奇妙的数字三角形

13=1213+23=(1+2)213+23+33=(1+2+3)213+23+33+43=(1+2+3+4)213+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)213+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)213+23+33+43+53+63+73=(1+2+3+4+5+6+7)213+23+33+43+53+63+73+83=(1+2+3+4+5+6+7+8)213+23+33+43+53+63+73+83+93=(1+2+3+4+5+6+7+8+9)2上面的数字三角形,等号左边与等号右边的自然数一样,除第一横排外,都是从1开始的连续自然数,而且自然数的个数也相同。在排列上富于对称性。但是奇妙的是等号左边是每个连续自然数的立方和,而等号右边是连续自然数的和的平方。而这几个连续自然数的各数立方的和与这几个连续自然数…     

奇妙的数字三角形

11+31+3+51+3+5+71+3+5+7+91+3+5+7+9+111+3+5+7+9+11+131+3+5+7+9+11+13+151+3+5+7+9+11+13+15+171+3+5+7+9+11+13+15+17+19上面的数字三角形,各横排都是由连续奇数组成的加法算式。通过计算,每一横排数的和依次分别是1、4、9、16、25、36、49、64、81、100……,它们可分别用平方数表示为12、22、32、42、52、62、72、82、92、102……。所以我们有趣地发现,每一横排数的和用平方数表示后,得到的底……1=121+3=221+3+5=321+3+5+7=421+3+5+7+9=521+3+5+7+9+11=621+3+5+7+9+11+13=721+3+5+7+9+11+13+15=821+3+5+7+9+11+13+15+17=921+3+5+7+9+1…     

奇数的一个性质

任意一个不等于1的奇数的平方,都可表示成两个连续自然数平方的差。 证任一个不等于1的奇数可表示成Zn+1,”〔N,n子0则有 (2”+1)2=4n2+4打+l=(2”2+Zn+1)+(2”2+Zn)二〔(2n2+Zn+1)+(2n2+Zn)〕〔(2n2+Zn+ +1)一(Zn“+Zn)〕=(2”2+Zn+1)2一(2n2+2”)2。 因为n是一个自然数,所以,2,,+2。++1和2n2+2n是两个连续的自然数.从而命题得证。 如令n=1,2,3,…,得 32=52一42; 52=132一122, 72一25么一24:,……奇数的一个性质@郝桓文$兰州教育学院~~…     

怎样求连续数的个数

一、连续自然数的个数是:尾数-首数+1。例如,自然数1,2,3,……,100的个数是100-1+1=100(个)。又如,自然数10,11,12,……,206的个数是206-10+1=197(个)。二、连续奇数或连续偶数的个数是:(尾数-首数)÷2+1。例如,连续奇数1,3,5,7,9,11,13,11,15的个数是(15-1)÷2+1=8(个);25,27,29,……,99的个数是(99-25)÷2+1=38(个)。又如,连续偶数12,14,16,……,108的个数是(108-12)÷2+1=49(个);100,102,104,……,200的个数(200-100)÷2+1=51(个)。三、差数相同的连续自然数的个数是:(尾数-首数)÷差数+1。例如:差都是3的自然数1,4,7,……,247的个数是(2…     

如何解答数学猜测题

中考试卷中出现的数学猜测题 ,一般是先给出一些数字 ,然后提出问题 ,考生需从所给数字找出规律 ,再做出解答 .这类题目有一定的难度 ,但可以提高观察力 .例 1　已知 :1 + 3=4 =2 2 ,1 + 3+ 5=9=32 ,1 + 3+ 5+ 7=1 6 =4 2 ,1 + 3+ 5+ 7+ 9=2 5=52 ,……根据前面各式的规律 ,可猜测 :1 + 3+ 5+ 7+… + ( 2ｎ + 1 ) =(其中ｎ为自然数 ) .( 2 0 0 0 ,湖北省黄冈市中考题 )分析 :本题从规律上看是连续奇数相加所得结果为某一数平方 .但题目使用“2ｎ +1”来表示一个抽象的奇数 ,这便增加了难度 .经观察 ,每个式子的最后一个奇数加 1除以 2再平方…     

