每期一题

题:已知a、b、,任R十,且a艺一(高级中学课本‘之数下册第12页例7) 证法一、利用比较法白(a 用)一a(b 阴) 一一a一b 一口 协占 阴(b 川)b_川(占一a) 吞(乙 川)a、b、”;任R ,a0,故孚牛~望>牙。 口十了门Oaf…     

上期思考题解答

题11.设几是全休实数集合,对于函数 f(x)=x“+ax+b(a,b任R),定义集合 A={x}x=f(x),:任R}, B={x lx二f(f(:)),x任R}. (i)若a=一1,b=一2,求A口B,A{、P; (2)若A二飞一l,3},求B. (3)若A=咬a},求证A自B={a}. 解(1)由己知条件,函数 f(x)二x“一x一2.方程x=f(x)化为xZ一Zx一2=0.其解集为A,所以A=一丫3,1+了3同样,方程x=f(r(‘))为 x=(x“一x一2)2一(x“一x一2)一2化简,得(x“一x一2)“一x“二0.即(xZ一2)(xZ一Zx一2)=0.有‘xZ一2二Q或x竺一Zx一2=0.其解集为B.令xZ一2=0的解集为c,则B=AUC那么A UB=AUAUC二AL少C 二{1一了落因为B卫…     

数学问答

。剖﹃时R，f(助﹄.一X 1.函数y~f(x)，xe有求R，若对于任意实数a、b f(。十b)~了(a) f(b)，(山西江海涛)解答:设a~0.由f(a十b)一f(a)十了(b)，则f(b)~f(0) f(b). :·f(O)~0.目‘又设。-一x，b一x，则了(x一x)~f(一x)十f(x)，即f(一f(一x) 了(x)一o，可得f(一x)一一f(x). :.函数f(x)是奇函数. (北京何乃忠)护、2.已知函数f(x)一扩，集合A一{xIf(x 1)一ax.x‘刊‘_‘R}，且AUR十一R ，则实数a的取值范围是().月」之旦竺A。(0， co)B.(2，十co) C.〔4，十~)D.(一co，o〕U〔4，十。) (河北王增钦)错解:由了(x十l)~ax，得扩 (2一a)x 1~0…     

第一部分 试题

第一套 从单项选择题:视,.若函数j(二)满足f(x,一3)- 劣a三~不不万,六幻的定义域是() (Aj(一护万,J万).(B)(一3,3). (C)(一阅一3)U(3, OO). 〔D)(一了万,O)U(o,J万). 乞.若a,b,c.战R且不为。,c、d是方程砂 a大 b=o的二根,a、b是方程劣, cx d“。的二根。则a b千e d一〔、. 。A)o。(B)一三.(C)2.(D)4. 西.函数g=3sin(x 20。) ssin(“ 80。)的最大值是()。 (A)丫活澳一。(B)6.(C)7.(D)8. ;.已知集合M={(x,,)】arctg‘。:- arctg,=兀,劣.u(R},集合N={(劣.,)!seC3二 cscZg‘1,,,‘(R},则()。 ‘A)McN.(B)刃〔M.(C)MgN且NgM.(D)M…     

凸函数的几何不等式及其应用

一、引 刘‘形如(1988)‘99。(1 989)19’“一卜(1990)工,9。<:一‘1 09‘)19,。与‘”。了丽 ”9“了ha<‘”。了ha十’”9“了丽的不等式,如果仅仅利用幂函数的单调性或者直接应用幂函数的凸性进行论证,似乎非常困难.本文将利用凸函数的几何不等式对上述类型的复杂不等式给予简单的论证. 二、凸函数的几何不等式 首先回顾凸函数的定义:f是区间(a,的上定义的函数,如果对于任何x,岁任 (a,西),对于任何t任〔o,1〕右苏有f(‘x (1一艺)万)(‘f(x) (1一t)笋(万)成立,则称f是(a,b)上的凸函数.如果对于任何x,刀任(a,b),x沪万,t之(o,1)都有厂(tx (]…     

基本不等式的变形及其应用

工.基本不等式即:(1)aZ 乙2)Za乙 a 乙~,一(2厂气兴二)了a乙、~,2(2)a._‘a b) 4(a、乙任R(a、乙任R)(a、乙任R十)(3)aZ bZ cZ》a云 ac 乙c五。由基本不等式可得下列变形: ,一一~了丁,,、,,,。二、气住夕丫、在一十D一‘‘一二万又门 0夕L口、口忆八夕 乙“,等。(宁)’,(。)件、2。一。 口(a、b任R )!7‘6,分‘a一“,》‘a一“,‘a·“〔R‘, 班.基本不等式在解题中的应用已为大家所熟悉,而利用它的变形解题则具有深刻性和灵活性。 例1已知x、,任R”一,二 :一1,_、、,,、,1、。,1、2~25求泛:(1)(x 会), (万十宁)“)臀 X一“g‘(:球万…     

