一道2012克罗地亚数学竞赛题的探究

2012年克罗地亚数学竞赛试题如下: 试题 已知n、d是正整数,满足d| 2n2.证明:n2 +d不是一个完全平方数. 笔者思考将条件一般化,试题是否可以推广呢?即若已知n、m、d是正整数,满足d| mn2,那么n2 +d是不是一个完全平方数呢?     

关于方程Sx（n）=Sy（3）

对于正整数m,n(n≥3),设Sm(n)是第m个n角数.证明当n＞6且n-2是平方数时,方程Sx(n)=Sy(3)无正整数解(x,y);当n＞6,2|n且n-2为非平方数时,该方程有无穷多组正整数解(x,y).     

有趣的勾股数

我在解直角三角形的过程中!发现了一个有趣的规律"如果两个连续的正整数之和是一个完全平方数,那么这个完全平方数的算术平方根与这两个连续的正整数组成一组勾股数.     

香港保良局第五届小学数学世界邀请赛试题

个人竞赛试题1.有一个正整数分别加上15和减去4后,都是完全平方数,试求此数。2.试问共有多少个四位数的正整数,其四个数字的乘积是质数?(注意:1不是质数。) 3.ABCD和OEFG为两个全等的正方     

完全平方数的性质及其应用

一、选择题 1.设n个连续整数的平方和是一个完全平方数尸(n为正整数),则n的最小值是(). A .1 1 B.13 C.17 D.19 2.使。2+刀十7是完全平方数的所有整数n的乘积是(). A .14 B.42 C.84D一84 3.两个正整数的和与积的和为2005,并且其中一个是完全平方数,则较大数与较小数的差为(). A .1 1 B.101 C.1001 D.101或1001 4.设N=23a+92b为完全平方数,且N不超过2392.则满足上述条件的一切正整数对(“,的共有(). A .5对B.22对C.27对D.34对 5一个四位数具有这样的性质:用它的后两位数去除这个四位数得到一个完全平方数(如果它的十位数字是零,就只…     

关于方程S_x(n)=S_y(3)

对于整数m、n(n≥ 3) ,设Sm(n)是第m个n角数 .本文证明了 :当n >6且n - 2是平方数时 ,方程Sx(n) =Sy( 3)无正整数解 ;当n >6,2 +n且n - 2非平方数时 ,该方程有无穷多组正整数解     

平方数

如何判定一个数是否为完全平方数(本文以下简称“‘平方数”).没有-一般的方法.但可以从平方数的一个基本特征人手. 将所有平方数按从小到大的顺序排列如下: 1:.2:,3:.·…,I艺.(,,十1)全,… 如果用41涂其中的每一个数.可以发现.每一个平方数或被4整除.或被1除余1.证明如下:l,2一艺1,I一(‘为正整数,时·等一走‘冷为正整数,‘司一件一(2力一1): 4‘‘冷丈冲一.﹄2 21一4皮(澎一h)+ 注意,“.即,,二被41余余L飞整除或被飞除余1”只是被除数为平方数的不可少的条件(必要条件).而不是充分条件(即命题“平方数必能被4整除,或被往l涂余l”为真…     

问题2.9

设m是一个小于2006的四位数,已知存在正整数n,使得m-n为质数,且mn是一个完全平方数,求满足条件的所有四位数m.问题2.9$南京大学!博士@满涛     

利用特殊性帮助解题

众所周知,在数学问题的解答中,应当注意一般性和特殊性的关系.在论证一般性命题时。一定不能以验证某些特例来代替对问题的论证.例1 证明:有3个数位上是1,其余数化上都是O的十进制正整数都不是完全平方数.我们知道,这样的正整数是很多的,例如111,101010,1100001.10000011,…等等.如果逐一验证它们,可以发现它们都确     

有趣的勾股数

我在解直角三角形的过程中，发现了一个有趣的规律：如果两上连续的正整数之和是一个完全平方数，那么这个完全平方数的算术平方根与这两个连续的正整数组成一组勾股数。[第一段]     

一道竞赛题的推广

本文将第27届IMO第一题作了如下推广:“设正整数 d 不等于2,32n~2-40n+13,32n~2-24n+5(n 为正整数).证明;在集合{2.32n~2-40n+13,32n~2-24n+5}中,可以找到两个不同元素 a、b,使 ab-1不是完全平方数.”该命题中当 n=1时即为原赛题.     

