圆锥曲线定长弦中点的轨迹方程

本通过几个定理给出圆锥曲线定长弦的中点的轨迹方程。     

浅谈定比分点及其应用

设P1，P2是直线l上的两点，P是l上异于P1、P2的任意一点，则存在实数λ，使P1P^→=λPP2^→，λ叫做点P分有向线段P1P2^→所成的比。     

圆锥曲线中动弦中点轨迹方程的求法

求动弦中点轨迹问题是解析几何中经典的题型,本文借助题目详细讲述代入法、点差法、坐标转换法的使用.     

圆锥曲线变动弦中点轨迹方程的统一求法

本文给出圆锥曲线各种变动弦中点轨迹方程的统一求法,这种求法程序简单,便于记忆和应用。在此基础上就几类常见的弦中点轨迹问题分别举例加以说明。 一、一般圆锥曲线变动弦中点轨迹的统一方程及求法 引理:设圆锥曲线C的方程为:F（x,y）=Ax~2 Bxy Cy 2 Dx Ey F=0（1）记Fx（x,y）=2Ax By D,F＇y（x,y)=Bx 2Cy E假如C以己知点M（Xo,yo）为中点的弦存在,则该弦所在直线的方程为:     

二次曲线定比分点弦的两个结论及应用

二次曲线C的弦AB,若被定点P分成的比为定值λ,则称弦AB为C的定比分点弦.二次曲线定比分点弦所在直线方程的求法,文[1]、文[2]都有涉及,但在实际应用中,文[1]的方法计算量大,步骤多,文[2]的结论只涉及P在二次曲线内部且λ＞0的情况,没有突出P点作为定比分点的一般意义,使得结论很有局限性.本文从定比分点的一般意义入手,给出几个容易为中学生接受且更为普遍的结论.     

面积的定比分点公式及其应用

线段的定比分点公式,如图1,在梯形ABCD中,EF// BC,AE/五B~几,AD一泛,BC一b,则EF~(a 久b)/(l十幻. S△。忍F 由例1到S△D:: 例2_一一一一卫些止一一一.、一(a b)(占 e)(c a)一△”。。AD的结论,利用基本不等式,很容易得镇奇“△AB二A ED 盆C ‘盏C工一迁A入||犷奖卜必D 谈B如图4,已知AD、BE、CF是△ABC的三条高,垂足分别是D、E、F,则BL M NC~2{eosAeosBeosC). △一△S一S D A-一2 图l图2 根据上述公式,我们可得到面积的定比分点公式,四边形ABCD中,E是AD上任一点,AE/ED~又,则 S△E二一(S△A犷 沼△DBc)/(l十劝.…     

定比分点的向量式及其应用

定理:已知直线AB上一点P,(AP|→)=λ(PB|→),O为平面上任一点,求证(OP|→)=((OA|→) λ(OB|→))/1 λ．证明:由(AP|→)=λ(PB|→)得(OP|→)-(OA|→)=λ((OB|→) (OP|→)),化简即得(OP|→)=((OA|→) λ(OB|→))/1 λ．该定理就是定比分点的向量式表示,在数学解题中,有时比定比分点的坐标式更简捷方便,本文试举例加以说明．     

圆锥曲线的中点弦方程及应用

性质 1　圆 (ｘ -ｈ) 2 (ｙ-ｋ) 2 =ｒ2 中 ,以Ｐ0 (ｘ0 ,ｙ0 ) (ｘ0 ≠ｈ或ｙ0 ≠ｋ)为中点弦的所在的直线方程为(ｘ0 -ｈ) (ｘ-ｘ0 ) (ｙ0 -ｋ) (ｙ- ｙ0 ) =0 .当ｈ =ｋ=0时方程变为ｘ0 (ｘ -ｘ0 ) ｙ0 (ｙ - ｙ0 ) =0 .证明　设弦所在直线与圆交于Ａ(ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,所以有(ｘ1-ｈ) 2 (ｙ1-ｋ) 2 =ｒ2 ,(1)(ｘ2 -ｈ) 2 (ｙ2 -ｋ) 2 =ｒ2 . (2 )(2 ) - (1)得　　 (ｘ2 -ｘ1) (ｘ1 ｘ2 - 2ｈ)　　 =- (ｙ2 - ｙ1) (ｙ1 ｙ2 - 2ｋ) .当ｘ2 ≠ｘ1时 ,可变为ｘ1 ｘ2 - 2ｈｙ1 ｙ2 - 2ｋ =- ｙ2 - ｙ1ｘ2 -ｘ1.又Ｐ0 (ｘ0 ,ｙ0…     

