等号成立．     

贝努利不等式的推广及证明

《普通高中数学课程标准（实验）》选修课程4“不等式选讲”的内容与要求的第7款是：会用数学归纳法证明贝努利不等式：     

巧用贝努利不等式的变式证明三角不等式

贝努利不等式：若x〉-1,n∈N且n≥2,贝4（1＋x）^n≥1＋nx．当且仅当x=0时,等号成立．若在此不等式中,令t=1＋x,就可得变式：若t〉0,n∈N且n≥2,则t^n≥n（t-1）＋1．当且仅当t=1时,等号成立．     

贝努利不等式的应用

贝努利不等式 :设 x>- 1 ,且 x≠ 0 ,n是不小于 2的整数 ,则 ( 1 x) n>1 nx.这个不等式的证明方法之一是用数学归纳法 .读者可参考现行课本代数下册 ,也可用均值不等式证明 :对 n∈ N,n≥ 2 ,当 - 1 0 ,1 nx≤ 0 ,因而 ( 1 x ) n>0≥ 1 nx,故不等式成立 ;当 x>- 1n且 x≠ 0时 ,n 1 nx =n ( 1 nx)· 1· 1… 1(n- 1 )个<( 1 nx) 1 1 … 1n =1 x,∴ ( 1 x) n>1 nx.此处不等式严格成立在于 x≠ 0综上 ,只要 x>- 1且 x≠ 0 ,均有 ( 1 x) n>1 nx( n≥ 2 ) .下面给出定理的应用例 1　已知 …     

贝努利不等式的变形应用

贝努利不等式的变形应用朱结根（安徽省太湖县新仓高中２４６４３０）高中代数（必修本）下册１２３页上的例题：已知ｘ＞－１,且ｘ≠０,ｎ∈Ｎ,且ｎ≥２．求证：（１＋ｘ）ｎ＞１＋ｎｘ．这是著名的贝努利不等式,由于ｘ＝－１时不等式仍成立,故令ｔ＝１＋ｘ,则例题...     

高中课标课程选修4-5《不等式选讲》教学参考(六) 贝努利不等式的几个推论及应用

《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称为《课标》)将"不等式选讲"作为选修系列4的第5专题,而贝努利不等式就是其中的一个重要不等     

一个不等式适用范围的扩大

a>0,不等式(1+1/a)~k≤1+k/a+k~2/a~2…(1)成立的条件通常是要求k∈N,且k≤a。此命题易用数学归纳法证明(略)。现在扩大(1)的适用范围。证明只要0≤k≤a,(1)式总成立。证:ⅰ) 当0≤k≤1时,利用贝努利不等式(参见本刊85年4期《从贝努利不等式谈起》一文)即有     

利用著名不等式证明不等式

不等式是高等数学中非常重要的课题之一,在高等数学中占有极其重要的地位.因此,对不等式作一些必要的研究具有重大的意义,同时,也为我们如何证明不等式问题提供了必要的理论指导.本文介绍了利用均值不等式、柯西不等式、赫尔德不等式、詹森不等式等著名不等式,拓展证明不等式不同思路,使得不等式有更好的应用,提高学生灵活运用数学知识的能力.     

数学竞赛中的解不等式问题

解不等式是高中数学联赛一试中的常见问题,且考查的主要内容有一元二次不等式、高次不等式、分式不等式、含绝对值不等式、指数不等式和对数不等式的解法．本文通过一些实例的求解,介绍解不等式的常见题型及其求解方法．     

“柯西不等式与排序不等式”单元教学建议

柯西不等式与排序不等式是新课程中的新增内容,是不等式内容的一个重要部分,是一种基本不等式形式,有其独特的外形和广泛的使用范围.柯西不等式是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一.在本单元,学生将通过不等式基本性质,基本不等定理来推导柯西不等式、排序不等式,并会初步运用这两个不等式定理进行计算、证明一些不等式的结论、     

例谈面积法在不等式证明中的应用

面积法,作为一个古老的方法,是强有力的解题工具.本文结合具体实例,谈谈面积法在三角不等式、函数不等式、代数不等式和数列不等式证明中的应用.