何时需分类讨论

分类是初中数学中一种重要的思想方法。分类讨论 ,一方面可以将复杂的问题分解成若干个简单的问题 ,有助于问题的解决 ;另一方面 ,恰当进行分类 ,可避免以偏概全 ,丢值漏解。那么 ,何时需要分类讨论呢 ?一、题目中含有不确定的参数时需分类讨论例 1.一次函数 y=kx+ b,当 - 3≤ x≤ 1时 ,对应的 y值为 1≤ y≤ 9,则 kb的值是 (　 )。A.14;　　　　 B.- 6 ;C.- 4或 2 1;D.- 6或 14。简析 :题目中给出了一个函数图象的一部分 (线段 ) ,不能只认为是当 x=- 3时 ,y=1,当 x=1时 ,9。而应分为 k>0和 k<0两种情形讨论 :当 k>0时 ,线段两端点为 (- …     

应用分类讨论思想解中考选择题

分类讨论思想是解题的一种重要思想方法,本文举例说明在中考选择题求解中的应用.例1一次函数y=kx+b,当-3≤x≤1时,对应的y值的取范围为1≤y≤9,则kb的值为().A.14B.-6C.-4或21D.-6或14解分k>0和k<0两种情况进行讨论.(1)k>0时,函数值y随x的值增大而增大,所以当x=-3时,=1;当x=1时,y=9.于是,-3k+b=1k+b= 9解之,k=2,b=7,故kb=14.(2)k<0时,函数值y随x的值增大而减小,所以当x=-3,y=9;当x=1时,y=1.于是-3k+b=9,k+b=1 .解之,k=-2,b=3,故b=-6.综上,kb=14或kb=-6.选D.例2已知方程x=ax+1有一个负根而且没有正根,那么的取值范围为().A.a>-1B.a=1C.a…     

用分类讨论思想解一次函数多解问题

<正>有些与一次函数有关的数学问题,在题目给定的条件下,其答案有两种或两种以上的结果,解决这类问题时,许多同学往往因忽视某种情况而导致以偏盖全.本文略举数例,说明如何用分类讨论思想解决此类多解问题.例1 如果一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2≤x≤6,相应函数值的范围是-11≤y≤9,求此函数解析式.分析因为函数的增减性不明确,所以应分k>0和k<0两种情况讨论求解.解①当k>0时,y随x的增大而增大,∴当x=     

一次函数的最值问题

<正>一次函数背景下的最值问题,是历年中考热点考题.题型主要涉及三个方面：函数性质中的最值问题,几何图形中的最值问题,利用一次函数性质解决生活中的最值问题.下面分类进行举例说明.一、一次函数性质（增减性）最值问题例1当自变量-1≤x≤3时,函数y=|x-k|（k为常数）的最小值为k+3,     

浅析分段函数的性质

分段函数是指在定义域的不同部分,其对应法则也不相同的函数.分段函数是一类表达形式特殊的函数,是中学数学中的一种重要函数模型.分段函数有关问题蕴含着分类讨论、数形结合等思想方法,对优化学生的思维品质十分有益.一、分段函数的定义域与值域分段函数的定义域为每一段函数定义域的并集,在表示每一段函数中x的取值范围时,要确保做到不重不漏,即交集为空集,并集为整个定义域.值域是各段值域的并集.例1求函数y=-x 4,x>2,x 3,02,0相似文献   

初中生数学教学对学生发散思维培养例谈

培养学生的发散思维能力是创新教育中的一个重要研究课题 ,它日益受到广大师生的重视。笔者在教学实践中进行了认真的探索与研究。一、清除思维障碍 ,引导发散思维清除思维定势消极影响 ,就是在教学中不断提供典型例题让学生自己来认识负迁移的危害。例如 ,在解答以下问题 :已知y =x2 +1,当 -2≤x≤ 1时 ,求y的取值范围中 ,有不少学生回答 2≤y≤ 5 ,也有说 1≤x≤ 5的 ,哪一种说法正确呢 ?前一类学生说我们曾做过类似的习题 ,如 :已知y =x +1,当 - 2≤x≤ 1时 ,求 y的取值范围。我们把x的值分别代入 ,求得相应的 y值。这类学生显然是把以往…     

例说中考中的最值问题

近年来的中考中,经常遇到最值问题.解答它们,方法因题而异.下面从三方面举例介绍,供参考.一、代数式最值问题解答代数式最值问题时,要注意灵活利用不等式性质和配方方法.例1(2010年福建省晋江市)已知0≤x≤1,且x-2y=6,则y的最小值是____.     

