变化中的不变

例1 如图1所示,一物体从竖直平面内圆环的最高点A处由静止开始沿光滑弦轨道 AB下滑至B点,已知圆环直径为d,弦AB与竖直夹角θ,求下滑的时间t．解析:物体沿光滑弦轨道AB下滑的加速度α=gsin(90°-θ)=gcosθ. 弦长 AB=dcosθ由运动学方程得: dcosθ=1/2gcosθ·t2     

看似相同实际不同的结论

题目1如图1所示,一物体从竖直平面内圆环的最高点A处由静止开始沿光滑弦轨道AB下滑至B点,已知圆环直径为d,弦AB与竖直夹角θ,求下滑的时间t。分析物体沿光滑弦轨道AB下滑的加速度a=gsin(90°-θ)=gcosθ弦长AB=dcosθ解由得运动学t=方程得:dcosθ=12gcosθ·t22dg结果发现沿弦下滑的时间t与θ无关。题目2新房即将建成时要封顶,考虑到下雨时落至房顶的雨滴能尽快地淌离房顶,要设计好房顶的坡运度动,,设那雨么滴如沿图房2-顶1下所淌示时的做θ无初速度无摩擦的应多大最合适?分析如图2-2所示,设斜面底边长为l,倾角为θ,则雨滴沿光滑斜面下…     

一个有用的结论

一、结论推导题目　如图 1所示 ,竖直放置的圆环圆心图 1为 O,半径为 R.从圆周最高点 A向圆周上任一点 B引一光滑弦轨道 ,求质点 m从 A点由静止沿光滑弦轨道下滑到 B点的时间是多少 ?解析　设光滑弦轨道 AB的倾角为 θ,则质点 m沿弦AB做初速度为零、加速度为 a=gsinθ的匀加速直线运动 ,其位移 s=ACsinθ=2 Rsinθ,由公式 s=12 at2 ,得t=2 sa=2· 2 Rsinθgsinθ =2 Rg.可见 ,质点沿光滑弦轨道 AB从 A点运动到 B点的时间 t恰为质点沿直径 AC从 A点自由下落到 C点的时间 ,与弦 AB的倾角 θ和质点的质量无关 .结论　物体从竖直圆环…     

构造辅助圆处理解几问题的若干途径

对有些解几问题,构造辅助圆来处理,实用简便,且富有成效,本文举例说明构造辅助圆解题的若干途径。一、依据“平分”构造辅助圆例1 在椭圆x/16+y/4=1内有一点P(1,1),求经过这点且在这点被平分的弦所在直线的方程和弦长。解:设过点P且被平分的弦为AB,依此构造以P为圆心,AB为直径的圆,其方程为 (x-1)~2+(y一1)~2=R~2. 设A(1+Rcosθ,l+Rsinθ),则点B的坐标为(1-Rcosθ,1-Rsinθ)。     

利用平几知识求轨迹方程

下面几道求轨迹方程的习题通常是用参数法求解,但若能注意应用平面几何知识,可不必设参数而得到更为简捷的解法。例1 以定点A(6,8)向圆x~2 y~2=16任意引割线交圆于P_1、P_2,求P_1P_2中点P的轨迹方程。解;设P(x,y),连OP,则由平几知识可知OP⊥P_1P_2,故P点的轨迹是以AO为直径的圆周在已知圆x~2 y~2=16的圆内部分。因A(6,8)、O(0,0),所以AO为直径的圆方程为(x-3)~2 (y-4)~2=25,即所     

圆的“两点式”方程及其应用

高中《平面解析几何》第68页第3题: 已知一个圆的直径端点是A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2),证明:圆的方程是 (x-x_1)(x-x_2) (y-y_1)(y-y_2)=0。 这是解析几何中的一道典型习题,它给出了圆的方程的又一种形式。由于该形式含有圆的一条直径的两端点的坐标,故称它为圆的两点式方程。笔者在复习教学中,发现利用它可使以直线与二次曲线相交的弦为直径的圆的有关问题获得简捷解答。 应用1 先设出直线与二次曲线相交的弦两端点的坐标,然后由圆的两点式方程直接写出以相交的弦     

最高点的速度可以等于(gR)~(1/2)吗?

