证明“至少”型问题举偶

所谓“至少”型问题就是命题的条件或结论用“…至少…”语句叙述的问题,这类问题由于富于思考性,学生解决起来通常感到难以下手,下面举例说明它的一些常见证法,供读者参考。一顺证顺证就是由条件直接推出结论。 [例1] 设p_1p_2=2(q_1 q_2),求证:x~2 p_1x q_1=0,经~2 p_2x q_2=0中至少有一个方程有实根。证明:∵方程x~2 p_1x q_1=0,x~2 p_2x q_2=0的判别式分别为△_1=p_1~2-4q_1,△_2=p_2~2-4q_2。∴△_1 △-2=p_1~2 p_2~2-4(q_1 q_2)=p_1~2 p_2~2-2p_1p_2=(p_1-p_2)~2≥0 ∴△_1,△_2中至少有一个非负数,即至少有一个方程有实根。     

一道概率问题的变式探究

引例甲、乙两人轮流掷一枚质地均匀的正方体骰子,规定:如果某人某一次掷出1点,则下一次继续由此人掷,如果掷出其他点数,则由另一人来掷,且第一次由甲掷.设第 n 次由甲掷的概率为 p_n,由乙掷的概率为 q_n.(1)计算 p_2,p_3的值;(2)求证:{p_n-q_n}是等比数列;(3)求 limp_n.n→∞解(1)由已知得,p_1=1,q_1=0,p_2=1/6,q_2=5/6,p_3=1/6 p_2 5/6 q_2=(26)/(36)=(13)/(18).(2)由题意得,p_n=1/6 p_(n-1) 5/6 q_(n-1),q_n=1/6 q_(n-1) 5/6 p_(n-1)(n≥2),两式相减得p_n-q_n=1/6(p_(n-1)-q_(n-1)) 5/6(q_(n-1)-p_(n-1))=-2/3(p_(n-1)-q_(n-1)),即数列{p_n-q_n}是公比为-2/3的等比数列.(3)由结论(2)得     

一道初中赛题的推广

题目:当p_1p_2=2(q_1+q_2)时.试证方程x~2+p_1x+q_1=0与x~2+p_2x+q_2=0中,至少一个有实根.(1984,吉林省初中竞赛) 推广当时,方程x~2+p_1x+q_1=0中至少     

借题发挥 关注知识的生长点——一堂课堂教学及感悟

<正>去年在如皋第一中学举行了南通市高一数学教学研讨活动.笔者有幸在教学研讨活动中上了一节公开课,课题为"含参数不等式的解法".这是一节新授课,内容源于苏教版必修5第71页的"思考·运用"中的第5题与第6题:5.(1)κ是什么实数时,方程x²+2(κ-1)x+3κ2+2(κ-1)x+3κ²-11=0有两个不相等的实数根?(2)已知不等式x2-11=0有两个不相等的实数根?(2)已知不等式x²-2x+k2-2x+k²-1>0对一切实数x恒成立,求实数κ的取值范围.6.已知不等式ax2-1>0对一切实数x恒成立,求实数κ的取值范围.6.已知不等式ax²+bx-1>0的解集是     

凸函数的性质与应用

凸函数是一类非常重要的函数,无论在理论上还是在实践上都有许多重要的应用。本文主要介绍它的几个基本性质,以及在解不等式问题上的应用。一、基本概念与性质定义设f(x)为开区间I上的连续函数,q_1和q_2为满足条件q_1+q_2=1的正实数。如果对于I上的任意两点x_1和x_2,成立不等式     

08高考江苏卷第2 0题学生思维受阻分析

题目若f_1=3~(|x-p_1|),f_2=2·3~(|x-p_2|),x∈R,p_1,p_2为常数,且f(x)= (?) (Ⅰ)求f(x)=f_1(x)对所有实数x成立的充要条件(用p_1,p_2表示);(Ⅱ)设a,b为两实数,a相似文献   

巧求妙证不等式问题

<正>同学们在遇到不等式问题时,往往会因为不能找到问题的突破口而感觉无处下手,下面介绍两种证明和求解不等式问题的方法,希望对同学们有所帮助。一、利用韦达定理证明不等式例1若关于x的一元二次方程3x~2+3(a+b)x+4ab=0的两个实数根x_1和x_2     

