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一题多解有利于开拓思路,培养思维能力.本文将研究一道几何题的多种证法,供读者参考.题目如图1,已知ABC为等边三角形,延长BC到D,又延长BA到E,使AE=BD,连结CE、DE.求证:CE=DE.分析利用全等三角形证明两条线段相等是最基本而又最常用的方法.但在给定图形中并没有以CE、DE为一对对应边的全等三角形,因此必须添加辅助线,构成证题所需的全等三角形.具体添加辅助线的方法有如下六种:(1)在AE上取一点F,使AF=CD,连结DF(如图1),则EF=BC=AC,BF=BD.于是,欲证CE=D… 相似文献
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三角形三边关系定理及其推论有多方面的应用,现举例分述如下:一、证明线段间的不等关系.常用于证明两线段的和(差)大于(小于)第三线段.一般是选择或构造三角形,使这个三角形以相关线段为边,然后用定理或推论证明.例1如图,已知D、E是△ABC内的两点.求证:AB+AC>BD+DE+EC.证明延长DE交AC于点G,延长ED交AB于点F.在△AFG中,AF+AG>FG.(1)在△FBD中,FB+FD>BD.(2)在△GCE中,GC十EG>EC.(3)将(1)、(2)、(3)式相加,得AF+AG+FB+FD… 相似文献
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根据等边三角形的定义和等腰三角形判定定理及其推论,可得证明等边三角形的4种思路.现分别举例说明如下.1.证三边都相等例1如图1,在等边ABC中,分别延长AB到D,BC到E,CA到F,使BD=CE=AF求证:DEF是等边三角形.分析只须证DE=EF=DF即可.在BDE和CEF中,BD=CE,BC=AC,CE=AF,BE=CF.ABC=ACB=60°,DBK=ECF=120°BDECEFDE=KF.同理可证DE=DF,问题可证.2.证三个角都相等例2如图2,在等边ABC的三边AB、BC、CA上各取一… 相似文献
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例7如图7 -1已知梯形ABCD中 ,∠A ∠B=90°,AB‖DC(AB>DC) ,N是AB中点 ,M是CD中点。求证 :MN=(AB -DC)。因欲证MN=(AB -CD)的三条线段既无相同字母又分散错落 ,无法构成任何三角形 ,无半直判有效线段 ,显然是演绎规则全直判无效 ,证明要用等量代换和引辅助线的方式。依引线规则 ,从已知分解出D、M、C ,A、N、B六个引线定点。D的定向点是经过M和C的两条已知线段NM和BC的延长线的交点H ;M的定向点是经过D和C的两条已知段AD和BC的延长线的交点H ;C的定向点是经过D和… 相似文献
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证明三角形全等一般有下面三种思路.一、两个三角形中,已知两边对应相等,需证出它们的夹角对应相等,或者第三边对应相等.例1已知:如图1,B为AC的中点,BE=BD,∠1=∠2.求证;∠A=∠C.分析显然需证△ABE≌△CBD,已有AB=BC,BE=BD,还需要证明它们的夹角∠ABE=∠CBD,而∠1=∠2,它们的夹角相等是显然的.证明∠1=∠2(已知),∠1+∠3=∠2+∠3(等式性质),即∠ABE=∠CBD.在△ABE和△CBD中,AB=BC,BE=BD,∠ABE=∠CBD,△ABE≌△CBD(SAS… 相似文献
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垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线,它具有如下重要性质:线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等.求解某些几何证明问题,从构造线段垂直平分线人手,然后利用其性质,可简化思维过程,收到事半功倍的效果.例1如图1,D、E是△ABC的边BC上两点,AB=AC,BD=CE.求证:AD=AE.证明过A作AF⊥BC于F.∵AB=AC,∴BF=CF.∵BD=CE,∴DF=EF.∴AF是DE的垂直平分线.∴AD=AE.例2如图2,E为△ABC的∠A的平分线AD上一点,AB>AC.求证:AB… 相似文献
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金耀辉 《中学数学教学参考》1997,(12)
非相似三角形中成比例线段定理安徽省舒城秦桥中学金耀辉相似三角形的对应边成比例是众所周知的,然而在符合某些条件下的非相似三角形中也有成比例线段.如图1,△ABC∽△DEF,则ABDE=BCEF,如果AB≠BC,不妨设AB>BC,我们把图1中△ABC的B... 相似文献
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在平行线分线段成比例定理中有两种基本图形:“A”型图(图1)和“X”型图(图2).它们都是由DE∥BC而构成比例线段,在解题中有着重要的作用.下面谈谈相似三角形中的“A”型图的“X”型图在解题中的应用.图形特征:DE截△ABC两边(或两边的延长线),且DE∥BC,由DE∥BC得 ADAE=DBEC=ABAC,ADAB=DEBC=AEAC.证题方法:以平行线为桥梁,寻找或构造“A”型图和“X”型图,探求解题思种.例1 已知:如图3,在△ABC中,DE∥BC,BE与CD相交于点O,AO与DE、BC… 相似文献
