运用换元法 巧证不等式

对于分式不等式问题,我们希望分母尽可能简单．然而,在一般情况之下,所给的分式不等式的分母都较为复杂．为了使分式中各个分母变得简单一些,我们可以将分式中的每一个分母作为一个整体来看待,分别用一个字母去替换它．这样,就可以将分母简单化,将整个问题化繁为简,化难为易．这种证明方法我们把它称为分母整体换元法．下面,我们利用整体换元法来证明某些分式不等式问题．     

巧证一类分式不等式

在证明一类分式不小于整式的不等式时,可以在不等式左边加上适当的式子后利用基本不等式化去分母,把证明分式不等式转化为证明不含分母的不等式,从而达到简化证明过程的目的.     

用柯西不等式拆分证明一类不等式

<正>笔者在证明一些不等式时,发现有一类含分式的不等式,如果分式的分子是单项式,且分母有多项,则该类不等式可以借助柯西不等式进行拆分证明,即把一个母分式拆分成若干个子分式之和,进而证明此类不等式.在运用柯西不等式拆分时,常需结合均值不等式处理.下面举例说明这一方法的应用.     

分式化繁解题法

有关分式型的一些问题,如果将分子倒到分母去,化为繁分式后,分子为常数,变动的只是分母了.分式的这种“化繁变形”(化为繁分式)在证明分式不等式中较为常见.     

一类不等式证明的变换策略

由分式构成的一类根式或分式不等式,若分式的分母与分子不全是单项式,可施用变换策略,把分母或分子化成单项式,再灵活运用均值不等式,便能得到简明快捷的证明.     

整体代换法证分式不等式例说

对于许多分式(或可化为分式)不等式,可以分别将不等式项数较多的一端及它的各项分母的和看成一个整体,再由它们组成的简单恒等式(如3=M/M+N/N+1等)算术—几何平均值不等式加以证明.这种方法不但有较广泛的适     

证明分式不等式的变形技巧

近年来,数学竞赛中涉及的不等式大都是分式不等式,这些不等式的证明常常需要较强的变形技巧,为利用有关方法或基本不等式创造条件,本文介绍分式不等式证明中几种常用变形。1 分离整式 如果不等式中涉及的分式为“假分式”(即分子的次数不低于分母的次数),可将其拆为整式与“真分式”的和,常可简化运算,使     

利用柯西不等式证明一类分式不等式的升幂技巧

利用柯西不等式结合分子分母“升幂”技巧可以完成许多分式不等式的证明,本文举出若干实例加以说明.     

用均值不等式证明无理不等式和分式不等式例析

均值不等式是我们证明不等式最有力的基本工具.本文从数学思想的角度,例谈均值不等式在证明无理不等式和分式不等式中的应用.1 换元后使用均值不等式在高考和竞赛中,对分式不等式和无理不等式的证明,命题者往往情有独钟,屡见不鲜,由于分母或根式中是多项式,常常使学生束手无策,往往求助于放     

例说分式型不等式的证明七巧

本文分类举例说明分式型不等式证明的七种技巧,这些技巧对于锻炼学生的观察分析能力,培养思维的敏捷性与灵活性,无疑是大有裨益的.一巧设若分式不等式中的分母是多项式,可以考虑设参换元,变分母为单项式,这样常有利于这个     

再谈分式不等式证明中的代换法

笔者在文[1] 中介绍了用分母代换法证明分式不等式的方法 ,作为其续篇 ,这里再介绍用分子代换 ,分式代换以及整体代换来证明分式不等式的思想方法 ,以便我们对证明分式不等式有一个较完整的思想方法体系 .1　分子代换如果所证不等式的分子比分母复杂 ,那么应考虑将分子代换 .例 1　 (《数学教学》问题栏第 5 48题 )已知三角形的三边为a、b、c ,求证 :　 b +c-aa + c +a-bb + a +b-cc >22 .证明　设b+c -a=x ,c +a-b=y ,a +b-c=z ,则x、y、z>0 ,且a =y +z2 ,b =z +x2 ,c =x+ y2 ,于是b +c-aa + c +a-bb + a +b-cc=2xy+z+ 2 yz+x+ 2zx+ y=2 xx…     

巧用分母整体换元法解竞赛题

对于一些分式不等式证明题，如果各项分式的分母比较复杂，而且不容易发现解题的思路时，那么我们可以考虑把分母看作一个整体进行换元，从而将分式的分母简化，使问题化繁为简，化难为易，以便于寻找解题的突破口．下面举几例说明．     

如何使用放缩法证明不等式

依据不等式的传递性,对不等式进行不等关系的变换,即把不等式一边的各项(或因数)换成较大的量或数,添加或删去一些项,使不等式按同一方向变换,达到证明的目的。这种证明不等式的特有技巧称为放缩法。一、利用分数(式)的性质放缩对于分子、分母都是正数的分式(数),当分子不变,分母增大(或减少)时,分式(数)的值变小(或增大);当分母不变,分子增大(或减小)时,分式(数)的值增大(或减小);真(或假)分数的分子,分母加上同一个正数,分数值增大(或减小)。例1:证明不等式1 1!!2 !!13 … !!1n<2!%n!!(n∈N#)证明:∵1!!k=!%k 2!%k相似文献   

巧用分母整体换元法解题

对于一些分式不等式证明题，如果各项分式的分母比较复杂，而且不容易找到解题的思路时，我们就可以考虑把分母看作一个整体进行换元，从而将分式的分母简化，使问题化繁为简，化难为易，以便于寻找解题的突破口，下面举几例加以说明。[第一段]     

证明分式不等式的关键是去分母

文[1][2][3][4]从不同角度介绍了如何使用均值不等式证明轮换对称不等式,实际表明,轮换对称不等式中相当一部分是分式不等式.经过一番探究,笔者发现,关键在去分母,即根据分母的结构特点,兼顾整体的"次数"、"系数",添加(构造)适当的式子,再应用均值不等式去掉全部或部分分母.下面以文[1][2][3][4]中的例题为例详细予以介绍.     

点击约分

约分对分式的乘除运算起着至关重要的作用,学好约分,应注意以下几点: 一、约分的根据、实质与关键我们知道,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.约分的根据是分式的基本性质:约分的实质是将一个分式化成最简分式——分子与分母没有公因式的分式;约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.     

一类分式不等式的统一证明

本文先证明一个代数不等式,然后应用这个不等式给出一类分式不等式简捷、统一的证明.     

一个条件分式不等式的证明与应用

本文建立了一个条件分式不等式(1),(1)可以作为证明某些分式不等式的有力工具.     

一个分式不等式的引申及应用

在文[1]中,作者通过变量代换,把一类分式不等式的分母化为单项式,进而利用均值不等式和适当的放缩证明不等式．在本文中,我们通过对一道常见习题的引申,给出了此类分式不等式的另外一种简洁证明．在文[2]中,有如下的范例：例已知a、b、x、y均为正实数且(a~2/x) (b~2/y)= 1,证明：x y≥(a b)~2(为方便引申,叙述已经过修改)．     

点击分式的基本性质

分式的分子、分母都乘(或除)以同一个不等于0的整式,分式的值不变,用式子表示就是:A/B=A×M/B×M,A/B=A÷M/B÷M(M是不等于0的整式).这是分式的基本性质.分式部分的许多考点,都涉及分式的基本性质的具体应用. 例1 不改变分式的值,把分子和分母中的各项的系数化为整数,则0.05x-1/0.3x 3=___________.