第27届IMO一道题的简解

题:设正整数d不等于2,5,13.证、毋在集合〔2,5,13,d冬中可以找到两个不同元素,使。b一1不是完全平方数. 证明:因为2、5一1=9二3佗, 2丫x3一x=25=52, 1 3 XS一1=64二82.所以原命题可转化为: 设d是一个正整数,则在2d一1,5d一l,13d一1这三个数中至少有一个不是完全平方数(d不与它的系数相等). 用反证法. 假定Zd一,5己一l,13忿一都是完全平方数,即Zd一1=洲①.sd一1~就②。13d一1=矛。2③,其中论,,无:,无3是正整数.①xs一②又2,①又13一沙义2得 一5斌+2麟=3.“一13无丈+2汤云=1 1.解此不定方程得:无1=3一4b,对二9一10b,(b是整数)无孟=25一26b/!…     

求解平方数问题的金钥匙

平方数是指能表示成某整数平方的那些数，又称完全平方数．它是国内外数学竞赛中的一种重要题型．这类问题，立意新颖，构思精巧，颇富思考情趣．本文初探求解有关平方数问题的金钥匙．一、从数的因子入手任何平方数都能分解成偶数个相同素因子的积．抓住这一点，便能解决一些平方数问题．例1（1988年第2届国际中学生友谊赛题）求征：不存在这样的自然数n，使数n~6 3n~5-5n~4-15n~2 4n~2 12n 3是自然数的完全平方．能被6！整除．∴A无偶数个3的因子，故b不是完全平方数．例2（第16届加拿大中学生数学竞赛题）证明1984个连续正整数的平方和…     

趣题一则

问题有没有这样的正整数,把它加上1994以后恰好是一个完全平方数,把它减去1993以后恰好也是一个完全平方数?如果有这样的正整数,共有多少个?把它们求出来.解设满足条件的正整数为 x,两个平方数分别是 a~2和b~2(a>b>0),依题意有     

第36届IMO预选题及解答(下)

5 数论与组合数学 1.(罗马尼亚)设k是一个正整数,证明存在着无穷多个形如n·2~k-7的完全平方数,其中n是正整数。 证明 首先证明,对任给的k,存在着一个正整数α_k,满足α_k~2≡-7(mod 2~k)。我们用关于k的数学归纳法进行证明。     

完全平方数的一种判定法及其应用

在数论中,如果正整数n等于另一个整数的平方,则称n是一个完全平方数,完全平方数在数论中占有重要地位,因为完全平方数有许多重要性质。本文介绍完全平方数的一种判定方法,以及这种方法在解其它问题中的应用。完全平方数的这种判定方法,归结为如下的定理: 定理一个正整数n是一个完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。     

用“极小法”解题

在一类数学问题中,由于某种数量包含的数值不能确定,此时需要从这个量的最小值入手,再找出符合要求的数值,这种解题方法叫做极小法。例如:三个连续的正整数,中间一个是完全平方数,将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。问所有小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少?     

数学奥林匹克问题

初281已知存在k（k∈N,k≥2）个连续正整数,它们的平方的均值为一个完全平方数．试求k的最小值．     

试解一道国际征解题

《美国数学月刊》第99卷第7期的10238号征解题(由纽约市立大学布鲁克林学院的David M Bloom提供)是: (a)证明:存在无穷多个正整数a,使a 1和3a 1都是平方数;     

先估算 再确定

[题目]三个连续正整数，如果中间一个是完全平方数，那么这样的三个连续正整数的积被称为“美妙数”。问所有小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少?(全国第九届“华罗庚金杯”赛暨南通市“华杯”赛六年级试题)