小球沿竖直面内固定的光滑圆轨道的外侧运动时 ,要求不脱轨 ,则在最高点的速度应满足ｖ≤ｇＲ .这是大家熟知的一个结论 .笔者认为上式中的等号是图 1不应取的 ,本文将证明这点 .定理 1 :小球若能沿竖直的光滑圆轨道的外侧运动到最高点 ,则其在最高点的速度一定小于ｇＲ .证明 :设小球的初始位置在偏离竖直方向的圆周上的Ａ点 (θ0 ≠ 0 ) ,初速度ｖ0 沿切向 .在最高点的速度为ｖ1,根据机械能守恒定律有 :12 ｍｖ0 2 =12 ｍｖ12 +ｍｇＲ(1 -ｃｏｓθ0 ) .即ｖ1=ｖ0 2 -2ｇＲ(1 -ｃｏｓθ0 ) . (1 )在沿圆周上升过程中对任一位置上的小球应用…     

利用单位圆 巧解三角题

一、利用单位圆,比较三角式的大小． [例1] 已知0<θ<π/2,试比较1-sinθ/1-cosθ和tanθ的大小．解:在图1所示的单位圆中的第一象限中任取点P, 令∠POx=θ,再取点A(1,1), 则KOP=tanθ,     

面积=位移?(高一、高三)

1.一道经典习题及常见解答本刊2002年第9期《用“面积”解物理题》一文中的例1及解析,是常见于各刊物和资料中的经典习题和解答,很值得反思与讨论.例如图1,同一小球沿不同光滑轨道a、b从顶端滑到底端,比较两种情况用时长短(b轨道拐角处能量损失忽略不计).     

对椭圆的两个新性质再研究

文[1] 给出有关椭圆的两个性质 ,对于这两个性质本文给以引申和证明 .　　　　　　图 1推论 1　如图1所示 ,椭圆b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 　 (a>0 ,b>0 )过切点M的切线l与以椭圆长轴为直径的圆O从左至右依次交于A、B两点 ,则以线段MF1、MF2 为直径的圆与圆O分别内切于A、B两点 (其中F1、F2为双曲线的左右焦点 ) .证明　设M (acosθ ,bsinθ) ,F1(-c,0 ) ,F2 (c,0 ) ,由文 [1]定理 1证明 ,可知A(ab2 cosθ -a2 csin2 θa2 sin2 θ +b2 cos2 θ ,a2 bsinθ +abcsinθcosθa2 sin2 θ +b2 cos2 θ ) ,B(ab2 cosθ+a2 csin2 θa2 sin2 θ+b2…     

第4届(1989)数学奥林匹克国家集训队选拔试题解答

1.边长为3/2,5~(1/2)/2,2~(1/2)的三角形纸片沿垂直于长度为3/2的边的方向折叠。问重叠部分面积的最大值是多少? 解一不妨设△ABC中a=3/2,b=2~(1/2),c=5~(1/2)/2。如图,设BC中点为D,AE⊥BC,且沿MN折叠时重叠部分面积取到最大值。则易知,     

从2004年一道高考题的解法谈解题时的“首先考虑”

有些数学问题 ,必须根据一定的解题原则 ,即从“首先考虑”入手 ,否则不是解错就是难解 ,亦或解题不完整 .今年高考一结束 ,本人对所带学生就第 2 1题 (文第 2 2题 )解答情况看 ,不少学生就因没有依据这一原则 ,而解答出错或不完整 ,为此 ,本人就以此为契机来探讨解题“首先考虑” ,在解某些习题中的应用 .1　解有关四个二次时 ,应首先考虑二次项系数例 1　 ( 2 0 0 4年高考题 )设双曲线 x2a2 -y2 =1(a >0 )与直线L :x y =1相交于两个不同的点A、B .(Ⅰ )求双曲线C的离心率e的取值范围 ;(Ⅱ )设直线L与y轴的交点为P ,且 PA= 512 PB ,求a…     

构造辅助圆证明代数不等式

有些代数问题,若能充分根据题设条件及其数量特征,巧妙地构造辅助圆,则可利用圆的知识,使所给问题在辅助圆下实现转化,从而使问题获得解决。本文拟以具体例子谈谈构造辅助圆证明代数不等式问题。 例1 设a>0,b>0,求证. 分析:欲证,只要证明即可,在此,若用数形结合的观点看问题,则极易联想到圆中的直径与弦的关系及圆幂定理,从而可得如下直观、简捷的证法。 证明:如图,在圆O中,AB是直径,弦CD⊥AB,垂足为E,设AE=a,BE=b,则有CE~2=ab,所以CE=ab~(1/2).     

