函数与方程

在中学数学教学中,运用函数理论解答方程问题的主要理论依据是:①函数y=f(x)与y=g(x)图像交点的横坐标是方程f(x)=g(x)的实根;②一元二次方程实根的分布规律,其载体是一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式.……     

二次函数零点与二次方程根的分布处理策略

1一元二次函数图象与一元二次方程根的关系一元二次函数f（x）=ax2＋bx＋c（a〉0）一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a〉0）Δ=b2-4ac.1）当Δ〉0时,f（x）的图象与x轴有2个交点,f（x）=0有2个相异实根;     

图形的妙用六例(高一、高二、高三)

数学解题中的数形结合,指的是对题目中的条件、结论及题意背景从代数和几何两方面考虑,在两方面的结合上寻找思路.这样做可使复杂抽象的问题,变得清晰明了.以下分六个方面介绍. 1.解方程方程f(x)=g(x)的实数解是曲线y= f(x)与y=g(x)的交点的横坐标.特殊方程f(x)=0的实数解是曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标. 例1 关于x的一元二次方程     

二次函数的两根式在解题中的妙用

在中学数学中,二次函数、一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系,而联系的枢纽就是二次函数的两根式.下面谈一谈它在解题中的妙用.一、巧求解析式例1(2005年全国高考题)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3).(1)若方程f(x) 6a=0有两个相等的根     

江苏卷第21题的别解

21题 已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx^2＋cx＋d，g（x）=ax^3＋bx^2＋cx＋d．方程f（x）=0有实根且f（x）=0的实根都是g（f（x））=0的实根；反之，g（f（x））=0的实根都是f（x）=0的实根．[第一段]     

浅谈一元二次方程实根的分布

问题所谓实根分布就是方程的根的分布情况的充要条件．设实系数一元二次方程f(x)=ax^2+bx+c=0(α≠0)的实根是x1，x2，且x1&;lt;x2，k或k1，k2(k1&;lt;k2)是任意给定常数，为记忆方便，我们把实根分布情况归纳成右表．     

一则“希望杯”培训题的推广(高一、高二、高三)

第13届“希望杯”全国数学邀请赛高中一年级培训题第56题综合了考查函数、反函数、方程等知识,并且可以应用数形结合思想。是一道很有思维空间的好题,试题如下:题已知函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),方程f(x)+x-2002=0有唯一实根α,方程f-1(x)+x-2002=0有唯一实根β,则α+β=___.解 (数形结合法)     

一个函数图像对称问题的探索

文[1]至文[4]都对如下两类常见的对称问题进行了辨析:例1设函数y=f(x)定义在实数集上,且满足f(1 x)=f(1-x),则f(x)的图像关于对称.例2若函数y=f(x)的定义域为R,则函数y=f(1 x)与y=f(1-x)的图像关于对称.作为其补充,本文再给出一组容易混淆的对称问题:例3若函数f(x)(x∈R)满足:f(x-3) f(1-x)=0,且方程f(x)=0恰有三个相异实根,求这三根之和.例4已知函数f(x)(x∈R),若方程f(x-3) f(1-x)=0恰有三个相异实根,求这三根之和.分析对于例3,由条件知:f(x)的图像关于点(-1,0)成中心对称,又已知方程f(x)=0恰有三个相异实根,所以这三个根中必有一根为-1…     

例谈求和问题

1利用图像关于直线对称1.1图像关于一条直线对称例1(复旦大学2007年自主选拔)设函数y=f(x)对一切实数x均满足f(2+x)=f(2-x),且方程f(x)=0恰好有7个不同的实根,则这7个不同实根的和为     

一元二次方程根的判别式题型解析

一元二次方程根的判别式是历年来各地中考必考的知识之一,其主要题型有: 一、判断一元二次方程根的情况倒1 已知关于x的方程(n-1)x3+mx+1=0①有两个相等的实根.求证:关于y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0②必有两个不相等的实数根.     

应用三次函数的图象和性质解题

一元三次函数f(x) =ax3+bx2 +cx+d的图象可分为两类 :一类是在整个定义域内是单调的 ,无极值 ,其形状与 f(x) =±x3类似 .另一类是在整个定义域内有 3个单调区间(两增一减或两减一增 ) ,必有一个极大值和一个极小值 .具体分析如下 :设方程 f′(x) =3ax2 + 2bx +c =0的判别式为Δ ,Δ >0时方程的两实根记为x1 ,x2 (x1 0 ,Δ >0时 ,函数的单调增区间为 (-∞ ,x1 ) ,(x2 ,+∞ ) ,单调减区间为[x1 ,x2 ] ,在x1 处取得极大值 ,在x2 处取得极小值 .图象如图 1,呈倒“S” .(2 )当a >0 ,Δ≤ 0时 ,函数在 (-∞ ,+∞ )上单调递增 ,无…     

以函数观点去透视方程与不等式

初中阶段所涉及的一元一次方程、二元一次方程(组)、一元一次不等式(组)、一元二次方程等都可以转化为相应函数的最简形式,从"数"、"形"两方面以函数的观点去研究它们:从"数"的角度看,函数的解析式可看作是关于两个变量x、y的二元方程,每一组x、y的对应值,就是相应方程的一个解.从"形"的角度看,函数图象上各点的坐标既是相应函数的对应值,也是相应方程的解;     

两个方程根之间的关系及其推论

设函数y=f(x),y=g(x)的反函数分别为:y=f~(-1)(x),y=g~(-1)(x).记方程f(x)=g(x)及f~(-1)(x)=g~(-1)(x)的根分别为α、β.若F(x)=f(x)-g(x)是单调函数,则有β=f(α)=g(α).     

二元函数方向导数的几何意义

为探索二元甬数z=f(x,y)方向导数的几何特征,使用代数分析和矢量分析的方法研究函数z=f(x,y)的方向导数.对于由方程z=f(x,y)给出的曲面S上的曲线C:z=f(x,y)且y=y0+tanα·(x-x0),设L是过曲面S上(x0,y0,f(x0,y0))点曲线C的切线,θ是有向直线L与矢量→/AB的夹角.那么二元函数z=f(x,y)在(x0,Y0,f(x0,y0))点沿方向AB的方向导数就是tanθ.     

一个函数问题的多种解法

函数是中学数学的重要内容,函数的思想方法贯穿中学数学的始终.因此历年的高考试题,都贯穿着函数及其性质这条主线,是高考命题的一大热点.函数与方程密切相关,方程f(x)=0,就是函数y=f(x)的零点.方程f(x)=g(x)的解就是函数y=f(x)与y=g(x)的交点.问题 (2009年南京高考模拟题)     

三年制初中《代数》第十二章教学问答

1.x~3 3x~2 2y-8x=2y x~3-9是几元几次方程?答:是一元二次方程,因为方程两边的x~3 2y可以消去.在这一章的第一小节中,又一次讲到了某种一元整式方程(即一元二次方程)的一般形式(或标准形式).谈到一元.次方程时,经过整理后的一般形式可以写成     

实系数一元二次方程虚根的分布

对于实系数一元二次方程 ax~2+bx+c=0(a≠0) (*)当△=b~2-4ac≥0时有实根,且实根的分布情况常借助抛物线y=ax~2+bx+c (a≠0)与x轴的交点来实现的。当△=b~2-4ac<0时,方程(*)无实根。由于在复数范围内,任何一个实系数一元二次方程都有两个根,因此,当△=b~2-4ac<0时,方程(*)只有两个虚根且共轭。显然,这两个虚根对应的点不在x轴上。那么虚     

一类三角函数最值的简便求法

求三角函数y=(sin~2x+asinx+b)/(csinx+d)的最值虽有多种解法,均不如下面的解法简单。且有一般性。大家知道,一元二次方程x~2-bx-c=0可变为x~2=bx+c,原方程的解则是直线y=bx+c与抛物线y=x~2交点的横坐标。且直线y=bx+c与抛物线y=x~2有两个交点、一个交点、没有交点分别对应于原方程有两个实根、一个实根(含重根)和没有实根。由此可巧妙地解决上述所提最值问题。     

“根的分布”中一个值得注意的问题

在一元二次方程实根分布的有关问题中,有一类题型是“已知方程ax~2 bx c=0(a≠0)在区间(m,n)内有且只有一个实根,求参数的取值范围”,学生往往是只解f(m)·f(n)<0,其中f(x)=ax~2 bx c(a≠0)。其实这里有一个不易觉察的错误,这是由于“f(m)·f(n)<0”是“方程ax~2 bx c=0(a≠0)在区间(m,n)内有且只有一个实根”的充分不必要条件,因而由     

韦达定理在求解一类一元高次方程中的应用

问题的提出: 解方程2(67)(34)(1)6xxx =. 解 原方程可化为 2(67)(68)(66)72xxx =, 设2(67)ax= , 2(68)(66)(67)1bxxx= = -. 显然()1ab -=, ()72ab-=-. 从而可构造一元二次方程2720yy--=则,ab-为该方程的两根. 解得8y=-或9y=,那么8a=-或9a=.即2(67)8x =-(舍去)或2(67)9x =,进而求得12/3x=-或25/3x=-. 分析本题的解法,我们发现本题并没有直接给出两数之和,也没有给出两数之积,原方程通过变形,运用字母代换数字,通过韦达定理来构造方程,使问题化难为易.本文把这种解法推广到一般结论,探讨这类一元高次方程在什么条件下可以运用这种解法.…