也谈(△~(1/2))/|a|

设直线y=kx+b与抛物线y=ax2+bx+c的交点为Q（x1,y1）、 P（x2,y2）,要求其交点的坐标,则需解方程组     

也谈公式s=(Δ~(1/2))/|a|的推导

看了贵刊2006年第3期(初中版)刊载的《运用s=Δ|a|求二次函数图象与x轴交点间的距离》一文,笔者发现在公式导出过程中有两处明显错误,商榷如下:错误一:由求根公式得出x1=-b-Δ2a,x2=-b+Δ2a后,文章说“显然x2>x1”此乃明显错误.当Δ>0时,x1与x2的大小不能确定,与a的取值符号有关.若a>0时,则x2>x1,若a<0时,则x2x1”后,推出s=x2-x1=-b+Δ2a--b-Δ2a=2Δ2a=Δa,又说“因为二次项系数a的取值可正可负,为确定s非负,所以须在a中添加绝对值,即s=Δ|a|”.事实上,若x2>x1,则s=x2-x1>0,而文中当a<0时,s=x2-x1=Δ<0(Δ…     

用△~(1/2)/|a|求二次函数的解析式

二次函数y=ax2 bx c（a≠0）的图像,若与x轴有两个交点A、B,则|AB|。这是一元二次方程根与系数的第三个关系,其结论可以证明如下:     

公式|AB|=△~(1/2)/|a|的应用

在二次函数中有一类常见的题目,它涉及抛物线与x轴相交时两交点的距离(可推广到一般的弦长),通常可用公式|AB|=Δ~(1/2)/(|a|)(Δ=b~2-4ac是相应的二次方程ax~2+bx+c=0的根的判别式)来解,可给解题带来很大的方便。本文仅就初中教学内容谈谈这个公式的应用。     

(x y)/2>=(xy)~(1/2)及其求最值定理的几何解释

本文绘出不等式及其求最值定理的一种几何解释,这对于揭示不等式及定理的本质并加深对它们的认识有一定帮助。     

方程(x/a)~(1/2)+(y/b)~(1/2)=1的讨论

众所测方程周知,方程二告+y告子于+了十一,,二。于(。>。)表示的曲线,是抛物线的一段.据此,可推a>O,b>0)(1)也表示抛物线的一段.好共+存十1>。,故方程川黝于(摇+了哥一1卜(再+了哥,)一”,又形变为2了翼一卜普一誉.两端平方(由于2丫器+(卜含一誉,-卜(了含一了韵’>。,它又等价于/~20~‘J1兰了一一黑芝{了二罗戈U畏尧;x乓之a.夕2_Zx_2夕山,一n节广.一;,万-—一—-一万-吕1—U D“aD(2)利用二元二次方程的不变量,0(封《b 可判断出(2)表示一条抛物线的一段.事实上,二联、。,由此可见(2)表示抛 a~V一1一ar一bl 一一1一abl一护1一b 一一1了1一…     

求f(x)与f-1(x)图像交点的一种新方法

求 f(x) (x∈A ,y∈C)与f- 1(x)交点 ,一般方法是 :由 f(x)求出 f- 1(x) ,再求A∩C ,最后在x∈A ∩C下求解方程组 y=f(x) ,y=f- 1(x) .本文避开对f- 1(x)的分析 ,仅从 f(x)的特征出发 ,获得了求解f(x)与 f- 1(x)交点的一种新方法 .该方法较一般方法少了求 f- 1(x)的表达式 ,且对 f(x)也无苛刻的单调性要求 .另外 ,本文给出了交点的特征 (推论1)及从单调函数与非单调函数、分段函数与非分段函数方面给出了 5个典型应用例子 .记 y=f(x)x =f(y) 为方程组 (※ ) .定理 1　设 y=f(x) (x∈A ,y∈C)存在反函数 y =f- 1(x) ,则 y =f(x)与 y=f- 1…     

(a~(1/2))~2=a与(a~(1/2))~2=|a|

二次根式运算中,公式(a~1/2)~2=a与a~1/2=|a|的应用十分广泛,为了帮助同学们正确地使用这两个公式解题,下面先介绍两个公式的意义及其作用,再举例予以说明。 1.公式(a~1/2)~2=a与(a~2)~1/2=|a|的意义 (1) 公式(a~1/2)~2=a中,(a~1/2)~2表示a的算术根的平     

关于函数y=(ax~2+bx+c)~(1/2)图象的探讨

函数图象千变万化,y=的图象变化又有什么规律呢? 问题的讨论由于     

活学活用公式asina bcosa=(a~2 b~2)~(1/2)sin(a (?))

在解答三角函数的问题时,有一种重要的解题策略:把含有多个三角函数的式子化为只有一个三角函数的式子,即化“异名”为“同名”.公式asina bcosa=sin(a (?))可以在这方面起重要而独特的作用.但不少同学对这个公式的运用还不够自如,对辅助角(?)的确定也不熟练.为此,本文通过举例作一些具体说明.     

