一元二次方程的公根问题

一元二次方程的公报问题,在各地中考和数学竞赛中经常见到一这类题型的解法一般都可以把两个方程作差,消去二次项后,运用方程理论进行讨论求解．请看下面例谈．例1若关于x的方程x’－。＋2＝0……①与x’,（m十回）。＋m＝0……②有一个相同的实数根,则m的值为（）（96年山东中考题）（A）3;阳广;（C）4;（D）一上解两方程作差,消去二次项,即①－②得一。＋（m＋l）x＋2－m＝0．整理得。＝m－2……③③代人①,得（m－2）’－m（m－2）＋2＝0．解之,得m＝3．当m＝3时,凸l＞0,凸。＞0符合题意故选（A）．例2m为何值时,方程x…     

两个三项高次方程的公根问题

定理　两个ｎ(ｎ≥ 2 )次方程ａｉｘｎ ｂｉｘ ｃｉ=0○i(ｉ=1 ,2 )有公共根的充要条件是(ａ2 ｃ1-ａ1ｃ2 ) ｎ =(ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1) ｎ - 1(ｂ1ｃ2 -ｂ2 ｃ1) .③证明 :设①、②有公根ｘ0 ,记 ｙ =ｘ0 ｎ,ｚ =ｘ0 ,则关于 ｙ、ｚ的方程组ａ1ｙ ｂ1ｚ ｃ1=0 ,ａ2 ｙ ｂ2 ｚ ｃ2 =0 ④有解 ( ｙ ,ｚ) .当ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1≠ 0时 ,④的解是ｙ =ｂ1ｃ2 -ｂ2 ｃ1ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1,ｚ =ａ2 ｃ1-ａ1ｃ2ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1.⑤因 ｙ=ｘ0 ｎ=ｚｎ,由⑤可验证③成立 .当ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1=0时 ,因④有解 ,只有ａ2 ｃ1-ａ1ｃ2 =ｂ1ｃ2 -ｂ2 ｃ1=0 ,即③成…     

关于公根问题的处理方法

解公根问题,通常用两种方法,一是设出公根,分别代入原方程消元求出公根,然后将公根代回原方程,求出未知系数;二是设出所有方程的根,列出方程组消元求解,求解时一般先消去     

两个一元二次方程的实根分布问题

一元二次方程根的分布问题是中学数学的一个重点和热点.常见的问题是仅针对一个一元二次方程,通过对所含参数的讨论,以确定其根在实轴上的位置关系.分析此类题主要方法是利用根的判别式和韦达定理,并且可给出各种情况下的判据.如果要分析两个一元二次方程的四个根     

如何解两个一元二次方程有公共根的问题

关于解两个一元二次方程有公共根的问题,有些同学感到困难.下面提供一例题的几种解法,供同学们参考. 例:m为何值时,方程x2+mx-3=0与方程x2-4x-(m-1)=0有一个公共根?并求出这个公共根. 解法一:利用根与系数的关系设公共实根为a,则方程x2+mx-3=0的两根为a,-m-a.     

一元二次方程两根关系问题

一元二次方程根与系数的关系是初中数学的重要内容之一，本文汇集了一元二次方程两根关系的常见题型，帮助同学们系统掌握此类问题的处理方法．     

关于两线段是一元二次方程根的几个习题

下面是散见于一些数学书刊上关于两条线段是某一元二次方程两个根的习题,笔者加以搜集、整理、证明(每题只按一种方法证)并配上练习,奉献给读者,你对这些习题,看(或做)后,感到趣乐无穷吗? 例 1 α、b、c是△ABC的三边,∠A的平分线交BC于D.求证:BD、DC是关于x的二次方程(b c)~2x~2-α(b c)~2x α~2bc=0的两个根.     

一元二次方程的两个性质及其应用

一元二次方程是初中数学学习的重点.本文给出一元二次方程的两个性质,并举例说明其应用,供同学们学习参考.一、性质性质1:在一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)中,若a+b+c=0,则x1=1,x2=ca. 证明:由a+b+c=0,得b=-a-c.将其代入原方程,得ax2+(-a-c)x+c=0,即(x-1)(ax-c)=0.因此,x1=1,x2=ca. 下面是一个类似的性质:性质2:在一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)中,若b=a+c,则x1=-1,x2=-ca.(证明略)二、应用举例例1解下列方程:(1)8x2+15x-23=0;(2)5x2+11x+6=0. 解:(1)∵8+15-23=0,∴x1=1,x2=-238.(2)∵11=5+6,∴x1=-1,x2=-6…     

一元二次方程的两个性质及其应用

设一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)有二实根x_1,x_2,易知有如下两条性质: 性质1.若a+b+c=0,则x_1=1,x_2=c/a;反之,若x_1=1,x_2=c/a,则a+b+c=0.     

两类一元二次方程根的问题

先请看实数如下一个简单的基本性质： 如果a、b是有理数,β是无理数,则当a＋bβ=0时,必有a=b=0.比如,如果a、b是有理数,且a＋√2b=0,则a=b=0.     

