构造单位圆及其切线巧妙解题的若干范例

中学生最早接触单位圆概念,是在学习三角函数时,构造单位圆来证明余弦函数的和角公式,接着利用单位圆构作三角函数图像,确定在已知三角函数值的范围条件下角的范围,但在具体的解证应用方面却少有涉及.实际上,巧     

例谈利用单位圆解题

在三角函数教学中我们引进了单位圆，这对于直观表示任意角的三角函数，描绘三角函数图象，研究三角函数的有关性质及推导三角公式等提供了极大的方便．尤其是利用单位圆可化数为形，在解题中有着独特的功能．现举例如下．     

巧用圆的切线方程解题

<正>若圆的方程是x2+y2=r2,则过圆上一点P(x0,y0)的切线方程是x0x+y0y=r2.这是一个既简单又实用的课本习题结论,利用该结论可以较简捷地解决某些数学问题,现举例说明如下:一、证明(不)等式     

巧用单位圆解题

单位圆是研究三角函数的重要工具，利用它不仅可求三角函数值，推导三角公式，解三角不等式(方程)，而且还可实现形数变换，构造几何图形，借助图形性质，直观简捷地求解许多三角问题．兹举例说明其应用．     

利用抛物线切线性质解题

抛物线的切线具有很多好的性质,不少资料上都有研究。本文罗列几条,谈谈它们的简单应用。 一、切线的几个性质 定理1 抛物线切点弦的中点与两切线交点的连线平行于对称轴。     

利用圆巧解题

因为圆在初中平面几何中有较多的涉及,在高中数学中又有圆锥曲线压身,所以圆的身份比较尴尬:想被重视却重视不起来,从而导致一些能用圆巧妙解决的较难问题无法被有效突破.本文举例说明. 一、寻找向量中圆的身影,有效突破最值 向量作为高考必考的知识点已经成为高考命题者尝试创新命题的一个重要阵地,近年来在高考和各省市模拟卷中出现了不少有新意的考题,其中有一些考题若能挖掘出题中隐含的"圆",则问题便能较好的求解.我们知道向量是数形结合体,故一般向量问题都会有两种解决办法:代数法和几何法.下面我们就从这两个方面来进行求解.     

利用圆的相似性解题

我们知道，所有的圆都是相似的．利用圆的相似性可以解决一类与圆有关的问题，如扇形、弓形的面积以及弧长的计算等．首先给出以下两个命题：     

利用圆的性质解题

一、解方程例1若方程有实数解,求实数a的取值范围. 解∵原方程可变形为, 表示以原点为圆心,半径为(1/2)的半圆,而表示斜率为1的射线(不含端点),其中a为射线在x轴上的截距.由图可知,当     

圆的等切线与等切线圆系

众所周知 ,方程 (ｘ -ａ) 2 (ｙ-ｂ) 2 =ｒ2 (ｒ >0 )表示的曲线是以 (ａ ,ｂ)为心 ,以ｒ为半径的圆 ,此方程可变形为Ｆ(ｘ ,ｙ) =0 ,即 (ｘ-ａ) 2 (ｙ-ｂ) 2-ｒ2 =0 .1　非同心圆的等切线及其性质定理 1　到两个非同心圆的切线长相等的点在同一条直线上 .　　　　　图 1证明　如图 1,设圆Ｃ1和Ｃ2 的方程分别为Ｆ1(ｘ ,ｙ) =0和Ｆ2 (ｘ ,ｙ)=0 ,点Ｍ (ｘ ,ｙ)为到两圆切线长相等的任意点 ,∵ ｜ＡＭ｜2 =｜ＢＭ｜2 ,∴｜ＭＣ1｜2 -ｒ21=｜ＭＣ2 ｜2 -ｒ22 ,即 (ｘ -ａ1) 2 (ｙ-ｂ1) 2 -ｒ21=(ｘ-ａ2 ) 2 (ｙ-ｂ2 ) 2 -ｒ22 ,整理得2 (…     

