对一个用地问题的讨论

人教版普通高中教材《数学》(试验修订本·必修)第一册(下)第四章“三角函数”的引言中有这样一个问题:如图1,有一块以点 O 为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形 ABCD 辟为绿地,使其一边 AD 落在半圆的直径上,另两点 B、C 落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为 a,如何选择关于点 O 对称的点 A、D的位置,可以使矩形 ABCD 的面积最大?其中的解法2是这样的:     

用极坐标法证Simson线

众所周知:“三角形外接圆上任一点在三边所在直线上的射影共线。”这直线叫做该点对于该三角形的西摩松(Simson)线。     

结合几何 学以致用——从2005年高考看排列组合与概率在几何中的应用

2005年《考试说明》中强调能力立意,在知识的交汇点命题,充分运用知识之间的交叉、渗透,“一题多点”尤为突出.从2005年全国16套高考数学试题看,排列、组合和概率与几何的结合较多,下面就这类题的解题方法加以说明.一、在平面几何中的应用【例1】[2005年天津卷(文)]在三角形的每条边上各取三个分点(如图1),以这9个分点为顶点可画出若干个三角形,若从中任意抽取一个三角形,则其三个顶点分别落在原三角形的三条不同边上的概率为(用数字作答).解析:因为每个三角形需三个不共线的点组成,先求从9个点中任取三个点的组合,共有C39个.又因为由三点…     

利用西摩松定理证题

大家知道,西摩松(Simson)定理就是: 三角形外接圆上任一点在三边所在直线上的射影共线。这就是说,如果P是△ABC外接圆上任意一点,X、Y、Z是P点分别在直线BC、CA、AB上的射影,那么X、Y、Z三点共线并且称直线XYZ是P点对于△ABC的西摩松线。西摩松定理不只是一个证明点共线的好题,而且可以用来来证     

用几何画板制作“三角形绕一顶点旋转”

《几何画板》是几何教师普遍喜爱的多媒体制作平台,使用它不但可以非常方便地画出各种各样的几何图形,更重要的是它的动画编辑功能使本来呆板、静态的图形变得生动起来。笔者在利用《几何画板》制作课件时,曾试图按照以下步骤设计“三角形绕一顶点旋转”的动画效果: 打开《几何画板》,在平面上任做三点,选中三点后构造线段,制作三角形。选取一个顶点为圆心,分别以相邻的边为半径构造圆。选取圆上的三角形顶点,选中圆,定义点在圆上的运动动画。     

西摩松定理的逆定理

西摩松定理告诉我们 ,三角形外接圆上任意一点在三角形三边上的射影是共线的(这条线叫西摩松线 ) .下面我们将要考虑的是 :在三角形三边上的射影共线的点 ,是否一定在三角形的外接圆上 ,即西摩松定理的逆命题是否为真 ?定理　如果一点在三角形三边上的射影共线 ,那么这点必在该三角形的外接圆上 .图 1证明　设 P为△ABC所在平面内的一点 ,且在边BC,CA,AB上的射影分别为 A1 ,B1 ,C1 .(1)若 P在外图 2接圆 O的内部 ,如图 1.A1 ,B1 ,C1 分别是 P在三边上的射影 ,连结 A1 C1 ,A1 B1 .设 AP,BP,CP分别交圆 O于A2 ,B2 ,C2 (为便于观…     

数学题的题筋与层次

一、一组习题 1.双曲线的某一支上有否这样的n个点,彼此连结起来的线段在双曲线内无三线共点,而由这些线段组成的,顶点不在双曲线上的三角形的个数为5000? 2.抛物线上有这样的n个点,它们彼此连结起来的线段,在抛物线内,无三线共点,而由这些线段组成的,顶点不在抛物线上的三角形的个数为8008,求由这n点组成的凸n边形的对角线的条数。 3.圆周上有50个点,彼此连结起来所得的线段,在圆内无三线共点,求由这些线段组成的,顶点不在圆周上的三角形的个数。 4.圆周上有6个点,彼此连结起来的线段,在圆内无三线共点;则由这些线段组成的,顶点不在圆周上的三角形的个数是多少?     

数学教学的落脚点

南京市建邺区教研室特级教师王凌一次在总结自己教学的特点时说：“我教数学，不会将落脚点放在运算方法的介绍上，而是落在知识的来龙去脉上，在‘为什么’上下功夫。”王凌老师举例说，比如教学生认识分数，普遍的教法是：画一个圆，切一半，告诉学生，一半就是二分之一；再画一个矩形，切一半，告诉学生，这一半也是二分之一；然后画一个三角形，三角形的一半也是二分之一。     

三点共线赛题的多种解法与探究

针对2022年“大梦杯”福建省青少年数学水平测试中三点共线问题，挖掘题设条件的几何关系，结合四点共圆、三点共线、平行四边形及相似三角形等知识，进一步探究以平行四边形对角线为直径所得圆的特征.     