用定比分点公式解一类轨迹问题

我们知道,在直角坐标系中.则点P分百厄所成的比入为: P、PX一X,{Y一Y,) 人一云士升一三升一代亡}一‘二一-行子} PPZX:一X、Y:一Y:j设点P:(X,,、r.).P:(X:.YZ).若点P(X.Y)为有向线段PIPZ的一个分点.且入共一l时.有定比分点公式:X一 入XZ l 入YI 入YZ l十入 一一一一XY!、||t当*>。时,。为内分点.此时*一兴一留当入相似文献   

圆锥曲线中点弦的方程及应用

对于圆锥曲线，我们可归纳出如下结论： 方程①、②、③形式优美，记忆方便，应用它可简捷地处理一类与圆锥曲线中点弦有关的问题．     

浅谈定比分点的向量式及其应用

有向线段的定比分点公式有两种形式，一种是教科书中介绍的坐标式，即设p1(x1，y1)，p2(x2，y2)且点P分p1p2所成的比为λ（λ≠-1），则{xp=x1 λx2/1 λ yp=y1 λy2/1 λ;另一种是向量式，教科书没有提到，即设点P分p1p2所成的比为λ，O为其平面内任一点，     

定比分点公式的向量形式及其应用

在向量学习过程中,关于线段的定比分点公式有两种形式,一种是坐标形式,另一种是向量形式.由于向量形式在应用时更具有整体性和便捷性等特点,其应用十分广泛.下面举例说明这一公式的应用. 一、定比分点公式的向量形式及思考1.定理的推导及变式定理1 若A,B,C三点共线,且AC=     

圆锥曲线弦中点轨迹的探讨

<正>1引入例1:直线l过抛物线y²=4x的顶点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例2=4x的顶点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例²:直线l过抛物线y2:直线l过抛物线y²=16x的焦点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例3:直线l过(0,4)点,与抛物线x2=16x的焦点,与抛物线相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。例3:直线l过(0,4)点,与抛物线x²=8y相交所得的弦为PQ,求PQ的中点M的轨迹方程。分析上述三个例题的轨迹方程,得到如下结论:过抛物线内对称轴上一定点(包括顶点)的直线截抛物线所得弦中点的轨迹是一条以该定点为顶点,通径为原抛物线的一半的抛物线,且所得抛物线开口方向和对称轴与原抛物线相同。     

利用点对称解有关圆锥曲线弦的方程

大家知道:“求已知点为中点的圆锥曲线弦所在的直线方程”问题是中学解析几何课程中,一种重要的类型题,它有很多种不同的解法。本文利用点对称变换的方法解决这种类型问题,并举例说明它的应用。这种解法具有明显的几     

定比分点坐标公式的应用

定比分点的向量式:图1如图1,一般地,若P是分线段P1P2成定比λ的分点(即P1P=λPP2,λ≠-1)则OP=1 1λOP1 1 λλOP2.证明:设O为平面上任意一点,若P1P=λPP2.则OP-OP1=λ(OP2-OP)=λOP2-λOP∴(1 λ)OP=OP1 λOP2即OP=1 1λOP1 1 λλOP2.特别地,当λ=1时,点P是线段P1P2的中点,则OP=21(OP1 OP2)称为线段P1P2中点P的向量表达式.变式:一般地,若P、P1、P2三点共线,且P1P=nmPP2,O为任意一点,则OP=nOP1m mnOP2图2应用例析:一、探求点的坐标【例1】如图2,△ABC顶点A(1,1),B(-2,10),C(3,7),∠BAC平分线交BC边于D,求…     

线段的定比分点

在xOy平面上给定两个不同的点;A_1(x_1,y_1)位置及A_2(x_2,y_2)。用点A把线段A_2A_2按比例λ_1:λ_2进行分割,求A点的坐标,假定线段A_1A_2不与x     

圆锥曲线中点弦方程的求法及应用

文[1]对圆锥曲线中点弦的存在性问题作了定性分析,本文在此基础上,给出中点弦所在直线方程的求法,并举例说明其应用.     

应用圆锥曲线的定义求轨迹方程

圆锥曲线的定义是研究曲线及其方程的基础和依据．求轨迹方程有多种方法,回归定义是最基本有效的方法之一,在解题的同时又加深了对定义的进一步理解和认识,其特点是思路清晰,运算简单．下面撷取几例,加以说明．     

应用圆锥曲线的定义求轨迹方程

圆锥曲线的定义是研究曲线及其方程的基础和依据·求轨迹方程有多种方法,回归定义是最基本有效的方法之一,在解题的同时又加深了对定义的进一步理解和认识,其特点是思路清晰,运算简单·下面撷取几例,加以说明·