从一道数列题说起

一、问题的提出 首先,我们给出一个定义：设k、n为整数,k、n≥1,记Sk（n）=1^k＋2^k＋…＋n^k,称Sk（n）为前n个自然数的k次等幂和,简称等幂和．     

一类新型算子在空间内加权逼近的正逆定理

构造了一类新型的Kantorovich算子,即K^＊n（f,x）=n＋2/2 Σ^n k=0 Pn,k（x）∫^k＋2/n＋2 k/n＋2 f（t）dt。讨论了该算子在Ba空间内的加权逼近,得到了其逼近的正逆定理。     

2010年全国高中数学联赛甘肃省预赛

一、填空题（每小题7分,共56分）1．设k1〈k2〈…〈kn是非负整数,满足2^k1＋2^k2＋…＋2^kn=227．则k1＋k2＋…＋kn=__________.2.已知a〉0,函数f（x）=｜x＋2a和g（x）=｜x-a｜的图像交于点C,且它们分别与y轴交于点A、B。若△ABC的面积是1,则a＝_____________.     

关于立方幂补数的注记

设n为正整数,S（n）表示n的立方幂补数,实数0〈k〈1,k≠1／3．本文的主要目的是研究∑↑n≤x（1/S（n））^k的渐近性质,进一步解决有关文献提出的问题,并用解析方法得到两个重要的渐近公式．     

Minc-Sathre不等式的加强及简便证明

文献[1]中给出了Minc-Sathre不等式 n/n＋1〈n√n!/n＋1√（n＋1）!〈1 （n∈N^＊）① 此不等式可以用高等数学中的Stirling公式证明．文[1]给出了它的两个初等证明．文[2]给出了它的一种加强：     

一个展开式在求平方根上的应用

设n是某一个正整数,并且n=a^2＋b,其中a为正整数,b为整数且｜b｜〈n则√n=a√n/a^2=a（a^2/n）-^1/2=a（n-b/n）-^1/2,（1）其中t=b/2n.     

一道猜想不等式的初等证明

题目设口,b,c是正数,n是正整数,求证：a/n√a^n＋（3^-1）b^n/2c^n/2＋bn√b^n＋（3^n-1）a^a/2a/2＋c/n√c^n＋（3n-1）a^n/2b^n/2≥1.     

函数f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx最小值猜想的一个初等证明

万新灿、郑晓玲老师在文[1]中提出猜想： f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx（0〈x〈π/2,a、b为大于0的常数，n∈N＋），当且仅当x=arctan n＋2√a/b时，取最小值（a2/n＋2＋b2/n＋2）n＋2/2     

自然数k次方幂和的一种简捷算法

自然数k次方幂和∑i=1^n i^k=1^k＋2^k＋…n^k（这里k是任意自然数）,是否也有简单的计算公式呢？     

函数f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx最小值猜想的又一简证

文献[1]提出了如下猜想： 猜想f（x）=a/cos^nx＋b/sin^nx（0〈x〈π/2,a，b为大于零的常数,n∈N^＊）当且仅当x=arctan n＋2√b/a时,取到最小值（2/a^n＋2＋2/b^n＋2）^n＋2/2．     

丢番图方程|(εn--εn)/(ε--ε)|=1的解数

设a,b,c,k是适合a+b=ck,gcd(a,b)=1,∈｛1,2,4｝,k&;gt;1,而且k在c=1或2时为奇数的正整数；又设ε＝（√a+√-b）／√c,-/ε=√a-√-b)/√c。证明了：当（a,b,c,k）≠（1，7，4，2）或（3，5，4，2）时，至多有1个大于1的正奇数n适合|ε^n--/ε^n)/(ε--/ε）|＝1，而且如此的n必为满足n＜1＋（2logπ)/logκ+2563.43(1+21.96π/logκ）的奇素数。     

一个猜想的否定

文[1]提出了一个猜想： （1）设x1,x2,x2是非负实数,且满足x1＋x2＋x3=1,k≥2,k∈Z．则x1^kx2＋x2^kx3＋x3^kx1＋x1x2x3（x1＋x2＋x3）^（k-2）≤k^k/（k＋1）^k＋1;     

例谈信息互动分析法之应用

例1：若0〈a〈1，0〈b〈1，求证：√a^2＋b^2 ＋√（1-a）^2＋b^2 ＋√a^2＋（1-b）^2 ＋√（1-a）^2＋（1-b）^2≥2√2.     

一种新的求解P＊（k）阵原始一对偶路径跟踪算法

对P＊（k）阵线性互补问题提出了一种新的原始一对偶路径跟踪算法,算法是基于一种新的工具找到搜寻方向和中心路径邻域,并证明了此算法的迭代复杂性为O（√n log [n＋4（1＋k）δ2/ε] μ0）,与目前最好的算法迭代复杂性一致。     

一个关于整数部分的求和公式

设d是非平方正整数,u、v是适合u^2-dv^2=1的正整数,a=u＋v√d,证明了n∑k=0[a^k]=（a^n＋1）（a^n-1）/（a-1）a^n-（n-1）,其中[a^k]是a^k的整数部分。     

关于圆外切多边形的一个定理

定理 设边长依次为a1，a2，…，ak（k≥3）的k边形外切于圆，则 2/^n√2〈k∑i=1^n√ai/^n√k∑i=1ai≤k/^n√k.[第一段]     

具有最少可能边数的唯一k-可染色图的构造

Abstract It was shown that a uniquely vertex k-colorable graph of order n has minimum size n（k - 1） - （^k2）, and a uniquely vertex 3-colorable extremal graph with the minimum degree 3 can be constructed. In this note, we construct-an infinite familyof uniquely vertex k-colorable graphs of the order n, the size n（k - 1） - （^k2） and the minimum degree k by using a recursion method.     

p=5的Hardy不等式的一个加强改进

对P=5的Hardy不等式，建立如下的加强不等式∞∑n=1（1/nn∑k=1ak）^9〈（5/4）%5∞∑n=1（1-1/[（5n^4/5）/2＋0.624]＋1/[（5n^4/5）^3＋（5n^4/5）^2/24]）ak^5其中an≥0（n∈N）,1〈∞∑n=1an^5〈∞.     

二次无理数的连分数

给出了以下几个结果：1.给出了√n（1/2）的连分数展式的简便算法.2.证明了√n（1/2）连分数循环节结构的中心对称性.3.给出了一般二次无理数（a＋√n（1/2））/b的连分数算法.     

对一道高考难题的再思考

2008年高考江西卷（理科数学）的压轴题为： 已知函数f（x）=1/√1＋x＋1/1√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）. （1）当a=8时,求f（x）的单调区间; （2）对任意正数α,证明：1〈f（x）〈2．