一个不等式推广问题的再研讨

文[1]将一个不等式推广为: 定理1设*0(1,2,,),2,iainnmN>=澄L且1niiSa==,则有11111mnnmiiiiiaaSan-==--邋.(1) 本文中“”的等号成立均当且仅1a= 2naa==L.以下略. 记()1nttiiSa==,文[2]给出了不等式(1)的一个指数推广: 定理2 设12,,,(2)naaanL,P皆为正实数,则对任意非负实数q,有 ()()11pqqnippiiaSSan+=--. (2) 本刊文[3]将不等式(1)推广为: 定理3 设0(1,2,,),2,iainn>=矻 *,mkN,且mk>,则有 111()(1)mnnmkiikkiiiaaSan-==--邋. (3) 本文引入两个参数,cb,将不等式(2)进一步推广为: 定理4 设,,,,(1,2,iicbpacbaRi+-? ,L…     

不等式a~3+b~3+c~3≥3abc的推广及应用

本文从一个基本初等不等式a~3+b~3+c~3≥3abc(a、b、c∈R~+)出发,利用凸函数的定义及性质,对它进行推广,得到了此不等式更广泛的形式:p_1a_1∑(pi)+p_2a_2∑pi+……+p_na_n∑pi≥(∑pi)(a_1)~(p_1)(a_2)~(P_2)…(a_n)~(p_n),当且仅当a_1=a_2=……=a_n时,等号成立。从本文给出的两个例子可以看出,此推广形式对一些不等式的证明十分方便。     

基于数学不等式解题思路的探讨

1.明确不等式理论基础不等式的理论基础建立在两个实数大小比较的法则上:a-b>0 a>b;a-b<0 a相似文献   

由∑bc-(4Πa)/9≤1/4引起的“链式反应”

针对一类条件为 :a b c=1(a ,b,c为非负实数 )的三元非齐次不等式的证明问题 ,笔者提出如下定理 :　　　　　∑a2 2 ∑bc=1Ⅰ　　　　　∏a≤ 12 7 Ⅱ　　　　　∑bc-49Πa≤ 14 Ⅲ本文列举 10道三元非齐次条件不等式 ,均可由该定理直接或间接得到证明。其证明途径可列成如下网络 :这就是定理所产生的“链式反应”的主链、侧链、支链图     

一个无理不等式的推广

贵刊2006年第7期《一个猜测的证明和不等式链的补充》一文中出现了如下不等式:若呵一了丫久十xZ斗… 1入十x二。、，为正数，实数;)3，则人仁耳、、/勺^a了O丫b a 又b 2、硕万几’本文给出其推广形式，即有下面两个命题:为证明上述命题，先证明三个引理.引理1设x‘>0(￡二1，2     

一类问题的解法

本文通过几例 ,说明“已知一元二次不等式的解集求参数及可化为此类型的问题”的解法 .其根据是一元二次不等式的解集一般是以相应方程的根为端点的 .例 1　不等式ａｘ2 +5ｘ +ｂ>0的解集是ｘ 13<ｘ <12 ,求ａ、ｂ的值 .解 :由题设知 13、12 应是方程ａｘ2 +5ｘ +ｂ=0的两根 .由韦达定理得13+12 =- 5ａ,13·12 =ｂａ ,即 ａ =- 6 ,ｂ =- 1.评注 :本题解法紧扣方程与不等式的关系 ,利用韦达定理 ,迅速获解 .例 2　若关于ｘ的不等式ｘ >ａｘ +32 的解集为 {ｘ|4 <ｘ <ｍ},求实数ａ、ｍ的值 .解 :令ｘ =ｔ,则ｔ∈ ( 2 ,ｍ) .原不等式化为ａｔ2 …     

一不等式的推广及其应用一例

我们知道,对于二实数a、b有不等式: ab≤(a+b/2)~2 (1)成立,当且仅当a=b时取“=”。不仅如此,我们还可以把它推广到一类特殊复数的情形。定理:对于形如:Z_1=m+ni, Z_2=-m+ni(m、n为实数)的两个复数(明显     