“数学归纳法”证题的关键

数学归纳法是证明与自然数n有关的命题P(n)的数学思想方法.近年来的高考时有涉及. 用数学归纳法证题。“奠基”和“递推”这两步缺一不可,并需把握好其中的一些关键点. 一“奠基”步不可或缺例1 设n为正奇数,求证,n4+14n2+49是64的倍数. 证明:(1)当n=1时,14+14·12+49=64是64的倍数; (2)假设当n=2k-1(k∈N*)时,n4+14n2+49是64的倍数.令Sn=n4+14n2+49,则当,n=2k+1时,S2k+1-S2k-1=[2k+1)4+     

自然数分拆成若干个连续奇数之和的充要条件

非 2幂的自然数分拆成若干个连续自然数之和的问题已被文 [1]解决 ,本文经过类比研究 ,得到了自然数分拆成若干个连续奇数之和的充要条件及与此分拆问题相关的一些主要结果。一、充要条件定理 1　如果用ｎ、ｋ表示自然数 ,且ｋ≤ｎ - 2 ,那么任意一个自然数Ｎ分拆成若干个连续奇数之和的充要条件是Ｎ =ｎ2 -ｋ2 。证明　先证必要性如果Ｎ可分拆成若干个连续奇数之和 ,那么可设Ｎ =( 2ｋ+1) +( 2ｋ+3 ) +… +( 2ｎ- 1)(ｎ、ｋ∈Ｎ且ｋ≤ｎ- 2 )。由等差数列的知识易知1+3 +5+… +( 2ｎ - 1) =ｎ2 ①1+3 +5+… +( 2ｋ- 1) =ｋ2 ②① -②得ｎ2 …     

俄罗斯萨温数学竞赛题选

1.请回答:在自然数中是否任何一个偶数都可以表示为两个加数的和,而且这两个加数都纯由奇数数字所构成呢?2.试在自然数中求出所有可能的数组(a,b,c),使a3+6ab+20,b3+6bc+20以及c3+6ca+20都成为完全立方数.3.四边形ABCD为平行四边形.过AD边上的M点作两条直线分别平行于对角线BD及AC,两条直线又分别交AB及CD于P及Q点.试证明△PBM与△QCM的面积相等.4.在文字算式“初中生+初中生+……+初中生=数学竞赛”中,要求不同的文字代表不同的数字,相同的文字代表相同的数字.那么你认为最多能有几个“初中生”相加等于某个“数学竞赛”呢?5.如…     

关于两个连续自然数乘积的定理及其应用

本文给出一个自然数能分解为两个连续自然数乘积的充分条件,并举数例说明其应用。 [定理] 设n是大于1的任意奇数,则数1/4(n~2-1)可以分解成两个连续自然数的乘积。证明∵n是大于1的奇数,∴可设n=2m+1(m∈N) ∴     

“角谷猜想”之谜

30多年前,日本数学家角谷静发现了一个关于“1”的现象:一个自然数,如果它是偶数、那么用2除它:如果是奇数,则将它乘以3以后再加上1.这样反复运算,最终必然得到“1”. 例如:自然数6是偶数,除以2,得3;因为3是奇数,乘以3加1,得10;10是偶数,除以2,得5;……运算过程如下:6→3→10→5→16→8→4→2→1.最后变成“1”.再例如:自然数Ⅱ是奇数,它的运算过程是:11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1. 如果是自然数27,通过这两种运算也能得到1,但     