闭区间上三次函数的最值

函数在闭区间上的最值问题本质上是一个数学规划问题 .高中教材中讨论了二次函数在闭区间上的最值问题 ,现在导数进入了中学教材 ,使得对三次函数最值的讨论成为可能 .本文讨论三次函数 y( x) =x3+ ax2 +bx+ c在闭区间 [α,β]上的最值问题 .记导函数 y′( x) =3x2 + 2 ax+ b的判别式为 Δ.当Δ≤ 0时 ,y( x)没有极值点 ,是单调增函数 ,所以 y( x)在 [α,β]的端点处达到最大、最小值 .当Δ >0时 ,y′( x)有两个零点 ,记为 x1和 x2 ( x1 相似文献   

两类应用一次函数解经济型应用题

在各地中考试题中,出现了两类应用一次函数解经济型应用题,现归纳如下: 一、建立一个一次函数模型在一次函数y=kx+b(k≠0)中,设x取x1、x2时,y的对应值分别是y1,y2,当x1≤x≤x2时,函数图象是线段,函数有最值:(Ⅰ)若k>0,y随x的增大而增大,如图1,当x=x1时,y最小值=y1;当x=x2时,y最大值=y2.(Ⅱ)若k<0,y随x增大而减小,如图2.当x=x1时,y最大值=y1;当x=x2时,y最小值=y2.     

浅谈《相似形》中的数学思想

正一、设参数法的思想本章中关于求比例线段长度的问题,可以采用设参数的方法来巧解。例1若x:y:z=3:4:5,且x+y+z=48,求x,y,z的值。分析:设x=3k,则y=4k,z=5k。因此3k+4k+5k=48,解得k=4。所以x=12,y=16,z=20。二、分类讨论的思想分类讨论的思考方法广泛地存在于相似形中,相似形中有些问题由于题设笼统,要进行讨论。分类讨论一般根据其数量     

小题目 大思想

填空题、选择题以其小型、灵活、多样的特点占据着中考试题的“半壁江山它重点用于考查基础知识、基本技能和基本数学思想方法.考查的数学思想方法主要有:一、分类讨论思想如果某个问题可能有多种情况出现或推导结果不能唯一确定,则需要分类讨论.例1(2005年湖北省荆州市中考试题)若y关于x的函数y=(a-2)x2-(2-1)x+a的图象与坐标轴有两个交点,则a可取的值为.分析:由于a-2的值不确定,故需分类讨论.(1)当a-2=0,即a=2时,函数为y=-3x+2,是一次函数,它与坐标轴有两个交点(2)当a-2≠0,即a≠2时,已知函数的图象为抛物线,要使它与坐标轴有两个交点,则…     

数学思想在有理数中的体现

学习数学除了要学习数学知识外,更要学习数学思想.在有理数的学习中就有数学思想的体现.一分类讨论思想即依据问题的特点和要求,将研究和解决的问题分成几种情况,按照一定的标准,逐一进行研究、解题的一种数学思想.例1已知|x|=3,|y|=7,则x+y的值=.解:∵|x|=3,∴x=±3,∵|y|=7,∴y=±7.①当x=3,y=7时,x+y=3+7=10;②当x=3,y=-7时,x+y=3+(-7)=-4;③当=x-3,y=7时x+y=(-3)+7=4;④当x=-3,y=-7时,x+y=(-3)+(-7)=-10.[注]应用分类讨论思想解题,可化整为零,化大为小.解题时,分类标准要统一,答案既不重复也不遗漏.二化归转化思想即将所要研究和解决的…     

三角代换的解题功能

三角代换在解题过程中显示着特殊作用 ,本文结合实例介绍几种常见的功能 .1　简化功能有些具有多种解法的题目 ,用三角代换可以去掉根号、减少变元、简化结构、缩小计算量、简化或避免复杂的讨论等等 ,从而化繁为简、化难为易 ,使问题简捷获解 .例 1　求函数 y=x- 1 + 5- x的最值 .析与解　由于 y与 y2同时取得最值 ,故将原式两边平方 ,利用二次函数可求得结论 ,但此法繁琐 .用三角代换可得下面优解 .由 x- 1≥ 0 ,5- x≥ 0 ,得 1≤x≤ 5,0≤x- 1≤ 4 .设 x- 1 =4 sin2 θ( 0≤θ≤ π2 ) ,则y=x- 1 + 5- x=4 sin2 θ+ 5- ( 1 + 4 sin2 θ)=…     

