“皮克公式”的证明

义务教育课程标准实验教科书《数学·七年级下册》(北师大版,2002年11月第2版)第4页“读一读”介绍了一个求正方形点阵中格点多边形的面积公式——皮克公式:S=a+1/2b-1.这个公式是奥地利数学家皮克(Georg Pick,1859-1943)发现的,其中 a 表示多边形内部的格点数,b表示多边形边界上的格点数,S 表示多边形的面积.     

四边形考点解析

考点1 多边形的概念与性质 例1 已知一个多边形的外角和等于它的内角和,则这个多边形是( ). (A)三角形 (B)四边形 (C)五边形 (D)六边形 (答案:B) 评注 本题计算的主要根据是n边彤的内角和公式(n一2)·180。,要注意这个公式的反用,即由内角和求边数,任意多边形的外角和都为360。,它与边数无关. 例2 如图l,在四边形4曰CD巾,DC上BC于C,若A口=100,上A=45。,/_DBA=75。,二CBD:30",求BC的长. 提示 作BE上AD于E,先证m△BCD錾Rl△BED,CB:BE=‘4 8·SirlA:50、/‘Z. ,{ 评注处理四边形与多边形的问题,常把它们通 劁l过“割”或“补…     

四边形的考点分析及复习研究

考点1多边形的概念与性质「必考知识回顾〕1.四边形的内角和等于,n边形的内角和等于 2.四边形的外角和等于,任意多边形的外角和等于 3.n边形的对角线条数为 [考题举例〕 例l(2000年河北省)已知一个多边形的外角和等于它的内角和,则这个多边形是(). (A)三角形(B)四边形(C)五边形(D)六边形 (答案:B) 评注(”本题计算的主要根据是n边形的内角和公式(n一2)·1800.要注意这个公式的反用,即由内角和求边数.任意多边形的外角和都为360。,它与边数无关. D 例2(1997年陕西省)如图1,在四边形ABCD中,工犯土BC于C,若AB一100,艺A~45。,乙DBA=乙75…     

“探索多边形内角和”教学设计

使用教材:义务教育课程标准实验教科书《数学》(北师大版)八年级上册。活动目标1.知识与技能目标:了解多边形的有关概念;经历多边形内角和公式的探索,归纳过程;会运用多边形内角和公式解决简单的问题。2.过程与方法:掌握类比归纳、转化的学习方法;培养学生学会思考,提高解决问题的能力。3.情感态度目标:进一步增强说理和简单推理的意识;鼓励学生运用不同的方法解决问题,引发发散思维和创新意识,体验成功的喜悦,养成主动探究、合作交流的学习习惯。教学重点难点1.重点:探索、归纳多边形内角和公式;发展说理和简单推理的意识。2.难点:如何将多…     

类比设问 合情求解 引导教学——对一道中考题的分析

正题目:(2013年常州)用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子,小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的多边形称为格点多边形.设格点多边形的面积为S,该多边形各边上的格点个数和为a,内部的格点个数为b,则S=1/2a+b-1(史称"皮克公式").小明认真研究了"皮克公式",并受此启发对正三角形网格中的类似问题进行探究:正三角形网格中每个小正三角形面积为1,小正三角形的顶点为格点,以格点为顶点的多边形称为格点多边形,下图是该正三角形格点中的两个多边     

从凸多边形内角和公式谈起

请同学们回顾一下,凸n边形的内角和公式S_n=(n-2)·180°是如何推导出来的?推导公式的指导思想是把求多边形的内角和问题转化为求三角形的内角和问题,“转化”的办法是将多边形分割为若干三角形,由于分割多边形有多种方法,所以推导多边形内角和的方法也有多种: (1)在图1中,由n边形的某个顶点引对角线,将n边形分成(n-2)个三角形,每个三角形内角和为180°,故S_n=(n-2)·180°。     

有趣的皮克公式

奥地利数学家皮克(Georg Pick,1859—1943)发现了一个计算点阵中多边形面积的公式:S=a+1/2b—1,其中a表示多边形内部点的个数,b表示多边形边界上点的个数,S表示多边形的面积. 例如,图1中,a=3,b=10,这个多边形     

从凸多边形内角和公式谈起

请同学们回顾一下,凸n边形的内角和公式S_n=(n-2)·180°是如何推导出来的?推导公式的指导思想是把求多边形的内角和问题转化为求三角形的内角和问题,“转化”的办法是将多边形分割为若干三角形,由于分割多边形有多种方法,所以推导多边形内角和的方法也有多种。 (1)在图1中,由n边形的某个顶点引对角线,将n边形分成(n-2)     

图形的认识与证明 考点分析及复习研究 二、四边形

考点1多边形的概念与性质[知识要点]1.四边形的内角和等于,n边形的内角和等于.2.四边形的外角和等于,任意多边形的外角和等于.3.n边形的对角线条数为.31典型考题解析例1(2005年江苏省南通市)如果一个多边形的内角和是540°,那么这个多边形是边形.例2(2004年天津市)已知一个正多边形的每一个内角都等于120°,则这个多边形是().(A)正方形(B)正八边形(C)正五边形(D)正六边形说明例1、例2计算的主要根据是n边形的内角和公式(n-2)·180°.要注意这个公式的反用,即由内角和求边数.任意多边形的外角和都为360°,它与边数无关.例3(2005年无锡市)用…     

