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塞瓦定理是解决“三线共点或互相平行问题的”,现行初中《几何》课本(第一册1983年11月第1版,第二册1984年10月第1版)中的有些问题,用塞瓦定理证明,不添辅助线,简单明了。有的问题,三条线段共点或互相平行同时存在,用塞瓦定理就能够一次完成这样的证明(如本文中的例3)。 相似文献
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第一讲梅涅劳斯定理和塞瓦定理梅涅劳斯(Menelaus)定理和塞瓦(Ceua)定理是研究三角形中“三点共线”与“三线共点”问题的两个互为对偶的著名定理,它们在解决数学竞赛题中,应用非常广泛. (一)梅氏定理及其逆定理 相似文献
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(本讲适合高中)十年前,在数学竞赛中,证明平面几何中的三线共点问题时,首选的方法是同一法,行之有效的方法是同一法,用得最多的方法还是同一法.近几年来,同一法的老大地位已逐渐让位于塞瓦定理的逆定理,其中当然包括角元塞瓦定理的逆定理.下面给出角元塞瓦定理的逆定理. 相似文献
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宋文檀 《中学数学教学参考》1994,(6)
塞瓦定理是平面几何中证明线共点问题的一个重要定理,利用它证明现行中学几何教材中有关三角形的几个三线共点问题时,不仅使此类问题的证法得到统一,而且证题思路简捷明快,对拓宽学生的知识面,提高证题技巧,培养能力都有一定的帮助,本文就此举例如下,以供参考。 相似文献
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笛沙格定理是平面射影几何的基础之一 ,是射影几何的一个重要命题 ,在初等几何证明中某些“点共线”、“线共点”问题和解决求轨迹、求定点和作图等问题中有独到之处 .笛沙格定理 :两个三点形对应顶点的连线交于一点 ,那么 ,对应边的交点共线 .对偶定理 (逆定理 ) :两个三线形对应边的交点共线 ,那么 ,对应顶点的连线交于一点 .在运用笛沙格定理或逆定理证明点共线或线共点时 ,准确找到两个三点形或两个三线形是十分重要的 .如果找到的两个三点形或三线形不能解决问题时 ,一般应调整对应顶点的次序 ,以达到证明的目的 .例 1 已知△ ABC及… 相似文献
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意大利数学家塞瓦(G.Ceva)在1678年发表了下面十分有用的定理:塞瓦定理.设X、Y、Z分别是三角形ABC三边BC、CA、AB上的点,如果直线Ax、ByOZ共点,则BX/XC·CY/YA·AZ/ZB=1逆定理.设X、Y、Z分别是三角形三边BC、CA、AB上的点,如果BX/XC·CY/YA·AZ/ZB=1那么直线AX、BY、CZ共点。我们可将塞瓦定理推广到四面体中。定理1设E、F、G、H、M、N分别是四面体ABCD 相似文献
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平面向量的一个主要应用是解决一些平面几何问题,塞瓦定理和梅涅劳斯定理是平面几何中的两个重要定理,人们自然想到如何利用平面向量的知识证明这两个定理,这里给出一种向量证法.