2005新春趣题

在新年钟声敲响之际,做一做与2005年有关的趣题,你一定会倍感愉快。现在就开始吧!1.鸡年吉祥2005年农历为鸡年。想想看,“鸡”“年”“吉”“祥”分别表示几,才能使等式成立?鸡鸡鸡鸡鸡鸡÷年年年+年-年÷年=2005吉吉吉吉吉吉÷祥祥祥+祥+祥+祥=20052.奇妙的数“142857”是一个奇妙的数:142857×1=142857142857×2=285714142857×3=428571142857×4=571428142857×5=714285142857×6=857142不论得数如何,总是1、4、2、8、5、7这几个数在变魔术。下面,我们请你来动一动脑筋,做一个关于2005与142857的游戏:“625÷125=5”是一个等式,可是这个…     

2002趣题

新世纪第一年即将过去 ,现拟几道与数2 0 0 2有关的趣题迎接 2 0 0 2年的到来。题 1 :1 +2 +3 +…… +2 0 0 1 +2 0 0 2是奇数还是偶数 ?解 :因为 1、2、3、4、……、2 0 0 1、2 0 0 2这些加数是一奇一偶排列的 ,所以其中共有 2 0 0 2÷ 2=1 0 0 1个奇数。而 1 0 0 1是奇数 ,这说明所给加法算式中共有奇数个奇数 ,所以和一定是奇数。题 2 :计算 666…… 662 0 0 2个 6× 3 3 3…… 3 32 0 0 2个 3的积中各位数字之和。解法 1 :从 2 0 0 2位数退到 1位数6× 3 =1 8,1 +8=9从 2 0 0 2位数退到 2位数66× 3 3 =2 1 78,2 +1 +7+8=9× 2从 2 0 0 …     

连续自然数的和与积的一些性质

几个连续自然数所构成的数列,是一个以1为公差的等差数列,根据等差数列的通项公式可知,最小数为m(m≠0,下同)的n个连续自然数的和为Sn=nm+n(n-1)2.(1)最小数为m的n个连续自然数的积记为Tn=m(m+1)(m+2)…(m+n-1).(2)本文对几个连续自然数的和与积的一些性质做一点探讨.关于这些性质,我们或者给出证明思路,或者只给出结论,其详细的证明留给有兴趣的读者去完成.1连续自然数之和的性质性质1两个连续自然数之和是奇数.性质1显然成立.由性质1不难推出:任意四个连续自然数之和(两个奇数之和)一定是偶数.进一步有:任意4n(n∈N+)个连续自然数之和一定是偶数.     

六年制第四册第三单元 万以内的减法

(时间100分钟,满分100分)一、直接写出得数(每题1分,共11分)75-70=64-64=270-0=71＊12=1602＊804=18+ZX 5 ==35+27+3=300—200—17=36+9十4=36X 6+6=4 X 2 Xg=二、在O里填上+、一、x、+、>、。、<号。(每题二分,共14分) 2700＊900O1800 1400+600O2100 88-59O27 480O50=430 h 81O 3=27 4 O 9=36 64O36=100 三、在口里填上合适的数。(6分) 0刁5＊]8口5 一328 一U7口 4口12 gg 四、下面各题对不对?对的在括号内打“/,错在括号内打“X”,并改正过来。 (6分) 414 2 2 0 73 —ZI 72()一 118 5() 2 0 7 0 888 五、填表。(每空1分,共9分) 11…     

“(8+3(7)~(1/2))~n的整数部分是奇数”的一个简单证明

在《高中数学复习与考试》一书中有这么一个问题:“试证,对于一切自然数n, (8十3了万)”的整数部分必为奇数.”若用数学归纳法,较难证得此题,下面介绍一种简单证法. 证明:丫(8+3训万)”=C盆8钻+C乏8”一1 03了了+…C盆(3了不)”=A。+刀。(1) (8一3了万)”=c盆8“一C盖8”一1 03训了,…+(一1)”C盆(3了万)性=A。一B。(2)其中,A。为展开式中奇数项的和,是一自然数;刀。为偶数项和的绝对值,是含侧了的无理数。 (1)X(2)得 .’.A老一B莞二1,…B。二侧A异一l,侧有(8十3了不)”=A。+训A莞一1 =ZA。一(丫A凳一侧A芝一1, 不妨记。二=了A莞一…     