二次函数顶点式y=a(x h)~2 k的应用

y=a(x h)~2 k直接给出了二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴方程和极值,因此熟悉其应用对于理解二次函数的知识,培养同学的分析能力,提高解题技巧均是有益的,关于其应用简述如下. (一)求二次函数的解析式 [例1] 二次函数图象过点A(-1,1)、B(2,1)     

例谈二次函数的顶点横坐标x=(-b)/(2a)的简单应用

<正>在学习二次函数时,通过对二次函数一般式的配方得到了二次函数顶点坐标公式的横坐标为x=(-b)/(2a),而学生在实际应用时却不能很好地利用它来解题,经常出现错误。为突破这一难点,笔者结合教学实践,谈谈二次函数顶点的横坐标公式的常见应用。一、利用二次函数的顶点横坐标求解析式求二次函数解析式是一类常见题型,此类问题中经常会出现     

巧用(x~2)~1/2=|x|求一类函数的周期

函数y=|sinx| |cosx|的最小正周期T=π/2,使许多学生困惑不已.若用函数周期性的定义来证明,则显得复杂.下面采用恒等式(?)=|x|,通过适当的等价变形,求解此类函数的周期.例1 求函数 y=|sinx|的最小正周期     

公式R=△U/△I、△P=(U1+U2)△I、△P=(I1+I2)△U的推导与应用

1推导 设定值电阻R上加电压U1时流过的电流为I1,加电压U2时流过的电流为I2,则R=U1/I1=U2/I2=U2-U1/I2-I1=△U/△I(设U2＞U1). 功率变化:△P=P2-P1= U22/R-U21/R=(U1+U2)(U2-U1)/R=(U1+U2)(U2/R-U1/R)=(U1+U2)(I2-I1)=(U1+U2)△I或△P=P2-P1=U22/R-U21/R=(U1+U2)(U2-U1)/R=(U2/R-U1/R)(U2-U1)=(I2+I1)(U2-U1)=(I1+I2)△U.     

函数y=(ax+b)~(1/2)+(d-cx)~(1/2)的值域

本刊2002年第4期文[1]用改进了的三角换元法举例说明了无理函数 y=(ax+b)~(1/2)+(cx+d)~(1/2)(ac<0)最小值和最大值的求法,读后颇受启发.本文将用“双换元法”给出这类无理函数的最小值和最     

(a~(1/2))~2=a与(a~2)~(1/2)=|a|及应用

次根式运算中,公式（Ja）‘。。与厅＝。l的应用十分厂泛．为了帮助同学们正确地应用这两个公式解题,下面先介绍这两个公式的惫义及其作用,再举例说明它们的应用．1．公式（几）‘＝a与Ja＝a的意义（l）公式W）’二a中,W）‘表示a的算术平方根的平方,必须在a20的前提下才能成立．（2）公式In二I。！中,M表示。的平方的算术平方根．因为aZ＞0所以a取任意实数都有意义．匡此有2．公式N飞）‘二。与M二I。的作用（l）公式（几）’。a正向应用可化简二次根式,逆向应用可将一个非负数写成平方的形式．但）公EJu：＝I。正用可将根号…     

妙用x=(x~2)~(1/2)处理某些最值问题(高一、高二)

若x≥0,则x=x2~(1/2)这是同学们都非常熟悉一个十分简单的结论,正因为它简单,才使得同学们对此重视不够．其实,它在高中数学中有着不少的应用．下面我们就利用此结论来处理几个最值问题,供同学们参考．     

(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)辨析及运用

在学习二次根式时,部分同学常将(a)2与a2混为一谈,误认为(a)2=a2,其实,二者并不一样,现从以下几个方面加以辨析:1、写法不同:(a)2中平方在根号外;而(a2)中平方在根号内。2、读法不同:(a)2读作a的算术平方根的平方;a2读作a的平方的算术平方根。3、运算顺序不同:(a)2是先求a的算术平方根,然后再求这个算术平方根的平方;而a2先求a的平方,再求a2的算术平方根。4、取值范围不同:在(a)2中,a的取值范围是非负实数,即a≥0;当a<0时,无意义;而在a2中,a的取值范围是全体实数。5、结果不同:(a)2=a(a≥0)(a2)=|a|=a(a≥0)-a(a<0)在具体计算时,(a)2(a≥0)…     

asinx+bcosx=(a~2+b~2)~(1/2)sin(x+φ)的应用

asinx+bcosx=(a~2+b~2)~(1/2)sin(x+φ)这个重要的等式,在结构上左边是两函数的和,右边只是一个函数,即是一个函数表示两个函数的和。本文就是根据这些结构特点。结合|sin(x+φ)|≤1的性质列举出诸方面的应用。例1     

条件等式((a+b)~(1/2)-a~(1/2))~a=(m+b~n)~(1/2)-m~(1/2)的简证

《中学数学教学》1985年第3期刊登了梁丽玲同学写的《关于一个特殊条件等式的普遍形式的探讨》的小论文。该文把条件等式: 对一切自然数n,都存在自然数m,使得(2~(1/2)-1)~n=(m+1)~(1/2)-m~(1/2)成立①推广成: 对一切自然数n,都存在自然数a、b、m,使得 ((a+b)~(1/2)-a~(1/2))~n=(m+b~n)~(1/2)+m~(1/2)成立②并利用数学归纳法给出了证明。下面给出条件等式②的另一种证明。