一个代数恒等式及其应用

本文拟给出一个代数恒等式，并探讨它的一些应用．（1）式虽然简单，但很有用．它既可证明等式和不等式，又可加强不等式．下面举例说明．一、证明恒等式例2设a、b、c是△ABC的三边，△、P、r分别为其面积、半周长和内切圆半径．则证参照文[1]，（2）等价于因此，只要证由（1）、（4）易证（5）式成立．所以（3）成立，从而（2）得证．二、证明不等式例4设x，y，z是正数，则（6）式是W·Janous猜测，下面用（l）给出一个简捷证法．以上三式相加，整理得所以，（6）得证．三、加强不等式此即平均值不等式的加强．用a_i去替代上式中的a_i~2…     

构造恒等式 证明不等式

不等式证明的难度较大，方法灵活多变，本文想从构成恒等式的角度，给出一些常见不等式的基本证法，为数学课外活动提供一点有益的素材．     

运用换元法 巧证不等式

对于分式不等式问题,我们希望分母尽可能简单．然而,在一般情况之下,所给的分式不等式的分母都较为复杂．为了使分式中各个分母变得简单一些,我们可以将分式中的每一个分母作为一个整体来看待,分别用一个字母去替换它．这样,就可以将分母简单化,将整个问题化繁为简,化难为易．这种证明方法我们把它称为分母整体换元法．下面,我们利用整体换元法来证明某些分式不等式问题．     

敬告读者

高中现行教材中已给出一些运用导数解决关于函数的单调性、极值、最值的问题和简单的应用题．但随着高考对导数的考查力度的不断加大、加深，有必要对导数的应用做进一步的研究．本文将给出导数在组合恒等式的证明、数列的求和与不等式的证明中的一些应用，供大家参考．     

拉格朗日定理在证明不等式中的妙用

高中数学新教材中增加了近、现代数学思想，这为中学传统的数学内容注入了活力，也为解决一些初等数学问题的方法提供了广度．在初等数学中，有些不等式在结构上与微积分中的拉格朗日定理的结论相似，但用初等数学的方法证明却难度大而繁琐．如果运用构造法巧妙地构造一个函数，再利用拉格朗日定理及不等式的变形，就可以使要证明的不等式得到简单、快捷的证明．     

涉及三角形及一动点的一个几何不等式

运用Bottema不等式及若干三角形恒等式,证明平面上任一点到三角形三顶点距离的一个加权不等式,然后应用该不等式和一已知不等式证明Fermat和的一个新不等式.     

涉及三角形动点的一个含参比值型不等式

通过三个已知三角形恒等式和三角形重心坐标置换,用三角形嵌入不等式和配方法证明涉及三角形平面上任意一点至三顶点与三边距离的一个含参比值型不等式,据此通过置换方法与简单的三角形恒等式,推导若干新结论.     

涉及三角形动点的一个含参比值型不等式

通过三个已知三角形恒等式和三角形重心坐标置换,用三角形嵌入不等式和配方法证明涉及三角形平面上任意一点至三顶点与三边距离的一个含参比值型不等式,据此通过置换方法与简单的三角形恒等式,推导若干新结论.     

绝对值的化简与求值

绝对值是初中代数中的一个基本概念．存求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．     

整体代换法证分式不等式例说

对于许多分式(或可化为分式)不等式,可以分别将不等式项数较多的一端及它的各项分母的和看成一个整体,再由它们组成的简单恒等式(如3=M/M+N/N+1等)算术—几何平均值不等式加以证明.这种方法不但有较广泛的适     

一个新的三角恒等式

设a，b，c，R，r分别为三角形的三边长、外援圆及内切圆增径，则有［‘j最近，本人又证得以下不等式（证明从略）：比较上述两个不等式，作者发现一个新的三角恒等式．定理若a，b，c，R，厂分别为三角形的三边长、外接圆及内切圆半径，则证明根据三角形中的恒等式＊］知原式等价于将此式左端展开，整理可得所以，定理成立．一个新的三角恒等式@宋庆$江西省永修县一中!3303041宋庆。若干几何不等式的讨论.九江师专学报1998,6. 2R.A约翰逊著,单汉译.近代欧氏几何学.上海教育出版社,1999,8(第1版).…     

关于一个组合数公式的证明

在学习排列组合时,经常会遇到一些关于组合数性质的证明题．如果不熟悉有关组合数的一些性质,我们就会产生困惑,不知从那里人手．下面以一个组合数公式的不同证明方法为例,请同学们体会关于这一类代数恒等式的证明,其对我们熟悉的组合数性质的证明题也会有所帮助．     

Euler恒等式π~2/6=sum (1/k~2) from k=1 to ∞的初等证明

Euler恒等式π~2/6=1+1/2~2+1/3~2+…经常由中学教师向学生介绍.这个恒等式的证明通常都用到较深的分析工具,如Bernouli多项式、Fourier级数、函数的Taylor展开式等等.不少学完微积分的大学生对这个恒等式也是知其然而不知其所以然.本文用DeMoivre公式和简单不等式给出这个恒等式一个初等证明.     

一个应用广泛的代数恒等式

本文给出一个新的代数恒等式,利用它可以很容易地导出一些代数与几何不等式,并且这些不等式都是通常的一些重要不等式的推广形式。     

构造函数法证明不等式

不等式的证明方法是多种多样的，除了课本上介绍的一些方法外，有些不等式还可以利用函数的性质来证明．这种方法的要点是：构造一个与所求不等式相关的函数，根据这个函数的性质得出不等式的结论．     

利用母函数法证明组合恒等式

简单的组合恒等式可以由多重集的排列、组合的定义直接发现并且证明,但对于一些复杂的组合恒等式,这种方法就显得无能为力.本文利用母函数法这个强有力的工具,首先列举了一些常见序列的母函数,然后利用它们证明了一类较为复杂的组合恒等式.     

转化——解（证）不等式的一把钥匙

不等式证明是中学数学中比较重要的内容，由于不等式证明的方法比较多，技巧性也比较强，一般学生很难掌握，是学习的一个难点．因此掌握一些转化的解题技巧可以帮助我们更好地学习不等式．下面通过举例来说明几种转化的技巧．     

巧用权方和不等式证明不等式

不等式的证明难度较大,方法灵活多变,技巧性又强,又没有规定的模式,使得不等式的证明一直是各种数学竞赛考试的热点．笔者经过探究发现,若能恰当地应用好权方和不等式,就能使一些复杂不等式的证明变得十分简单．     

证明恒等式的一种特殊方法

概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科，有其独特的研究问题的理论和方法。概率论的思想和方法也可以用来解决其它学科的有关问题，例如对于数学中有的恒等式的证明，就可以将所要证明的恒等式放到相关的概率模型中去考虑，使恒等式得到证明。例１．证明：Cnr＝Cnn－r（rn，r，n均为正整数）这是数学排列组合中一个常用的恒等式，当然可以用排列组合的计算方法得到证明。下面用概率论的思想方法给出证明。证明：构造概率模型：从n个人中选出r个代表去开会。有两种选法：选法一：从n个人中选出r个人，这r个人就做为代表去开会。选法二…     

分析法与思维能力的培养

分析法是高中数学《不等式的证明》这部分内容引出的一种证明方法。运用分析法可以解决大量的不等式、恒等式的证明问题,它还可以解决一些求解方面的问题,特别是在题目有一定难度、思维受阻时更显示出这种方法的优越性。本文以一些典型习题为例,探讨分析法对于思维能力的培养问题。 例1 对于一切大于1的自然数n,证明: