一个相似基本图形在中考题中的应用

<正>一、原题呈现(2012凉山洲)如图1,在矩形ABCD中,AB=6,AD=12,点E在AD边上,且AE=8,EF⊥BE交CD于F.(1)求证:△ABE∽△DEF;(2)求EF的长.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形∴∠D=∠A=90°∴∠EBA+∠AEB=90°∵EF⊥BE,即∠BEF=90°∴∠DEF+∠AEB=90°∴∠DEF=∠EBA(同为∠AEB的余角)     

中考中的四边形新题赏析

一、与平行四边形有关的问题例1(2012福建南平)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,若点E,F分别在边BC,AD上,连接AE,CF,请再从下列三个备选条件中选择添加一个恰当的条件.使四边形AECF是平行四边形,并予以证明.备选条件:AE=CF,BE=DF,∠AEB=∠CFD.我选择添加的条件是:(注意:请根据所选择的条件在答题卡相应试题的图中,画出符合要求的示意图,并加以证明)解析添加的条件可以是BE=DF(答案不唯一).证明如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∵BE=DF,∴AF=CE,即AF=CE,AF∥CE.     

数学奥林匹克问题

本期问题初305如图1,在△BEF中,∠BEF=90°,BE=EF,四边形ABCD是正方形,联结DF,G为DF的中点,联结EG、CG.证明:EG =CG,EG ⊥ CG.初306已知a、b、x是正整数,且a≠b,1/x=1/a2+1/b2.试求x的最小值.     

一道中考题的面积解法

题目:(2001年无锡市27题)如图1,已知在梯形ABCD中,AD//BC,BC=3AD,E是腰AB上的一点,连结CE,(1)略.(2)设△BCE和四边形AECD的面积分别为S1和S2,且2S1=3S2,试求BE/AE的值.     

一道有趣的平面几何小题

如图1,在四边形ABCD中,∠ABC=∠D=90°,AB=BC,BE⊥AD,垂足为点E,则结论1 BE=DE.证明:过点C作CG⊥BE于G,如图2,则有矩形CDEG,CG=DE.易证△BAE≌△CBG,所以BE=CG=DE.结论2(1)BE=AE+CD;(2)2BE=AD+CD.证明:(1)由矩形CDEG得GE=CD.由△BAE≌△CBG得AE=BG,所以BE=BG+GE=AE+CD.     

从一道中考题谈起

20 0 3年北京市中考题第 2 2题 :如图 1 ,在 ABCD中 ,点E、F在对角线AC上 ,且AE =CF .请你以F为一个端点 ,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段 ,猜想并证明它和图中已有的图 1某一条线段相等 (只须证明一组线段相等即可 )连结 :　　　　 ;猜想 :　　　　 =　　　　 ;证明 :分析 　 若连结BF ,则可证明BF =DE ;也可连结DF ,证明DF =BE .证明 　 连结BF ,∵四边形ABCD是平行四边形 ,∴AD =BC ,AD ∥BC ,∴∠DAE =∠BCF ,又AE =CF .∴△ADE ≌△CBF(SAS) ,∴BF =DE .点评 :本题所给出的图形是一个平行四边形中…     

例说与等腰梯形有关的探索题

近年来的中考中,与等腰梯形有关的探索题屡见不鲜,下面解析两例.例1如图1,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分别是AD,BC的中点,E、F分别是BM、CM的中点.(1)求证:四边形MENF是菱形.(2)若四边形MENF是正方形,请探索等腰梯形ABCD的高和低边BC的数量关系并说明理由.(2005年广东省中考题)解:(1)在等腰梯形ABCD中,∵AD∥BC,∴AB=DC,∠A=∠D,∵AM=DM,∴△ABM≌△DCM(SAS),∴BM=CM,∵E、F分别是BM、CM的中点.∴ME=12BM,MF=12CM.∴ME=MF,∵N为BC的中点∴EN,FN都是△MBC的中位线∴EN∥CM,FN∥BM∴四边形MENF是平…     

运用图形性质 寻找解题思路

<正>考题再现例1 (2020·江苏·扬州)如图1,已知点O在四边形ABCD的边AB上,且OA=OB=OC=OD=2,OC平分∠BOD,与BD交于点G,AC分别与BD,OD交于点E,F.(1)求证：OC?AD;(2)如图2,若DE=DF,求AE/AF的值;（3）当四边形ABCD的周长取最大值时,求DE/DF的值.     

巧构方程解几何中的最值问题

<正>学习了一元二次方程之后,我们可利用构造一元二次方程的方法,巧解几何中的某些最值问题.此法新颖、独特、实用.下面举例说明.一、利用相似三角形构造方程例1如图1,过边长为1的正方形ABCD的顶点C任作一直线分别交AB、AD的延长线交于点E,F.求BE+DF的最小值.解由△DFC∽△BCE,得DF/BC=DC/BE,即BE·DF=BC·DC=1.     