现将两个定理叙述如下:
塞瓦定理 如图1,设O是△ABC内任意一点,AO,BO,CO分别交对边于D,E,F,则
AF/FB· BD/DC · CE/EA=1.(1)
梅涅劳斯定理 如图1,设一直线与△ADC的边AC,AD及CD延长线分别交于E,O,B,则
AO/OD· DB/BC· CE/EA=1 (2)
为了证明定理,先给出一个简单的引理:
若→OA=λ→ OB+μ→ OC(λ,μ为常数),则A,B,C3点共线的充要条件是λ+μ=1. 相似文献
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王好荣 《咸阳师范学院学报》1994,(6)
本文在梅涅劳斯定理、塞瓦定理和笛沙格定理分别给出判断诸点共线或诸线共点准则的基础上。首先探讨了塞瓦定理与笛沙格定理的一致性;接着分析研究了塞瓦定理和梅涅劳斯定理的统一性,并给出这两个定理的对立统一形式——[M—C]定理。又进一步揭示了[M—C]定理与射影几何中的帕斯卡定理和他成对偶的布列昂雄定理(包括退化的情形)之间的内在联系,从而形成了这些重要定理的完整体系。 相似文献
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三角形重心定理:三角形三条中线相交于一点(称三角形的重心).这个点到每个顶点的距离等于到这顶点对边中点的距离的二倍.”我们分别运用三角形中位线性质、平行四边形的性质、相似形的性质,直线方程,点共线的条件,线共点的条件,线段定比分点及塞瓦(ceva)定理等有关知识来分类介绍它的十二种证法。思路一:先找出两条中线的交 相似文献
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浅谈完全四边形 总被引:3,自引:0,他引:3
为了方便书写,本文定义: “(△ ABC,D )”表示“考虑△ ABC ,及点 D ,根据塞瓦定理可得”. “(△ ABC,DE )”表示“由 DE 割△ ABC ,根据梅涅劳斯定理可得”. “( ABCD,EF,AC,GH )”表示,“ E、 F、G、H 分别在线段 AB、BC、CD、DA 上,且 EF、AC、HG 三线共点”(允许 ABCD为凸四边形,凹四边形及退化成三角形),并把三条直线两两平行作为三线共点的一个特例.1 完全四边形的背景知识 我们把两两相交而又没有三线共点的四条直线所构成的图形,叫做完全四边形.完全四边形蕴藏着许多有趣性质,在此仅提两点.1.1 施… 相似文献
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本文用平面几何和立体几何综合证法概述锡瓦(Ceva)定理引出的定理系,从而把三角形的重心、垂心、内心、旁心统一成三角形的广义重心,把相应的诸线统一成三角形的广义中线,回答了中学生关于“三角形为什么有那么多种三线共点?”一类问题。我们还将发现,只要对四面体类似地定义其广义中线和广义重心,则对于四面体也存在有类似于三角形的判断诸线共点的充要条件。定理1.(锡瓦定理)设 D、E、F 分别是三角形三边 BC、AC、AB 上的定点,则 AD、BE、CF 共点的充要条件为 相似文献
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几何中的定理不外乎两大类,其一是性质定理;其二是判定定理。其实,如果性质定理存在逆定理的话,那么其逆定理均可作为判定定理。如平行线性质定理的逆定理便可用来判定两直线是否平行;勾股定理的逆定理可用来判定一个三角形是否直角三角形;相交弦定理的逆定理可用来判定四点是否共圆;梅涅劳斯定理的逆定理可用来判定三点是否共线;塞瓦定理的逆定理可用来判定三线是否共点,等等。这样的例子是屡见不鲜的。 相似文献
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在平面几何中 ,有著名的塞瓦定理及其逆定理 (见文 [1]中P .2 4 4~ 2 4 6) .文 [2 ]中定理 6- 16与文 [3]中定理分别给出了塞瓦定理在三维空间的两个推广 .在三维空间中 ,其实我们可以提出更贴近平面情形的空间塞瓦定理及其逆定理 .定理 1(空间塞瓦定理 ) 设P是四面体A1 A2 A3 A4内任一点 ,平面AiAjP(i ,j =1,2 ,3 ,4 ,i≠j)与棱AiAj的对棱AkAs 相交于点Dks(Dks与Dsk表示同一点 ) ,则 A1 D1 2D1 2 A2·A2 D2 3D2 3 A3·A3 D31 D31 A1=A2 D2 3D2 3 A3·A3 D34D34A4·A4D42D42 A… 相似文献
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共线问题是初等几何中常见的题型,在解决这类问题时,往往会想到利用解析法或利用平面几何中的一些重要定理(如:梅涅劳斯定理、塞瓦定理),但往往使人感到困难;若用平面向量来解决有关三点共线问题,不仅能够把复杂的几何推理转化为简单的代数运算,还可以使复杂的证明变得简单有序,收到避繁就简,化难为易,事半功倍之功效.下面通过若干例题谈谈如何利用平面向量的方法来解决有关三点共线的问题.已知A、B∈l,O?l,OuuCur=αOuuAur βOuuBur(α、β∈R),则A、B、C三点共线的充要条件是α β=1.证明必要性:设A、B、C三点共线,则uAuBur与uAuC… 相似文献