导数与切线方程

<正>导数是高考的必考知识点之一,其主要应用是求函数的单调性、极值和曲线的切线方程,本文主要讨论导数与切线方程。函数f(x)在点x_0处的导数f′(x_0)的几何意义是过曲线y=f(x)上点(x_0,f(x_0))的切线的斜率。函数在某点处的导数是函数相应曲线在该点处的切线的斜率。例1在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax²+b/x(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+     

导数与函数的单调性的关系

函数的单调性是函数的一个重要特性.如下图所示,如果函数f(x)在某区间上单调增加,则它的图形是随χ的增大而上升的曲线.如果所给曲线上每点处都存在非铅直的切线,则曲线上各处的切线斜率非负,即f′(x)≥0,如图(a).如果函数f(x))在某区间上单调减小,则它的图形是随x的增大而下降的曲线.如果所给曲线上每点处都存在非铅直的切线,则曲线上各点处的切线斜率为非正,即f′(x)≤0,如图(b).     

利用导数求曲线的切线方程

<正>函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率。由导数的几何意义求切线的斜率,即是求切点处所对应的导数。因此,求曲线在某点处的切线方程,可以先求出函数在该点的导数,即为曲线在该点的切线的斜率,再用直线方程的点斜式写出切线方程,其步骤为:(1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0);(2)根据直线方程的点斜式,得切线方程     

例析学习高中导数的重要性

<正>高中数学中导数像是一枚宝贵的工具解决着许多数学问题。学习过程中常常利用导数来求曲线的切线方程,讨论函数的单调性,极值与求最值问题等。一、利用导数求曲线的切线方程因为函数y=f(x)在x=x_0处的导数表示曲线在点P(x_0,f(x_0))处切线的斜率,所以曲线y=f(x)在点P(x_0,f(x_0))处的切线方程可求得。若已知曲线过点P(x_0,f(x_0)),求曲线过点P的切线,则需分点P(x_0,f(x_0))是切     

例析导数在研究函数中的应用

<正>导数在研究函数性质中有哪些应用呢?下面结合具体的实例进行分析。一、利用导数研究函数的单调性例1设函数f(x)=aln x+x-1/x+1,其中a为常数。(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性。     

导数的应用

导数的应用在近几年高考中是必考内容之一,导数的应用主要体现在以下几个方面: 求曲线的切线方程;讨论函数的单调性和极值;证明等式或不等式．一、在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,也就是说,曲线y=f(x)在点P(x0,     

2022年高考北京卷导数题的溯源、求解与推广

<正>1 题目呈现题目 (2022年高考北京卷第20题)已知函数f(x)=exln(x+1).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程;(2)设g(x)=f′(x),讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性;(3)证明：对任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性及不等式的证明.     

三次函数图象切线问题归类分析

正有关三次函数图象的切线问题,涉及到切线的斜率、函数的导数、图象、极值、单调性以及三次方程的根的个数判断等知识.下面从六个方面进行分析.一、利用切线斜率和导数的几何意义求取值范围曲线上某点切线倾斜角的正切值表示该点处切线的斜率.函数的导函数表示曲线切线斜率的变化,导函数在某点的数值表示该点处切线的斜率.若已知函数图象或关系式,则可求满足一定条件的区间或切线截距的变化范围.例1如图1所示为函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象,     

导数几何意义应用的方方面面

函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率.导数的几何意义把函数的导数与曲线的切线联系在一起,使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体.因此,用导数解决与切线有关的问题将是高考命题的一个热点.下面分类解析导数几何     

回归导数定义 追溯试题本源

正一、定义本质1.导数的定义:f′(x_0)=limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)/Δx.2.导数的几何意义:f′(x_0)表示曲线y=f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线的斜率.从图形直观我们易得:导数其实上是函数曲线上两点连线斜率的极端情形;曲线的切线可看作是过切点的割线的极限位置;具备凹、凸性的函数曲线必位于其相应切线的上、下方.二、构建模型     

导数及其应用检测卷

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 命题正确的个数有 )在x二义o处取得最大值的必要条件是 f(x)在x二x0处存在导数 ,则曲线y二 f(x)在(x0)(x0”处有切线. (3)函数f(x)在x二x0处不可导,则曲线y二 f(x)在(x0,f(x0))不存在切线. (A)可能不是f(x)的极值. (B)一定是f(劝的极大值. (C)一定是f(x)的极小值. (D)等于0. 9.函数f(x)二仔( (A)在定义域内单调递增. (B)在定义域内单调递减. 函数f(幼在二钩处可导,则f(劝在(甸J(x0)) ‘“,在“,哥]上单调递减, 在[哥,+二,上单调递增· (B)2…     

