数学奥林匹克问题

本期问题初341在Rt△ABC中,已知∠A=20°,∠B=90°,AD是∠BAC的平分线,点E在边AB上,联结CE、DE.若∠DCE=30°,求∠ADE的度数.初342如图1,⊙O是△ABC的外接圆,⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃分别与△ABC的边BC、CA、AB切于中点D、E、F,分别与⊙O切于点G、H、I,记⊙O、⊙O₁、     

滚动与旋转中的圆

例(2009年河北中考)如图1至图5,⊙O均作无滑动滚动,⊙O_1,⊙O_2,⊙O_3,⊙O_4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置,⊙O的周长为c.     

介绍三组“双内切圆”的性质

已知小圆⊙O与两大圆⊙O₁、⊙O₂分别切于点N、M,且三圆圆心不共线.设⊙O₁与⊙O₂交于A、B两点,MN与AB交于点K,O₁O₂的中点为P.性质1 K、O、P三点共线.证明:显然,点O₁、O、N,O₂、O、M分别三点共线.如图1,联结O₁N、O₂M,设直线MN与⊙O₁、⊙O₂的另一交点分别为C、D.联结CO₁、DO₂并延长交于点Q.     

圆与函数“联姻”

一、圆与反比例函数例1（2010广东茂名）如图1所示,在直角坐标系xOy中,设⊙O₁的圆心O₁的坐标为（R,R）,当反比例函数y=k/x（k>0）的图象与⊙O₁有两个交点时,求k的取值范围.     

一道ETS试题的证明和推广

美国的ETS(即主管高校入学考试的出题部门)曾出过这样一道题: 如图1,⊙O_1的半径是⊙O的半径的1/3,⊙O_1从图上所示位置出发,沿着⊙O作无滑动的滚动,当⊙O_1返回到出发位置时,(?)O_1转了____圈.(A)(3/2),(B)3,(C)6,(D)9/2,(E)9. ETS的标准答案是(B)3,可是参加考试     

圆盘滚动规律的探求

圆盘滚动的有关问题经常在数学竞赛中见到 ,那么 ,圆盘滚动有何规律呢 ?1　圆盘沿直线滚动我们知道 ,圆盘沿直线滚动 ,其圆心移动的路程等于圆盘周长时 ,圆盘正好自转一周 ,如图 1 ,即当OO1 =⊙O的周长时 ,⊙O自转一周 .图 1　　　　　　　　图 2问题 1　凸四边形ABCD的周长等于⊙O周长的 2倍 ,当⊙O从A点出发沿四边形滚动 ,⊙O自转几周才能回到出发点 ?答案是两周吗 ?因为⊙O此时不是沿直线滚动 ,所以不能轻易下此结论 .从图 2可以看出 ,一方面 ,⊙O从线段AB滚动到线段BC时要自转过一个角度 ,即∠B的外角 (因为∠O2 BO3=∠B的外…     

赏析与圆有关的操作变换题

与圆有关变换操作题是指与圆有关的实物、纸片或图形等,借助一定的变换（平移、旋转、翻折）与操作（剪、切、拼、滚）,导致相关图形的形状、位置与大小发生变化或者保持不变的几何探究题,是近年来中考数学的热点题型。现结合中考题举例说明。一、旋转中碰撞火花例1（2011年浙江省宁波市）如图l,⊙O₁的半径为1,正方形ABCD的边长为6,点O₂为正方形ABCD的中心,O₁O₂垂直AB于P点,O₁O₂=8。若将     

到底转了多少周?(初三)——关于课本一个“想一想”及其解答的争论

九年义务教材(人教版)初中《几何》第三册第189页的“想一想”题目如下:如图1,如果⊙O的周长为20πcm,⊙A、⊙B的周长都是4πcm,⊙A在⊙O内沿⊙O滚动,⊙B在⊙O外沿⊙O滚动.⊙B转动6周回到原来位置,而⊙A只需要转动4周就回到原来位置.想一想,为什么?     

