群中元的阶

本文讨论群的元的阶有关的性质以及几个特殊群中与元的阶有关的问题.     

一个群论定理的推广

对群论定理“设a,b为群（G,·）之二元．如 1）a·b=b·a,2）（o（a）,o（b））=1,则o（a·6）=o（a）×o（6）″进行推广．首先,仅变更2）为2′）（o（a）,o（b））=d,得到定理1：设a,b为群（G,·）之二元,如 1）n·6=b·a．2′）（o（a）,o（6））=d,则o（a·6）=o（a）/d×o（b）/d×q,q∈N且1≤q≤d;其次,不仅变更2）为2″）（o（ai）,a（aj））=1,i≠j,i,j=1,2,…,n,且变更1）为1′）ai·aj=aj·ai,i≠j,i,j=1,2,…,n,得到定理2：设a1,a2,…,an为群（G,·）之n（≥2）元,     

关于群中元的阶的探讨

群是《近世代数》的一个重要概念,从不同的角度出发,群可以分为有限群和无限群两大类,又可以分为交换群和非交换群两大类。而元的阶又是群的一个重要概念,元的阶和群的阶有着内在的联系;元的阶和群的类型有着内在的联系;群中某些元的阶也有着内在的联系。     

关于群中元的阶的探讨

群是《近世代数》的一个重要概念，从不同的角度出发，群可以分为有限群和无限群两大类，又可以分为交换群和非交换群两大类。而元的阶又是群的一个重要概念，元的阶和群的阶有着内在的联系；元的阶和群的类型有着内在的联系；群中某些元的阶也有着内在的联系。     

群论中一种常用的方法

介绍群论中一种常用的方法,并利用它来解决一些具体问题。     

关于群中元素的阶的几个结论

《离散数学》中给出了关于群中元素的阶的一个结论:设G为群,a,b=G,且ab=ba,如果|a|:n,|b|=m,且n与m互质,证明|ab|=nm。对这个结论很容易想到能不能推广为更一般的情况:设G为群,a,b∈G,且ab=ba,如果|a|=n,|b|=m,(a,b)=d则|ab|=[a,b]。文章将给出结论,并对群中元素的阶的性质做出一些补充。     

关于有限群的"阶"

元素的阶是有限群中重要的算术量,它深刻地反映了有限群的整体性质．最近二十年来,用元素的阶刻画有限群结构已成为有限群论中的一个重要课题,至今已有非常丰富的研究成果．本文将介绍这方面的研究成果,同时也给出了一些可进一步研究的问题．     

“龟兔赛跑”新解的群论释义

我们对传统的"龟兔赛跑"故事赋予新的涵义,并结合群论中元素的阶的概念得到新的结果,有利于学生对抽象代数的理解.     

共轭子群的几个性质

由于有限群子群的乘积不一定是子群,如何判断子群的乘积为子群是一个重要的问题.本文主要证明有限群的所有共轭子群的乘积是子群,并且给出了共轭子群的几个性质.     

10阶群结构的四种证法

从不同阶元的个数的枚举,不同阶元生成的子群乘积,不同阶元的左陪集及Sylow-定理四个方面给出10元群只有循环群(交换群)和5次对称群的子群即由(25)(34),(12345)生成的非交换群。     

关于周期群的若干结论

对周期群做了初步的研究,得到了周期群的若干性质和一个群是周期群的若干条件,并对周期群的结构做了初步的刻划,给出了周期群的若干等价条件.     

一类可解群

本文讨论了群的最高阶元素个数为170的有限群,得到了定理:设G是最高阶元素个数为170的有限群,则G是下述群之一。(1)G是｛2,5,11｝-群,且G的阶满足｜G｜=2α.5β.11γ,其中α≤8,β≤2,γ≤2。(2)G是方指数为4的2-群。(3)G是元素的最高阶的6的｛2,3｝-群,或者｛2,3,5｝-群。特别地,G是可解群。     

最高阶元素个数对有限群结构的影响

我们讨论了群的最高阶元素个数为4p2的有限群G,得到：设M（G）I=4p2,n=2p或者n=2P2,其中p是素数,则G是可解群．     

关于群的方次数的若干结果

群的方次数是群论中的一个基本概念,它反映了群的元素阶的性质特征.通过对群的方次数的初步探讨,得到结论:若群G的元素阶均有限,且sup|a|a∈G=sup|a|a∈G(G),则群G的方次数expG=sue|a|a∈C(G).并进一步用方次数刻划了群的结构.     

有限群共轭类数的一个不等式

研究了某一类有限群的阶与共轭类数的关系,得到一个新的数量不等式,推广了相关文献的结果．     

应用sylow定理探讨有限阶群的个数

在近世代数中群是一个重要的研究对象,其中有限阶群的个数是一个值得探讨的问题,现应用sylow定理探讨8阶群、10阶群和14阶群的个数。     

群中元素乘积的阶的定理推广

在较大范围内,给出了群中两个元素乘积的阶更确切的结论,推广了已有定理的有关结果.     

用可解子群的阶的集合刻画散在单群

日本学者Seiichi Abe在2002年证明了有限单群A1(q),Sz(q),3D4(q),G2(q),2G2(q)可仅用可解子群的阶的集合进行刻画.本文证明了对所有散在单群可仅用可解子群的阶集合进行刻画.