一元二次方程证明题的证题思路

一、已知方程及系数的附加条件 ,证明根的存在性这种题型实质上是判别定理的直接应用 ,可归纳为如下思路 :方程———→△———→加入已附加条件 △的符号——结论例 1.已知关于 x的方程 x2 (m - 2 ) x 12 m- 3=0 ,求证 :无论 m取什么实数值 ,这个方程总有两个不相等的实数根。证明 :由方程得△ =(m- 2 ) 2 - 4 (12 m- 3) =m2 - 6 m 16 =(m- 3) 2 7,∵ m为实数 ,∴ (m- 3) 2≥ 0 ,即△ =(m - 3) 2 7>0。∴无论 m取何实数值 ,方程总有两个不相等的实数根。二、已知方程及根的存在性 ,证明与方程系数有关的等式及不等式这类题的思路…     

一类三元四次轮换对称不等式的简化证法

在文[1]、[2]中,笔者探讨了三元三次轮换对称不等式和三元四次对称不等式的简化证法,得到如下两个结论: 命题1[1] 三元三次轮换对称不等式 32111212330(,,)Fxyzkkkkxyssss S 01((1,1,1)0)F=, (1) (式中1,xyzs= 2,xyyzzxs= 3s= xyz)对任意,,xyzR 成立的充要条件是 1(,     

一类三次非齐次条件不等式的证明

一类三元三次非齐次条件不等式的证明题,屡见于数学竞赛试题或数学征解问题中,颇具难度,传统证明方法较为繁琐,目前尚未见证明通法的报道．有鉴于此,笔者作了一些探索,总结出一种证明方法,并就教于专家、读者．定理1设x,y,z∈R＋,且x＋y＋z＝1,则以上三个定理可用平均不等式证明,此处略去．我们指出：（1）Z,y,Z也可以是非零实数;（2）定理1,2,3还可以综合为l巧用定理三～3证明三次非齐次不等式创1设凸ABC的三边为a,b,c,且a＋应当指出,对于题没条件为Z＋y＋Z一天＞0,可作变换Z一kZ‘,y一切’,Z一bZ’,从而得…     

由∑bc—4／9пa≤1／4引起的“链式反应”

针对一类条件为：a b c=1(a,b,c为非负实数）的三元非齐次不等式的证明问题，笔提出如下定理：∑a^2 2∑bc=1Ⅰпa≤1/27Ⅱ∑bc-4/9пa≤1/4Ⅲ本列举10道三元非齐次条件不等式，均可由该定理直接或间接得到证明，其证明途径可列成如下网络：定理→（1)→（5) 0190(10)→（2)→(7)→（6)→（3)→（8)→(4）→（9)。     

一元二次方程根与系数的关系(二)

一、知识要点1．韦达定理及其逆定理与判别式的综合应用；2．韦达定理及其逆定理与三角、几何、函数知识的综合应用‘＝、解题指导例1已知方程0有两个实数根，且这两个根的平方和比这两根的积大21，求m的值．分析要求m的值，只要根据已知条件列出关于一的方程，然后解所列方程并根据题目的隐含条件△≥0确定m的值．解设x1、X2是已知方程的两个实数根，由韦达定理，得解之，得m1=17，m2=－1．已知方程有两个实数根，解此不等式，得m≤0m＝1．例2已知方程X’－2。X＋b一0中的实数。、b满足条件owtbwtZ。－1，证明方程有两个不相等的正实数根…     

恒等式α~2 β~2=(α β)~2-2αβ在解题中的应用

设α、β为一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)的二根,利用韦达定理和恒等式α~2 β~2=(α β)~2-2αβ可求得α~2 β~2的值,进而解决一些问题。类似的恒等式还有(α-β)~2=(α β)~2-4αβ,α~3 β~3=(α β)[(α β)~2-3αβ]等。一、求代数式的值例1 a为实数,方程x~2 2x a=0的两根为α,β,求|α| |β|的值解:α β=-2,α·β=a,当△=4-4a≥0,即a≤1时,α,β为实数,