探析一道函数值域问题的多种错解

题目求函数y=xx2 x 1的值域.错解1:当x=0时,y=0(以下解法均省略这一步的讨论).当x≠0时,两边平方可得y2=x2 xx2 1=11x2 1x 1=1x 1212 43,则0相似文献   

运用整体思想解答不等式问题

在解答某些不等式的问题中 ,若将题设或结论视为整体 ,通过对整体结构的调节或转化 ,可以收到简化运算、降低思维难度、缩短推证过程之功效 .下面举例说明 .一、整体代换例 1　求证 :13≤ sec2 x - tanxsec2 x + tanx≤ 3.分析 :从局部入手困难 ,不妨把整体 sec2 x - tanxsec2 x + tanx用一个元来代换 .令 y =sec2 x - tanxsec2 x + tanx=tan2 x - tanx + 1tan2 x + tanx + 1,则 ( y -1) tan2 x + ( y + 1) ytanx - 1=0 .当 y =1时 ,显然成立 ,13≤ y≤ 3;当 y≠ 1时 ,由Δ =( y + 1) 2 - 4( y - 1) 2 ≥ 0 ,解得 13≤ y≤ 3.故 13≤ sec2 y…     

求有条件的一次函数的最值

一般地说 ,一次函数y =kx +b不存在最大值或最小值 .但是 ,当给出了自变量x的取值范围这一特殊条件后 ,函数值y就可能有最值 .例如 ,一次函数y =kx+b ,x1≤x≤x2 .若k >0 ,如图 1 ,则y值随x的增大而增大 ,当x =x1时 ,y有最小值y1,当x =x2 时 ,y有最大值y2 ;若k <0 ,如图 2 ,则y值随x的增大而减小 ,当x =x1时 ,y有最大值y1,当x =x2 时 ,y有最小值y2 .图 1图 2例 1　已知关于x的方程x2 - 2x +k =0的实数根x1、x2 ,且y =x3 1+x3 2 .试问 :y是否有最大值或最小值 ?若有 ,试求出其值 ;若没有 ,请说明理由 .( 1 999,天津市中考题 )解 :由根与系数…     

线性规划中新问题的处理策略

线性规划引入高中数学课本后,我们对线性规划知识的认识越来越深刻.本文针对近几年数学高考中出现的相关新题,谈谈这类问题的处理策略.一、约束条件中含有参数例1 在约束条件 x≥0,y≥0,x+y≤s,y+2x≤4下,当3≤s≤5时,     

求三角函数最值的几种模式

在三角函数这一章节求最值是常见的题型 ,也是近几年高考常考的内容 ,但解决此类问题的方法灵活 ,学生往往不易掌握 .下面介绍几种易于操作的解题模式 .一、y =asinx b型此类题直接根据三角函数的有界性 ,即 | sinx|≤ 1就可求解 .例 1　求函数 y =2 sinx - 3的值域 .解 :∵ - 1≤ sinx≤ 1 ,∴ - 2≤ 2 sinx≤ 2 ,- 5≤ 2 sinx - 3≤ - 1 ,即值域为 [- 5 ,- 1 ].二、y =asin2 x bsinx c型解此类题的方法是把 y看成关于 sinx的一元二次函数 ,对 sinx进行配方 .例 2　求函数 y =2 cos2 x 5 sinx - 4的最值 .解 :y =2 cos2 x 5 sinx - …     

一次变式教学带来的意外收获

一、提出问题 笔者现任教高三理科实验班,在教学中遇到这样一个问题:(Ⅰ)已知不等式x/2x+y+y/x+2y≤c≤x/x+2y+y/2x+y对一切正实数x,y均成立,试求常数c的值.     

换元法的几个注意点

换元法是中学数学的一种基本解题方法,使用这种方法常使得要解决的问题由繁变简,化难为易。下面以求函数最大(小)值为例,指出使用换元法时应注意的几个问题。一、在换元时要注意变量的允许值范围例1若x y=1,求S=(x-3)~2 y~2的最大值和最小值。见到条件x y=1,学生常会设x=sin~2α,y=cos~2α,从而化得S=2(sin~2α-2)~2 2,故有S_(max)=10,S_(min)=4。这个结论显然是错误的。错误的原因在于换元时未注意到变量的允许值范围应保持不变,由题目的条件,变量x、y可以取任意实数值(只要满足x y=1即可),但换元后0≤x=sin~2α≤1,0≤y=cos~2α≤1,可见,允许值范围发生了变化。使用换元法,例1可以这样解: 设x=2 t,y=-1-t(t为任意实数),则