立体几何中的“动态”实验探究

1折———折叠,平面问题空间化例1(2005年浙江文理12题)设M、N为直角梯形ABCD两腰的中点,DE⊥AB于E(如图1),现将△ADE沿DE折起,使两面角A—DE—B为45°,此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B,则MN连线与AE所成角的大小为()解:将△ADE沿DE折起,满足题设条件,得图2,过M在平面ADE内作     

巧用三角换元

用三角换元法证明不等式是基本方法,根据题意恰当地进行换元,则可使问题快速获解,达到事半功倍的效果.例1设点P(x,y)是圆x~2+(y-1)~2= 1上任意一点,若总有x+y+c≥0,试求c的取值范围.解因为点P(x,y)在圆x~2+(y-1)~2= 1上,故可设x=cosθ,y=1+sinθ,则x+y+c=cosθ+sinθ+1+c≥0恒成立,     

二面角两个计算公式的应用

借助空间向量,很容易推导出二面角有以下两个计算公式.(1)如图1,AB、AC、AD是空间自A引出的三条射线,所成角分别为θ1,θ2和θ,可求得二面角B-AC-D的大小(用θ1,θ2和θ的三角函数表示)解:作BC⊥AC于C,DE⊥AC于E,图1则BC和DE夹角度数即为二面角B-AC-D度数.设AB=a,AD=b.BC=BA AC,DE=DA AE,∴BC·DE=(BA AC)·(DA AE).asinθ1bsinθ2cos(BC·DE)=abcosθ abcosθ2cos(π-θ1) acosθ1bcos(π-θ2) acosθ1bcosθ2=abcosθ-abcosθ2cosθ1-acosθ1bcosθ2 acosθ1bcosθ2∴cos(BC,DE)=cosθsi-ncθo1ssiθn1θc2osθ…     

数学总复习要发挥两类习题的作用

我们把在相同大前提下彼此之间具有因果关系或平行关系的一组予题分别称之为相关题与系列题.这两类习题,以形式上看,系列题具有一定的梯度,知识覆盖面宽;相关题具有延伸性,住住只有在正确解答出前面题后,才能解出后面题.因此,在数学总复习中发挥这两类习题的作用,对于培养学生的解题能力无疑将是有益的.例1 过拋物线y=2px的焦点F作倾角为θ的直线,交拋物线于A、B两点.(1)求出AB的长度以倾角θ为自变量的函数关系式;(2)求此函数的定义域和极值;     

爱尔兰88—89年度第二轮数学竞赛试题

第二试及解答 1.设l是一条定直线,A是不在l上的一定点,k是一个不等于零的定实数.设P是l上一点,Q是AP上一点,并且A尸气哎口二护,当点P在Z上变动时,求Q点的轨迹. 解:作AB上l于B,在AB(或其延长线)上取点C,使AB·AC=护.以AC为直径作圆S,圆S交AP于Q。乡’:△AQC。。△姓PB,ACAQ一APAB:。AB=kZ,之轨迹 2。姓C=姓尸。AQ即圆S即为所求 (除去点A).一个俱乐部里有:个成员,每个成员知道一个不同的消息.他们每个人都可以知道其他人的消息是什么,八礼叭f、 /护内可是出于安全原因,他们只能通过下列方法:·两个人之间可以打电话,并且规…     

奇妙的等时圆——2004年全国高考理科综合第15题的解析与应用

试题　如图 1所示 ,ad、bd、cd是竖直平面内三图 1根固定的细杆 ,a、b、c、d位于同一圆周上 ,a点为圆周的最高点 ,d点为最低点 .每根杆上都套着一个小滑环 (图中未画出 ) .三个滑环分别从a、b、c处释放(初速为零 ) ,用t1、t2 、t3依次表示各滑环到达d所用的时间 ,则 (　　 )A .t1t2 >t3C .t3>t1>t2 　D .t1=t2 =t3解析　设弦bd与直径弦ad的夹角为α ,由几何知识可知bd =adcosα ,环在杆bd上下滑的加速度为 ,a =gcosα ,由s=12 at2 可得adcosα =12 gcosα·t2 ,由上式解得　t=2adg .由以上分析可得 ,时间t与夹角α无关 ,故…     

一道课本习题的探究与发现

正人教版(A)普通高中课程标准实验教科书高中《数学》(选修2-1)第49页习题A组第7题是:如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?一、问题的解答