格点及其性质

(本讲适合高中) 由面积都是1的小方格组成的方格纸叫做格点平面,而横纵两组平行线的交点叫做格点。围绕着格点和格点平面的结果很多,其中最著名的是1899年由数学家乔治·皮克发现的公式: “设Y是一个简单多边形(即不自交的多边形),其顶点均在格点上,若q为多边形Y内的格点数,p为多边形Y边上的格点数,     

欧拉公式的平面形式及其应用

全日制普通高级中学教科书 (试验修订本·必修 )给出了欧拉公式的空间形式 :简单多面体的顶点数 V、面数 F的和与棱数 E之间存在如下关系 :V+ F- E=2 .由课本的证明过程可得下面的欧拉公式的平面形式 :平面上由若干个多边形组成的图形 ,其顶点数 V、将平面分成的区域数 F的和与边数 E之间存在如下关系 :V+ F- E=2 .(注 :多边形可以是凹多边形 )下面应用它解决《中等数学》2 0 0 2年第 1期数学奥林匹克高中训练题第二试第三题 .凸 n边形 (n≥ 4)玫瑰园的 n个顶点各栽有 1棵红玫瑰 ,每两棵红玫瑰之间有一条直小路相通 ,这些直小路没有出…     

多边形的概念与性质

[知识要点]1 四边形的内角和等于　　　,n边形的内角和等于　　　.2 四边形的外角和等于　　　,任意多边形的外角和等于　　　.3 n边形的对角线条数为　　　　　 典型考题解析例1　(2002 年江苏省南通市)如果一个多边形的内角和是1 440°,那么这个多边形是　　　　边形 例2　(2004 年天津市)已知一个多边形的每一个内角都等于120°,则这个多边形是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　(A) 正方形 (B) 正八边形 (C) 正五边形 (D) 正六边形说明　例 1、例 2 计算的主要根据是 n边形的内角和公-2)·180° 要注意这个公式的反用,…     

有趣的皮克公式

北师大版《数学》七年级(上册)有一个“读一读”的内容,介绍了一个有趣的皮克公式. 皮克公式是奥地利数学家皮克发现的一个计算点阵多边形面积的公式,其面积公式为S=a (1/2)b-1,其中a表示多边内部的点数,b表示     

多边形的角与边数问题的思考方法

我们现在学多边形,主要是了解多边形的内角、外角、边数及它们之间的相互关系．解答与此有关的问题,用到的主要知识点是多边形的内角和公式以及多边形的外角和为360°．解题的主要方法是利用公式列方程．     

四边形

一、四边形 诊断检测 1.选择题 (1)若一个多边形的内角和与外角和相等,则该多边形是( ) (A)三角形. (B)四边形. (C)五边形. (D)六边形. (2)一个四边形作出两条对角线后,共形成的三角形有( ) (A)2个. (B)4个. (C)6个. (D)8个. 2.填空: (1)一个多边形的边数增加1,内角和增加——度,外角和增加——度. (2)多边形的所有外角中,最多有——个钝角, 个直角. 3.一个四边形的周长为50 cm,四边之比为1:2:3:4,求各边的长. 4.已知一个多边形的内角和为1080。,求它的边数. 5.一个多边形的一个内角与它的外角之比为2:7,求该内角的大小. 6.一个多边形的…     

多边形边数问题的思考方法

我们现在学多边形,主要了解多边形的边数、内角、外角及它们的相互关系．解答这类问题用到的主要知识点是多边形的内角和公式．外角和为360°．解题方法主要是利用公式列方程．     

皮克定理的推广

由[1]我们知道格点多边形的面积公式,即:皮克定理如果格点多边形A1A2A3An面积为A,内部格点数和边上格点数分别为N和L,则12A=N L?.本文试将上述公式推广到格点广义回形折线.定义若广义回形折线的顶点全是格点,则称之为格点广义回形折线.(关于格点广义回形折线及其面积等概念,请参看文[2])定理若k环n边的格点广义回形折线A1A2A3An A1(简记为A(n)k)的同侧域至少包含一个格点,则该广义回形折线的面积为1()(1)2njk jjLA n N=?=∑ ?其中N j、L j分别为A(n)k的第j层多边形内部和边上格点数.证明如图,设格点M是封闭折线A(n)k的同侧点.由文…     

多边形的面积矢量及应用

给出平面上多边形的面积矢量的定义及公式,并应用它求出多边形的面积公式.     

有关三角形的概念易犯错误评析

《三角形》一章有“三多”:内容多、基础知识多、公式定理多,它是研究多边形(如四边形等)的基础,如对它的基本概念混淆不清,就很容易犯各类错误.下面予以分析.     

多边形的面积矢量及应用

给出平面上的多边形的面积矢量定义及公式，并应用它求出多边形的面积公式。