辩证看待两种解法 合理配置多维营养——基于勾股定理解题教学的策略研究

<正>1缘起——一种思路的意外受挫一次单元测试,有这样一道源自课本复习参考题的改编题:如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=a,AD=2a,E是AD边上一点,n DE=AD(n为大于2的整数),连接BE,作BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F、G,FG与BE的交点为O,连接BF和EG.(1)试判断四边形BFEG的形状,并说明理由;(2)如果四边形BFEG与矩形ABCD的面积比     

寻思维障碍 觅最佳教法

<正>一、试题呈现题目 (2021年安徽省学业水平考试第23题)如图1,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD,点E在边BC上,且AE//CD,DE//AB,作CF//AD交线段AE于点F,连结BF.(1)求证：△ABF≌△EAD;(2)如图2,若AB=9,CD=5,∠ECF=∠AED,求BE的长;     

循“蝶形”解题

命题：如图1,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O点,如果S△AOB=S△DOC,则AD//BC.证明分别过A、D作AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,则AE//DF.∵S△AOB=S△DOC,∴S△ABC=S△DCB.∴AE=DF,四边形AEFD是矩形.∴AD//BC.因为△AOB与△DOC犹如一只翩翩起舞的蝴蝶,所以我们称它为蝶形.这是一个基本图形,上述命题是蝶形的一个性质.蝶形常常出现或隐藏在一些几何图形之中。     

巧旋转，妙解题（二）

六、证线段的等量关系例6如图6,点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,且∠EAF=45°,求证:EF=BE DF.分析:由正方形考虑将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG的位置,从而把BE、DF拼接在△AFG中,只要证EF=GF即可.证明:将△ABE绕点A逆时针旋转90°至则GD=BE,GA=AE,∠GAE=90°,∠G     

四边形性质探索

平行四边形的性质与判定A组1.在平行四边形ABCD中,若∠A∶∠B=5∶4,则∠C的度数是.2.已知ABCD的周长为60厘米,对角线交于O,△BOC的周长比△AOB的周长小8厘米,则AB=厘米,BC=厘米.3.以过不在同一直线上的三个顶点A、B、C为顶点,可作平行四边形的个数是()(A)3个.(B)2个.(C)4个.(D)1个.4.下列说法正确的是()(A)一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形.(B)两组邻角互补的四边形是平行四边形.(C)相邻的两角都互补的四边形是平行四边形.(D)一组对边平行,一组对角互补的四边形是平行四边形.5.某平行四边形的对角线长为a,b,…     

图形未确定 分类须谨慎

<正>本文对近年来江西省中考试卷中的几何填空压轴题进行归纳分析,以期发现某些共性,供读者参考.例1(2012年)如图1,正方形ABCD与正△AEF的顶点A重合,将△AEF绕顶点A旋转,在旋转过程中,当BE=DF时,∠BAE的大小可以是____.解分两种情况讨论:(1)当正三角形△AEF在正方形ABCD的内部时,如图1.因为正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合,所以AB=AD,AE=AF.     

圆内接四边形的两个性质

文[1]给出了圆内接四边形的一个性质:ABCD为圆内接四边形,△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的内心分别为E,F,G,H,则四边形EFGH是矩形.本文给出圆内接四边形的另外两个性质:性质1 如图1,ABCD为圆内接四边形,△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的重心分别为S,P,Q,R,则有如下结论:(1)四边形PQRS∽四边形ABCD;(2)S四边形PQRS=1/9S四边形ABCD.     

联想旧知识巧解新问题

[题目]如图1,直角梯形ABCD中,四边形AEGF、MBKN都是正方形,且AE=MB,EP=KC=9,DF=PM=4,则△DPC的面积为。(2001年全国小学数学奥林匹克决赛B卷第7题)     

旋转变换的应用

一、构造全等三角形例１如图１，已知E、F分别是正方形ABCD中BC、CD边上的点∠EAF＝４５°，求证：EF＝BE＋DF．分析：将△ADF绕点A按顺时针方向旋转９０°到△ABG的位置，这时只要证明△EAF和△GAE全等就可以了．证明：将△ADF绕点A按顺时针方向旋转９０°到△ABG的位置，则∠DAF＝∠BAG，DF＝BG，AF＝AG．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝９０°．∴∠FAG＝９０°．∵∠EAF＝４５°，∴∠EAG＝４５°．即∠EAF＝∠EAG．∵AE是公共边，∴△EAF≌△EAG．∴EF＝EG＝BE＋BG＝BE＋DF．二、构造直角三角…     

正方形中的旋转

我们来分析一道几何题的证明: 如图1,自正方形ABCD的顶点A作两条射线分别与BC、CD交于E、F,且∠EAF=45°,求证:BE+DF=EF.按常规使用拼接法,即将线段BE与DF拼接在一起,为此延长FD至G使得DG=BE.连结AG,易知Rt△ADG     

1991年中国数学奥林匹克(第六届冬令营)试题及解答

一、平面上有一个凸四边形 ABCD.(1)如果平面上存在一点 P,使得△ABP,△BCP,△CDP,△DAP 面积都相等,问四边形 ABCD 应满足什么条件?(2)满足(1)的点 P,平面上最多有几个?证明你的结论.