单位圆在解题中的应用

单位圆是中学数学里最基本的内容之一。但是我们往往仅注意到它在推导三角函数的诱导公式和在三角函数图象中的应用,却忽视了对其潜在应用价值的挖掘。事实上,有的题(特别是有关三角函数、反三角函数和复数方面的),若能借助单位圆去解,则方法简捷、直观、巧妙。这样不但能使学生掌握用单位圆解题的方法,而且能激发学生的学习兴趣。现举例说明:     

例谈单位圆的解题功能

在三角函数教学中我们引进了单位圆,这对于直观表示任意角的三角函数,描绘三角函数图象,研究三角函数的有关性质及推导三角公式等提供了极大的方便.其实,单位圆在解题中,尤其在利用单位圆构造条件可化数为形的解题中,有着独特的功能.现举例如下:例1已知sin4αcos2β csions24αβ=1,求证:cos4βsin2α csions42αβ=1.证明设点A为scoins2αβ,csoins2βα,点B为(cosβ,sinβ),则A,B均在单位圆上.过B点圆的切线L的方程为xcosβ ysinβ=1,显然A点在L上,则A,B两点重合(切点唯一).∴scions2αβ=cosβ,csoins2βα=sinβ,即sin2α=cos2β,co…     

利用圆的几何性质解题

在涉及到圆的有关问题时.若能抓住题设中圆的图形特征和数量关系,充分利用圆的有关几何性质,常常可使问题的解决变得更简捷. 性质1 圆的弦的垂直平分线必过圆心例1 (2001年全国卷)过点A(1.-1).B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是__. 分析:因线段AB为所求圆的弦,没点C为AB的垂直平分线与直线x+y-2=0的交点.由已知条件及性质1.知点C为     

利用圆的根轴解题

人教版高中数学新教材第二册(上)(2000年12月第2版)第85页有这样一道例题: 求证:到圆心距离为a(a＞0)的两个相离定圆的切线长相等的点的轨迹是直线.     

圆的切线方程

过圆上一点的切线方程公式是众所周知的,过圆外一点的切线方程应如何表示?本文给出了利用圆外已知点及圆的方程直接写出过该点的切线方程的解析表达式,并阐述了如何应用公式简化解题.     

用斜率公式与单位圆解题

对于某些代数问题,若所给函数式或方程可化为用两点坐标表示的斜率公式的形式,且其中一点在单位圆上,则可画出圆及直线,用数形结合的方法来求解.这样解题巧妙直观,简便快捷.     

巧分单位圆妙解三解题

将各个象限n等分，从第一象限离X轴最近的区域开始逆时针方向依次重复标注1、2、3、4．如果α是第几象限角，则α/n就在图中标号为几的区域内．如图1，将各象限3等分，若α为第二象限，则α/3就在图1中的标数为2的区域内。     

从圆的切线到圆锥曲线的切线

本文将圆的规线的某些性质推广到圆锥曲线,这对手全面地认识圆锥曲线,解决某些有关问题是有益的. 一、相交切线的性质     

利用圆磁场模型巧妙解题

在物理解题过程中,有些问题的过程相当复杂或者思路不明确,有些问题所研究的物理量与所经历的具体过程无关,仅由系统所处的状态决定,在这种情况下,可用我们学过的模型来巧妙求解．     

切线问题解题浅析

直线和圆相切是圆这一章的重点,也是历年中考所要考查的重要内容之一,要掌握有关切线的几个重要知识,从而掌握解决有关切线问题的方法和技能技巧,提高分析问题、解决问题的能力。 本文就有关切线的几个知识点及在解题中的运用加以探讨。 例1.如图,已知△ABC内接于⊙O,AD是△ABC的高,⊙O的直径AE交BC于F,点P在BC的延长线上,且∠CAP=∠B。     

圆的切线的判定

圆的切线的判定方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．