数学第一册总复习

一、把左边的3只小玛圈起采,给石边的第3只小鸡打..V”。心心心心心心心心心ha十位个位搞益()个一十和()个一()个(2.十位上的数是1,个位上是8,这个数是( 个位上的数是8,十位上是l,这个数是(3.1个十和4个一组成(),7个一和4.从。数起,第20个数是()。5.在()里填上适当的数。 4+()=96一()=49+()6.把下面的算式按得数从大到小排列。 飞+R 10+74+97+8 ()个() )。 )。个十组成()。=14 >>>>7.算一算。 9+7=9一2=18一10=三、把得数相同的算式连起来。 5+4+l=9一3一5= 18一8一6二9+6+7二 10一()=46+8 10一4=10一2一4二8+9一7=’、必必必必大约是_时再…     

快速判断互质数

课本中指出:“公约数只有1的两个数,叫做互质数。”根据这一定义,如何才能快速而准确地判断出两个数是不是互质数呢? 1.相邻的两个自然数是互质数。如:8与7;16与15。 2.两个连续的奇数是互质数。如:9与11;37与35。 3.1和任意一个自然数是互质数。如:1与38,90与1。 4.两个数都是质数,这两数是互质数。如:5与11;19与7。 5.相差为2、4、8的两个奇数是互质数。如:15与19;23与27;49与41。 6.2、4、8三个数和任意一个奇数是互质数。如:2与11,4与15,37与8。     

灵活运用组合数的性质求和

组合数、排列数、自然数连乘积、自然数的方幂等求和中 ,很多问题 ,有时百思不得其解 .灵活运用组合数的性质 :Cmn+1 =Cmn + Cm- 1n ,却能化难为易 ,获得简捷明快的解法 .下面由浅入深研究四个问题 .一、排列数与组合数的求和例 1　求证 :Cmm + Cmm- 1 + Cmm +2 +… + Cmn =Cm+1n+1(其中 m ,n均为正整数 ) .证明 :根据组合数的性质 :Cmm =Cm +1m +1 ,Cmn + Cm- 1n= Cmn+1 .∴ Cmm + Cmm +1 + Cmm+2 +… + Cmn =Cm+1m+1 +Cmm +1 + Cmm+2 +… + Cmn =Cm+1m+1 + Cmm+2 +… + Cmn =… = Cm +1n + Cmn =Cm +1n+1 .例 2　求和 :S =Pmm…     

神奇的完全数

如果一个自然数等于除它自身以外的各个正因子之和,则这个数叫做完全数.完全数被古人视为瑞祥的数,古希腊人在公元2世纪就发现了完全数.最小的一个完全数是6,意大利人把6看成是属于爱神维纳斯的数,以象征美满的婚姻.中国古代的哲人们总是把数字6作为一个周期完成的标志,像《周易》就是6爻成卦的.很早以前人类知道的4个最小的完全数是6,28,496,8128.这是因为6=1+2+3,28=1+2+4+7+14,496=1+2+4+8+16+31+62+124+248,8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064.看来,自然数中的完全数不多,已初步看到,前八千多个自然数中才有4个,而在前四…     

小学毕业生学业考试数学试题

试题(一)一、填一填。(27分)1.在1～10的自然数中,()是质数,()是合数,()是奇数,()是偶数。2.59的意义是把单位“1”()分成()份,表示其中的()份,它的分数单位是()。3.2.14吨.=()千克3900立方厘米=()立方分米1时40分=()时700毫升=()立方分米=()升4.甲数是乙数的53,如果甲数是m,乙数是();如果乙数是m,甲数是()。5.一个正方体的棱长总和是84分米,这个正方体的表面积是()平方米。6.0.35=()%八五折=()%7.41里有()个2140.8里有()个0.018.一个三角形的内角度数的比是.2:3:4,这个三角形最大内角是()度,它是()三角形。9.一堆货物,甲车单独运完需要3小…