例谈比例式和等积式证明的简便方法

利用“平面内不共线的三点确定一个三角形”这一定理给出几种证明比例式和等积式时，迅速找准所要证的两个相似三角形的方法。     

用"转动圆"模型巧解带电粒子在匀强磁场中的运动问题

1“转动圆”的几何模型图1如图1所示,有一半径为R的圆,绕圆周上一个定点P转动一周,圆平面扫过的面积就是以P为圆心,以2R为半径的圆面积,圆上任意一点都绕P点转动了一周.2物理问题中的“转动圆”物理模型图2如图2,在一匀强磁场中,P点有一粒子源,可以向各个方向发射正粒子,离子的     

一个几何概率试题的题源探究

1题目 点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上椭机取一点B，则劣弧⌒AB的长度小于1的概率为____．     

一道高考题的背景

<正>2009年高考福建卷文科第14题是一个概率问题:点A为周长等于3的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点B,则劣弧AB的     

圆与其他知识综合题解法例析

圆与函数知识都是初中数学的重点和考点,若将这两个知识点结合起来,则会使考题的难度加大,有些同学就会感到无从入手.下面举例分析,希望同学们能够从中受益.一、圆与概率知识结合例1(2014年黄石)一般地,如果在一次实验中,结果落在区域D中每一个点都是等可能的,用A表示"实验结果落在D中的某个小区域M中"这个事件,那么事件A发生的概率P(A)=M的面积     

折纸问题中的圆锥曲线--一道试题的推广

2003年全国高中数学联赛有这样一个问题: 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A,且OA=a.折叠纸片,使圆周上某一点A′刚好与A点重合,这样的每一种折法,都留下一条直线折痕,当A′取遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集合.     

扇形中内接矩形最大面积的探究

如图１，有一块以点Ｏ为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ＡＢＣＤ辟为绿地，使其一边ＡＤ落在半圆的直径上，另两点Ｂ，Ｃ落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为Ｒ，如何选择关于点Ｏ对称的点Ａ，Ｄ的位置，可以使矩形ＡＢＬＤ的面积最大？     

利用仿射变换证明椭圆几个有趣的性质

<正>在仿射变换下,共线点的象仍是共线点,平行线的象仍是平行线,共线三点的单比是仿射不变量,两个三角形面积的比是仿射不变量.利用这些性质,可以在仿射变换下通过圆来研究椭圆,从而轻松获得一些有趣的性质.一、利用"两个三角形面积的比是仿射不变量"研究椭圆性质     

对"圆内接三角形是锐角三角形的概率"问题的探究

问题设圆上的点是等可能分布的,作圆内接△ABC,求△ABC是锐角三角形的概率. 分析设"△ABC是锐角三角形"为事件A,先固定A点,不妨设A、B、C三点在圆弧上按逆时针方向排列,设圆的半径为1,圆心为O,如图1,利用同弧所对的圆周角与圆心角的关系知,当∠AOB、∠BOC、∠COA均小于π时、∠ACB、∠BAC、∠CBA均小于π/2,则事件A发生.     

重新认识亚里士多德轮子悖论

教学“圆的周长”这部分内容时,许多教师都会设计这样一个活动来让学生动手操作:首先在一个圆形教具的圆周上任找一点,做下标记,然后以这个标记为起点,使该圆沿一条直线做无滑动的滚动,待该标记重新落在直线上时,圆刚好滚动了一周.此时量出起点与终点间的距离就恰好是该圆的周长.这是一种比较常用的动手测量圆周长的方法,为了找出圆周长的计算公式,教师往往安排学生重复以上操作,接着再算出圆周长与其直径的比值,并最终给出C=πd或C=2πr的圆周长计算公式.从该公式中很容易看出:一个圆周长的大小取决于它的直径(或半径)的长短.这是毋庸置疑…     

概率问题的三维解法

“概率与统计”是新课程的四大内容之一.在各地中考试卷中,关于概率的考题设计新颖、紧贴生活,深受学生喜欢.但有些考题让学生颇感为难.现以2005年中考试题为例,谈谈“一次、二次、三次或三次以上操作”概率问题的解法,在本文中称之为“三维解法”.一、一维直线法当题目条件是从若干个元素中一次抽出几个元素(即一次操作类问题)时.比如“从若干个球中一次摸出两球”时,为了确定可能情况,若应用“两点确定一条线段”的做法,即先画一条直线,并在直线上取若干个点,再找出图中共有哪些线段,此时有多少条线段便有多少种情况,从而解决问题.这种方…