高中数学系列复习与辅导 第七部分 综合复习与考试

、综合范例(a,乙). 例1A一{xI劣=已知f(‘)=x’ ax b(a,西‘R)’‘稗(2)设x,“为长方形的·f(x),x〔R},B一{x!x=f〔f(x)〕,竺x,二11执卜}n}J }mJ扮为长方形的边长,则2(x 封)二8, }nl=x任R},(1)若a=1,b=2,求A UB,A门B,(2)若A二{一i,3},求B;(3)若A={a},求a和乙的值. 解,(1)当a=1,     

W·Janous不等式新证

兰二2兰千兰二三兰X月一y y.十Z斗"设x、y、z任R千,求证:宜二z十妻0. 此不等式即为W·Ianou:的猜测不等式,许多数学刊物上曾介绍了这一猜测的多种证法,这里笔者再给出一种非常简明的证法. 证明:设少一扩一a,尸一少一b,则尹一扩~一(a b). 一X 倪一上. 一Z 一一 Z一Z津一y X一,‘ bx y22一夕2x y一。·(一共一卫一 艺州片工y门一z) b· llx yy z,,上共二,, b叹z十x八y十z)aZ b·(a b)Z—X(x y)(y z)(x y)(少 二)(z十x) 1,、,.3,,气a一卜-只户口)一~十一厂O“ 乙住(二 y)(〕, z)(z x)x,夕,二任R ,.’.(x 夕)(J, 二)(二 了)>0,于是yZ护…     

“数学奥赛月月练(3)”解答

鬓1.n移项,原方程等价于(a一e)(a先c 阮)一o,(b一a)(b十a cx)一O,(b一。)(b十e ax)=0.因“,bt攀互不相等,所以a ‘ bx~0,b “ cx一O,b c ax一O,两两相减有(b一e)(x一1)=0,(a一b)(x一1)一。,故x~上代人原方程得二 占斗~‘一0.(a一。)(x一1)一0,罐 2.D.由题意:a1 a2 … 姚一36,御     

复数在求轨迹方程中的应用

例1直接利用复数相等的条件求轨迹 Z是圆l川=r上的点,z0=o bi,求复数了(二)一: 音 而所对应的点尸的轨迹方程.解:令j(二)~二 封:,z=r(eos口 isin口), (o(6<2对)则劣 g,~r(eos口 :sin6) a b: 1r(eos口 ‘sin口)ee 一〔(· 子)一“ ·} !(一告)S‘·, “」‘·故二一(· 子)一“ ·,。一(一令)·‘·“ “·当r一‘时x=a ZeosB,,二b(o《6<2兀).所以轨迹是平行于x轴的线段.=b(a一2《二《a 2)当r笋1时,消去参数口,得尸的轨迹方程(x一a),(r 生丫、r/.(,一b)含_丫只)’-1,是为中心在Z。的椭圆. 二、利用复数运算的几何惫义求轨迹 例2.IAB!.2…     

高二数学第一学期期末测试

一、选择题 1.若a、b任R，则}al }bl>1 成立的充分不必要条件是( A.la十川)飞 C.a)1 B·，。，)合且!。，》专 D.b<〔一1、 2。设x、y 满足一要，手二的解     

三角函数和平面向量单元检测

一、选择题 1.已知向量。- b)，则x ，~1 r匕，茸丁X 、乙 )。 ，b=(x，1)，其中x>o，若(a一Zb)//(Za+ A .4 的值为( B.8 C .0 D.2 2.函数，一cosZ(‘一肴)+sin’(‘+贵)一‘是‘，· A.周期为2二的奇函数B.周期为二的偶函数 C.周期为二的奇函数D.周期为2二的偶函数 3·已知向量a一‘Zcoso，“s‘no，，0任(晋，二)，b一(O，一‘，，则a与b的 夹角为( l 37t。一兀.。一。兀 r飞.气共一—UD。甲不尸州口七.口—下. 乙乙‘ D.8 4.要得到y一tan(2x一晋、的图象，只需蒋函数 \口I A.向左平移要个单位 O c.向左平移答个单位 U 5.在△AB…     

代数与初等函数自测试题(三) 参考答案

,‘、3。\。,。、。_,。\,戈1)一一工一j拼笋U;戈‘少O。个必芬二0;,_、.J一。,,、_.1~n,_、八、气J夕C十4之之尧一0;又4尹己十一一‘,‘,L改.产尹户Uj。二、(i)侧;(2)x;(3)x;(1)(x+5)(x+7)<(x+6)“(2) 1~21十一一万‘夕一 X~X(3)(aZ+材Za+l)·(aZ一杯Za+1)((a孟+a+i)(aZ一a+i);(4)x“+3>3x。四、(‘’·>2;(2,·>音或X<一道(3)一1(了《9;(4)二>互土竺二 2(5)一9<叉<5。 五、一2簇二<2或6相似文献   

