涉及角平分线与高的一个半对称不等式

定理在△ABC中,a、b、c为其三边长,ta、ha分别为BC边所对角的角平分线长和BC边上的高,△为其面积,s为半周长,则有     

三角形属类判别四法

设 a、b、c 分别表示△ABC 的边 BC、CA、AB,a>b,a>c,m_a、t_a=AD 分别为 a 边上的中线和角 A的平分线,R 为外接圆半径.则有     

对一道IMO试题的探究

题目在△ABC中,∠BCA的平分线与△ABC的外接圆交于点R,与边BC的垂直平分线交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q．设K、L分别是BC、AC的中点．证明：△RPK和△RQL的面积相等。     

数学奥林匹克问题

本期问题初317在△ABC中,记〈A、〈B、〈C的对边分别为a、b、c,AD为么A的角平分线,与BC交于点D,且AD=BC．证明：     

第48届IMO试题4的简证

2007年第48届IMO试题的第4题为：在△ABC中,△BCA的平分线与△ABC的外接圆交于点尺,与边BC的垂直平分线交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q,设K,L分别是边BC,AC的中点．求证：△RPK和△RQL的面积相等．     

一道IMO平面几何题溯源

正原赛题如图1,△ABC为锐角三角形,AB≠AC.以BC为直径的圆分别交边AB和AC于点N和M.记BC的中点为O,∠BAC和∠MON的角平分线交于R.求证:△BNR的外接圆和△CMR的外接圆有一个公共点在BC边上.证明:如图1,连结MN、BM、CN,则∠BMC=∠CNB=90°.记BM与CN的交点为H(△ABC的垂心),即知A、M、H、N四点共圆(记为⊙O_3).设∠BAC的角平分线交BC于点W,则AW经过     

一道IMO试题的推广

2007年第48届IMO第4题是: 在△ABC中,∠ABC的平分张与△ABC的外接圆交于点R,与边BC的垂直平分线交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q.     

2010年中国国家集训队选拔考试

1.在锐角△ABC中,AB>AC,M是边BC的中点,P是△AMC内一点,使得∠MAB=∠PAC.设△ABC、△ABP、△ACP的外心分别为O、O1、O2.证明:直线AO平分线段O1O2.     

一道IMO试题的别证

2007年7月第48届国际数学奥林匹克（IMO）第4题为： 在△ABC中,∠BCA的平分线与△ABC的外接圆交于点R,与边BC的垂直平分线交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q．设K,L分别是边BC,AC的中点,证明：△RPK和△RQL的面积相等．     

三角形属类判别四法

设a、b、c分别表示△ABC的边BC、CA、AB，a〉b，a〉c，ma、ta=AD分别为a边上的中线和角A的平分线，R为外接圆半径。则有     

关于角平分线的一个不等式的加强

定理 设△ABC的三边长BC=a,CA=b,AB=c,所对角平分线长分别为t_a、t_b、t_c,面积为△,又设△ABC的外接圆和内切圆半径分别为R、r,则有:     

借助几何模型构建等腰三角形

<正>涉及角平分线、中垂线和倍角等条件的几何问题,往往可通过添加适当的辅助线构造等腰三角形得以解决.本文介绍如何借助六类不同的几何模型构建等腰三角形来解决相关问题.一、"角平分线+平行线"模型如图1,若D是∠ABC的角平分线上一点,AD//BC,则△ABD是等腰三角形.例1 如图2,BD是△ABC的角平分线,点E在AB上,点F在AC上,EF//BC,FD=CD,BE=8,EF=2,求BC长.分析由BD平分∠ABC,     

2002年中国数学奥林匹克试题及解答

一、△ABC的三边长分别为a,b,c,b＜c,AD是角A的内角平分线,点D在边BC上. (1)求在线段AB,AC内分别存在点EF(不是顶点)满足BE=CF和∠BDE=∠CDF的充分必要条件(用角A、B、C表示);     

由三角形的角平分线想到的……

三角形的角平分线在初中几何中占有重要的地位,其应用也十分广泛,为使同学们更好地掌握它,现作如下归纳. 一、角平分线+平行→等腰三角形例1 如图1,△ABC中,BE平分∠ABC,DE∥BC,求证:BD=DE 深化探究:如图2,若△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于O点,过O作DE∥BC.     

解题小品——与角平分线有关的性质及其应用

我们将有关角平分线的如下一个性质称为“对称比定理”： 若I、1分别为△ABC的内心、∠A内的旁心,角平分线AI交BC于点D、交△ABC的外接圆于点A1,则     

第29届中国数学奥林匹克（2013）

第一天 1．如图1,在锐角△ABC中,已知AB〉AC,∠BAC的角平分线与边BC交于点D,点E、F分别在边AB、AC上,使得B、C、F、E四点共圆．证明：△DEF的外心与△ABC的内心重合的充分必要条件是BE＋CF=BC．     

优美半对称不等式的补遗

在△ABC中,设BC=a,CA=b,AB=c,ωa,ωb,ωc和ma,mb,mc分别为∠A,∠B,∠C的角平分线和中线,R,r分别为△ABC的外接圆和内切圆半径.     

一道韩国数学奥林匹克题的联想

题目在△ABC中,∠A的角平分线与BC交于点D,D在AB、AC上的投影分别为E、F.设EF的长为lA,同理定义lB、lC．若△ABC的周长为l,证明：     

利用线段的垂直平分线解题

我们知道,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,反之,到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,线段垂直平分线的这两个特征在处理有关线段或角的问题时运用十分广泛,现举例说明.例1如图1,等腰△ABC中,AB=AC,AB BC=13,AB边的垂直平分线MN交AC于点D,求△BCD的周长.分析:要求△BCD的周长,只需求BC CD BD,而由MN是垂直平分线,可知DA=DB,于是△BCD的周长=BC CD BD=BC AC,于是问题获解.解:因为MN是垂直平分线,点D在MN上,所以DA=BD.于是△BCD的周长=BC CD BD=BC AC=13.说明:这里通过线段的垂直平分线…     

数学奥林匹克问题

本期问题 初33.如图,不等边△ABC的三边满足关系BC=1/2(AB AC),O,I分别为△ABC的外心、内心,∠BAC的外角平分线交⊙O于点E。 求证:IO=1/2AE。