两类一元二次方程根的问题

先请看实数如下一个简单的基本性质： 如果a、b是有理数,β是无理数,则当a＋bβ=0时,a=b=0．比如,如果a、b是有理数,a＋√2b=00,则a=b=0．     

一元二次方程有理根的几个问题

一、从几道错例谈起近年来,关于一元二次方程有有理根的问题,许多书刊资料均有所涉及,但常见到将“判别式”错用在“完全平方数”上的解法和证法。下面略举几例加以分析。例1 若α是有理数,旦方程x~2-3(α-2)x+α~2-2α+2k=0有有理根,求k的值。解:△=9(α-2)~2- 4(α~2-2α+2k)=5α~2-28α+36-8k 当5α~2-28α+36-8k为完全平方式时,方程有有理根,要使5α~2-28α+36-8k为完全平方式,必须△′=(-28)~2-4×5×(36-8k)=0,∴ k=-2/5。这个解法是错误的。事实上,当k=-2/5时,方程即为x~2-3(α-2)x+α~2-2α-4/5=0,判别式△=5α~2-28α+196/5=1/(5α-14)~2,方程的两根为x=1/2[3(α-2)±     

有关一元二次方程的九个问题

一、辨别一元二次方程例 1　方程x4+ax3-x2 +a2 -1 =0是否是一元二次方程 ?如果是 ,指出各项系数 ;如果不是说明理由 .解　当x为常数时 ,此方程是关于a的一元二次方程 ,化为一般形式是a2 +x3a+x4-x2 -1 =0 ,其中二次项系数为 1 ,一次项系数为x3,常数项为x4-x2 -1 .二、判别根的情形例 2　判别关于x的方程k2 x2 -( 2k+1 )x+1 =0的根的情况 .解　当k =0时 ,方程变为 -x +1 =0 ,原方程只有一个实数根 1 ;当k≠ 0时 ,∵Δ =[-( 2k+1 ) ]2 -4k2=4k+1 .∴当k>-14 ,且k≠ 0时 ,原方程有两个不相等的实数根 ;当k=14 时 ,原方程有两个相等的实数根 ;…     

关于一元二次方程的几个重要内容

一元二次方程是中学数学的主要内容,在初中代数中占有重要的地位。在九年义务教材中,一元二次方程的前面学习了实数、代数式及其运算、一元一次方程(包括可以化为一元一次万程的分式方程、一次方程组及其解法。以上内容是学习一元二次方程的基础知识,通过一元二次方程的学习不但可以巩固、深化对上述知识的理解和掌握,而且为后面学习二次函数,学习其他方程(如指数方程、对数方程、三角方程等等),以及二次不等式、二次曲线知识奠定基础。同时,对物理、化学知识的学习也具有重要的意义。     

涉及两个一元二次方程公根的一类求值问题的解法

在初中数学竞赛中,常常遇到以两个一元二次方程公根为内容的一类求值问题。由于此类问题课本没有涉及,因而参赛学生往往感到难以下手。下面通过举例,就这类问题的求解介绍几种常用的方法。 例1 首项系数不相等的两个一元二次方程 (a-1)x~2-(a~2 2)x (a~2 2a)=0 (1) (b-1)x~2-(b~2 2)x (b~2 2b)=0 (2) (其中a、b为正整数)有一个公共根。求a~b b~a/a~(-b) b~(-a)的值(1989年全国初中数学联赛)     

关于一元二次方程根的分布问题

1990年全国初中数学联赛第一试有一题:方程7x~3-(K+13)x+k~(2)-k-2=0(k 是实数)有两个实根α、β,且0<α<1,1<β<2。那么 K 的取值范围是什么?解此题时,许多同学出现了下列错误解法:解:∵0<α<1,1<β<2,∴1<α+β<3,0<αβ<2.根据韦达定理α+β=(K+B)/7,αβ=(k~(2)-k-2)/7依题意有(k+13)~(2)-4·7·(k~(2)-k-2)>01<(k+13)/7<30<(k~(2)-k-2)/7<2     

解一元二次方程问题的几个误区

一元二次方程问题是初中代数的重点,也是中考的热点,同学们除需要牢固掌握这一章节的基础知识外,还要能够正确、熟练地运用知识解决相关的各类问题.在实际解题的过程中,不少同学会出现因思考不周密而造成错解.下面就求解一元二次方程问题中存在的一些误区进行分析,供大家参考.     

关于病毒的两个问题

1病毒的蛋白质外壳是否都留在宿主细胞的外面？ 中学生物学教材中提到噬菌体侵染细菌时，DNA进入到细菌的细胞中，而蛋白质外壳仍留在外面。有些学生则认为所有病毒都是以这种方式侵染细胞的。实则不然，这只是噬菌体侵染细菌的方式。     

关于财政的两个问题

一、财政赤字会引发通货膨胀吗? 在学习高一政治下册“财政收支平衡”内容时,教材中指出,“财政支出大于收,意味着财政支出要依靠借债来维持,这种状况必须控制在一定限度以内,否则,可能导致社会总需求和总供给的不平衡,引发通货膨胀”。这说明财政赤字有可能引发通货膨胀。而上册在讲“通货膨胀”内容时,则指出:“纸币的发行量超过流通中所需要的数量,从而引起纸币贬值,物价上涨,叫通货膨胀。”这说明通货膨胀是由于纸币发行量过多而造成的。这两种说法是否矛盾?财政赤字的增加会不会引发通货膨胀?     

一元二次方程中不容忽视的几个问题

一元二次方程是贯穿于初、高中数学的重要知识点,也是中考之热点,许多同学在解题时由于对数学基础知识和基本技能掌握得不够牢固,因此常常出现因忽视题中的隐含条件而出现误解或漏解现象．本文结合实例说明如下．