源于一道课本习题的竞赛题

<正> 原题已知图1中各圆两两相切,⊙O的半径为2R,⊙O1、⊙O2的半径为R.求⊙O3的半径.易求得⊙O3的半径r=2/3R. 引申题如图2,大圆O的直径AB=acm,分别以OA、OB为直径作⊙O1和⊙O2,并在⊙O与⊙O1和⊙O2的     

何为转一周? 一道易误解的课本题的分歧点

九年义务教材初中《几何》第三册189页的“想一想”给出了这样一道题:如图1,如果⊙O 的周长为20πcm,⊙A、⊙B的周长都是4πcm,⊙A 在⊙O内沿⊙O滚动,⊙B 在⊙O 外沿⊙O 滚动.⊙B 转动6周回到原来位置,而⊙A只需转动4周就回到原来位置.想一想为什么?1996年使用该书以来,很多师生都认为这     

对“想一想”中一道题的探究

[问题1] 如图1,⊙O的半径为m(m为正整数),⊙O_1的半径为1,⊙O_1在⊙O外沿⊙O滚动.问:⊙O_1第一次回到原来位置时转动了几周? 对于这个问题,我们可以通过以下两种途径来考虑: 一、考虑⊙O_1在⊙O外沿⊙O滚动时自转了一周的情况.这时⊙O与     

相交圆中的一个轨迹问题及其推广

<正>1从一道简单的轨迹题说起平面几何中有一道常见的轨迹题:命题1如图1,⊙O₁与⊙O₂相切.过切点P作动直线l,l与两圆的另一个交点分别是E、F,则线段EF的中点M的轨迹是以O₁O₂的中点O₃为圆心且过切点P的圆.注:直线l取两圆过切点的公切线时E、F与P重合.     

一道WMTC试题的解法及思考

题目 如图1所示,⊙O的直径AB长为20,点P在⊙O外,PC和PB分别切⊙O于点C和B,弦CD⊥AB于点E,PA交CD他M．已知AE/EB=1/4,则△PCM的面积是_____．     

第四届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及解答

(考试从2000年12月15日16∶00开始,12月18日8∶00交卷,可使用任何参考资料和计算工具)　　试题1.窗户造型(满分15分)《中学生数学》杂志2000年第一期的封面是一幅欧洲教堂的照片,它是一座哥特式的建筑.建筑物上有一个窗户的造型如右图所示.图中弧AB和弧AC分别是以C和B为圆心,BC长为半径的圆弧.⊙O1,⊙O2和⊙O3两两相切,并且⊙O1,⊙O2与弧AB相切,⊙O1,⊙O3与弧AC相切,⊙O2,⊙O3的半径相等.如果使⊙O2,⊙O3充分大,记BC的长度为a,请你计算出⊙O1的半径,北命同这个圆的作法.2.买房贷款(满分20分)根据中国人民银行颁发的《个人住房贷…     

关于小圆自转的界定

爱因斯坦说,“提出一个问题比解决一个问题更重要.”小圆自转的问题来自九年义务教育三年制初中《几何》(人教版)第三册第189页“想一想”. 题目:如图1,如果⊙O的周长为20πcm,⊙A、⊙B周长都是4πcm,⊙A在⊙O内沿⊙O滚动,⊙B在⊙O外沿⊙O滚动,⊙B转动6周     

赛题研究

题目如图1,⊙O1、⊙O2在⊙O内滚动且始终保持与⊙O内切,切点分别为P、Q,MN是⊙O1和⊙O2的外公切线．已知⊙O1、⊙O2、⊙O的半径分别为r1、r2、R．求证：MN2/PQ2为定值．     

切点三角形性质的证明及其应用

题目 如图1,⊙O1和⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,B、C为切点．求证．AB⊥AC．     

数学奥林匹克问题

本期问题初177在以AB为直径的半圆⊙O上取一点C,过C引CD⊥AB于D,CD将半圆⊙O分为两个图形,这两个图形的内切圆分别切AB于E、F.求证:AAFE··FEBB=DDFE.初178如图1,⊙O1与⊙O2外切于D,等腰Rt△ACB内接于⊙O1,切点D在半图1圆AB上.过点A、B、C分别作⊙O2的切线AM、BN、CP,M、N、P分别为切点.求证:AM+BN=2CP.高177如图2,半圆⊙O1的直径为图2AB,D为O1B上一点,且不与O1、B重合,过点D且垂直于AB的直线交半圆⊙O1于点C,⊙O2与半圆⊙O1内切于F,与CD切于点N,与BD切于点M.联结CM、AC、CB,过A作∠BAE=∠ACM,边AE…     

用切点三角形的性质解题

有这样一道习题：如图1,⊙O1与⊙O2外切于点A,BC为⊙O1、⊙O2的外公切线,B、C为切点,求证：AB⊥AC．     

“瓜豆原理”的应用及反思

<正>一、引例文^[1]利用旋转变换思想解决了一些问题,但在例3及其变式的解析中,出现了印刷错误.原文呈现:如图1,⊙O的半径为3,点A,B在⊙O上,C为⊙O内一点,AB=AC,AB⊥AC,垂足为A,求OC的最小值.如图2,连结OA,将AOC绕点A顺时针旋转90°得到ADB,由旋转不变性可知