一个错题的分析

《现代中学生》(高中版)88年第二期刊登的高三数学试题第二题是这样的: 如果a,b任R ,且a,b满足a‘=b‘,求证:a二b. 这是一道错题,举一反例:当a=2,b=4时,显然有a户二b口,但a手b. 下面按a的取值范围之不同进行讨论: (1)当a二1时,由a“一b,得乙l二1。,即西二1.这时,a二b成立。 (2)     

数学练习题选(一)

一、设x>o,少>0,z>0,解方程(x+i)(,+2)(z+s)= 解:i)由于(、/万一、/万~)“)0,(a>0,b》0) :.a子b)2了丽.(当且仅当a=b时取等号) 2)利用上之公式,有x+1》2了下,(1) ,+2》2、/丽,(2) ‘+8>2了筋.‘3)(1),戈2),(3)中分别当且仅当x=1,,=2,名二8时取等号甲由(i),(2),(s)相乘得(x+i)(,+2)(:+8)》32了百万.故方程的解为:x二1,,=2,:=8.32了x,之。拜二、在x轴上任取三点X,(xl,o).XZ(xZ,o),X3(x3,o),在,轴上也任取三点YI(o,,一),YZ(0,,:),Y3(。,,s).设XIYZ,XZYz交于A3比5.刀3),XZY3,于AZ(七2,,2),求证Al,AZ,A3三点共线。X3YZ交于人曲l,”l)…     

四种平均数的函数模型

在新教材数学第二册(上)习题6.2中，有 这样一道习题: 已知a，b都是正数，求证: b_ 以一口<、U，一训夕1 (刹’是增函数， 从而 a一b fb\x 1十【一1 \“/ 是关于x的增函数， a b 1 .1 —十气- a口 簇了丽镇 司湃更.(·) 当且仅当a一b时等号成立. 下面给出它们的一种函数模型. 构造函数 即f(x)在R上是递增函数. 综上可知，若xl相似文献   

每期一题

题:设z〔R,:/(l+22)〔R。则12卜1。 证法一:利用复数的代数式。设之二a+b云(今今0,a,乙〔R),有z八1+‘2) 、_a+a乙“+as+吞(1一aZ一西2)玄 一_一「而卜--一 丫!1+:名I’>o,由已知得:b(l一a,一bZ)=O,又b斗O, .’.砂十b,二1,故}川=侧妥‘不丢三二1, ·证法二;利用复数的三角式。 设之二犷(coso+isino)·(了)o,‘ino钾0), 有:八1+:’)=下(。050+1 sino).=2,z:=1,故}:卜1。 汀法五:利用二共扼复数的积为一实数 48(1+,·“广。”20一下’sinZ。)小+“’[,由分子的虚部了(x一:“)sino=o,故,=1。 证法三:利用一个实数的共辘复数仍是这个数。 由…     

2002年普通高校全国统一招生数学模拟试卷

一、选择题(5分xlZ=60分) 1 .x任丽石丽的充要条件是() A .x〔M B.xeN C .x〔M且xe N D.x任M或x任N 2.在等比数列中,为+a,。=a(a尹o),a,9+鲡=b,则彻十aloo等于()一个点表示复数土,则该点是(A .21C.孔B.几D.乙B·(普)ge·岁n·(誊)1。 9.(理)设。二毗一(一誓),。=峨·tg(一冬),则() 22,,、二、 A .a

仔D.a+月二0驴一护 凡函数y=Zsin十含)在「二,2二〕上的最大值为A一2 B.1 C.招D.24.如果圆护+尹=b与直线x+y二b相切,则b的值为()粤B .1 c. ZD.拒乙 (文)函数‘(x)二s‘n(x+音)e,(奇一x)的最,J、正周期是() A.晋砰晋C…     

用两数的和与差的代换法求最值

用两数的和与差的代换法求二元函数的最值,一解法容易学会、掌握,运算简便。 」例i求一函数甲r=3x, Zx, 3,,一4x 4夕的最小值。 解令x=a b,夕=a一石,则平=3(a b)2 2(a b)(a一b) 3(a一b)空一4(a b) 4(a一石) 二4(Za吕 bZ一Zb) =4〔Za, (b一1)忿〕一4》一4,牙最小=2·51。。。 例4已知4x,一sx, 4习乞==5,求函数甲二护 扩的最值。 解令x=a b,,二。一b,则条件式4x’一sx夕十4夕2=5与待求式琳=护 扩可分别化为3a“ 13b乞=5,牙二2(aZ b:)。(1)若。,==弓一13石“万-一,、,,。,,、,,fa==0。。rx二1~,r,当且仅当优二丫即代二‘,时,平,‘,、=一4o…     

函数f（x）=ax^m＋b／x^n的性质与应用

定理:函数f(x)=叮刀, b/尹(a>0,b>0推论2函数f(x)一二 立(。>0,b>o,二爪,·。N,二>。)在(0,’‘溉〕上是减函数,在)0)在(0,是增函数.仔」上是减函数,、仔,十oo)上’‘溉,十一,上是增函数·证明:设。<二,相似文献