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三角形中线一个性质的巧用□兰州科学院中学封自珍三角形中线分三角形成两个面积相等的三角形,这一性质在解题、证题中应用很广泛.例1已知E、F分别是ABCD的边AD、CD的中点.求证S△ABE=S△FCB.分析:连结BD,得S△ABE=12S△ABD,... 相似文献
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所谓倍角三角形是指三角形的三个内角中,如果其中有一个角等于另一个角的两倍,那么称这个三角形为倍角三角形.在倍角三角形中,如果反向延长倍角的一边(与半角公共的边),使它与另一边(半角的对边)相等后。再与第三角的顶点连结、那么便可得两个重要的等腰三角形.如图1,ABC中,B=2C,延长CB到D,使BD=AB,连结AD,则BAD与ACD均为等腰三角形。简证显然,BAD为等腰三角形.故D=BAD.所以ABC=2D=2CD=C因此ACD也是等腰三角形.下面举例说明这个结论的运用.例1ABC中、B=2C求证… 相似文献
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在许多涉及三角形中线的问题中 ,若将中线延长一倍后构造全等三角形 ,则可简便求解 . 一、求中线的取值范围例 1 已知三角形两边的长分别为 5和7.求第三边上的中线长x的取值范围 .(2 0 0 1年黑龙江省中考题 ) 解 如图 1 ,延长AD到E ,使DE =AD ,则△ABD≌△ECD .∴ CE =AB =7.在△AEC中 ,由三角形三边关系 ,得 7-5 <AE <7+5 ,即2 <2AD <1 2 .∴ 1 <AD <6.评析 本题通过中线加倍巧妙地构造出一对全等三角形 ,从而将相关线段迁移到一个三角形中 ,再利用三角形三边关系求解 .图 1图 2 二、计算角度例 2… 相似文献
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要学好《多边形》一章的知识,关键要抓住下面三个转化.一、将多边形问题转化为三角形问题(或四边形问题)来研究例1已知一个四边形ABCD(如图1),作一条线段a,使它等于四边形两条对角线长的和;作一条线段b,使它等于四边形的周长.试比较线段a、b的大小.(《几何》第二册130页A组第2题)分析证明四边形中线段不等关系,可转化为三角形,利用三角形中的三边关系定理来处理.在四边形ABCD中,作对角线AC、BD.在△ABC中,AB+BC>AC;①在△ABD中,AB+AD>BD;②在△BCD中,CD+BC>… 相似文献
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证明圆中线段等积式 (或比例式 )是一类综合性较强的几何证明题 .证明这类命题要综合应用相似形和圆的有关知识和方法 ,同时还要作适当的等量代换 .下面介绍证明这类命题的基本思路 .一、应用相似三角形的性质证明应用相似三角形的性质证明线段等积式 ,应先把线段等积式变形为线段比例式 ,然后再证其中四条线段所在的两个三角形相似 .例 1 已知 :如图 1,四边形ABCD是⊙O的内接四边形 ,A是BD的中点 ,过A点的切线与CB的延长线交于点E .( 1)求证 :AB·DA =CD·BE ;( 2 )略 .( 2 0 0 0年北京市海淀区中考题 )分析 ( 1)要… 相似文献
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李耀文 《中学数学教学参考》2000,(7):51-52
如图 1 ,自△ABC的顶点A作一直线AD ,交BC边于D ,使得△ABD与△ACD有相等的内切圆 ,那么称做满足上述条件的线段AD为△ABC的等圆线 (因AD把△ABC分成的两个△ABD、△ACD的内切圆的半径相等 ,故取此名称 ) .关于从三角形的某个顶点引它的“等圆线”是否存在且惟一 ,文 [1 ]作出了肯定回答 .由此可见 ,任何三角形都有三条等圆线 .本文将介绍三角形等圆线的一个性质 ,并从其应用中可以看出 ,用它解决一些问题是很简捷的 .定理 1 自△ABC的顶点A引等圆线AD ,交对边BC于D ,设△ABC的边BC =a ,C… 相似文献
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相似三角形是本学期《几何》的重点内容.通过证明两个三角形相似,利用相似三角形的性质进行计算或证明的题型,也是统考命题的热点.本文就此归纳一些常见的题型,供同学们学习和参考.一、证角相等例1 如图1,四边形ABCD为梯形,CD//AB,ABC=90°,E为对角线交点,EF BC于F.求证:EF平分AFD.分析 要证EF平分AFH,即证1=2,但△HEF与△AEH明显不相似,考虑到1+3=2+4=90°,转而去证3=4.由已知条件知EF//DC//AB,因。,CFDECDDEr。_CFCD__f”F… 相似文献