导数问题中的常见错误及启示

导数问题中的极值点问题、由单调性求参数范围问题、曲线的切线问题、利用导数画函数图像及求值域问题等常会出现错误。一、极值点的判断问题例1(2012年江苏省高考题第18题):若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则x0称为函数y=f(x)的极值点。已知a,b是实数,1和     

谈谈导数在初等数学中的应用

导数是高等数学的重要概念之一,它是研究可导函数的重要工具.在研究函数的单调性、极值、曲线的切线等方面都有它的一席之地.本文拟通过实例来剖析导数在初等数学中的一些应用.1 研究函数的单调性 利用导数研究函数的单调性,主要是根据下列结论:“设函数 y = f (x) 在某个区间内可导,若 f ′(x) > 0 ,则 f (x) 在此区间内为增函数;若 f ′(x) < 0 ,则 f (x) 在此区间内为减函数”.其一般步骤为:(1)求出导函数 f ′(x) ;(2)令 f ′(x) > 0 ,求出其解集,即为 f (x) 的单调递增区间;令 f ′(x) < 0 ,求出其解集,即 f (x) 的单调递减区间. …     

2012年山东高考数学试题(理科)第22题解析

题目已知函数f(x)=lnx+kex(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)设g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e-2.本题是2012年山东高考数学理科试题函数问题压轴题,在知识上主要考查函数的定义域、单调性,导数、导数的几何意义,不等式的证明;     

导数的另类应用

函数y=f（x）在x=x0处导数的几何意义就是曲线y=f（x）在点P（xo,f（xo））处切线的斜率．运用变化的观点,曲线在某点P（x0,f（x0））的切线就是曲线的割线PQ当Q无限趋近于P点的极限．由此我们发现,函数y=f（x）图像上任意两点P（x1,y1）,     

高中数学导数与斜率的辨析及应用

教材（人教版）对于导数的几何意义是这样叙述的：“函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f（x）在点P（x0,f（x0）处的切线的斜率,也就是说,曲线y=f（x）在点P（x0,f（x0））处的切线的斜率是f（x0）。相应地,切线方程为y-y0=f’（x0）（x-x0）。”因此,我们有了求切线方程的方法。     

运用导数工具求作圆锥曲线的切线

函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义,表示曲线y=f(x)在点x0处的切线的斜率,本文运用其结论及切线、法线、切线射影和法线射影的概念来求作圆锥曲线的切线。     

借助导数探求三次函数问题

导数为研究函数的性质提供了新的工具,通过求导可以研究函数的单调性和极值．特别地,当f（x）为三次函数时,通过求导得到的．f（x）为二次函数,且原函数的极值点就是二次函数的零点．同时,利用导数的几何意义：曲线在某一点P（x。,Y。）处的切线的斜率k—f’（x。）,可得到斜率k为关于x。的二次函数．     

例谈高考导数解题类型

导数是高中数学新教材的内容,它作为解题有力的工具使某些问题的求解变得简便.本文选取2004年全国的高考试题,举例介绍应用导数解答高考题的常见类型,供大家参考.　　一、求曲线的切线例1 　曲线 y=x3 -3x2 +1 在点(1,-1)处的切线方程为(　　).A.y=3x-4　　　　B.y=-3x+2C.y=-4x+3 D.y=4x-5解析 　由函数 f(x)=x3 -3x2 +1 导数为f′(x)=3x2-6x,f′(1)=-3,因此得(1,-1)处的切线方程为:y-(-1)=-3(x-1),即y=-3x+2.二、研究函数的单调性例2 　已知a∈R,求函数 f(x)=x2eax 的单调区间.解析 　函数 f(x)的导数 f′(x)= 2xeax +ax2e…     

一道高考试题的多解探究及加强推广

<正>一、试题呈现已知函数f(x)=e^xln(1+x).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)设g(x)=f’(x)，讨论函数g(x)在x≥0上的单调性;(3)证明:对任意s,t>0，都有f(s+t)>f(s)+f(t).本题是2022年高考数学北京卷第20题，试题将指数对数函数以乘积的形式联系在一起，构思新颖、巧妙，主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值，以及函数背景下的不等式证明等知识，对数学抽象、数学运算等核心素养具有较高要求．