让绝对值回“娘家”(初一)

我们知道, |x|的几何意义是数x在数轴上的对应点到原点的距离. |x-a|的几何意义是数x和数a在数轴上的对应点之间的距离.因此,绝对值的几何意义总可以通过数轴来体现,我们说数轴是绝对值的“娘家”.让绝对值回“娘家”,是解决此类问题的巧妙方法.     

两类不等式几何解法例谈

在 |x a|± |x b|>c;|x a|± |x b|b,它的常规解法分为 x<- a;- a≤x≤ - b;x>- b三种情况进行讨论。这一解法主要依据绝对值的定义 ,它的缺点在于运算繁琐 ,不易得出准确答案。以下介绍一种几何解法 :根据绝对值的几何意义 ,上述不等式可以叙述为到 x轴上两定点 A,B距离之和 (差 )大于 (小于 ) c的点的集合。借助椭圆 (双曲线 )的定义 ,我们上述问题转为在 x轴上寻到两定点的距离 (焦距 )大于 (小于 ) c(长轴 )的点的集合。是x轴上椭圆 (双曲线 )与 x轴交点以外 (以内 )的部分。下面我们…     

│X_B—X_A│的几何意义在解题中的应用

|X_B-X_A|的几何意义是:实数X_A、X_B在数轴上分别对应的点A与B之间的距离.在教学过程中重视此公式几何意义的应用,对于加深学生对公式的理解、拓广学生的恩维、提高学生分析问题和解决问题的能力等方面,将起到事半功倍的作用.我们来看下面的例子:1 解绝对值方程例1 解方程|X 1| |x-2|=3.解法1 用绝对值的定义来解当x≥2时,原方程化为:(x 1) (x-2)=3.∴x=2.当-1≤x<2时,原方程化为:     

绝对值几何意义应用举例

绝对值是初中代数乃至高中代数的重要内容.绝对值的几何意义可以借助数轴加以认识,一个数的绝对值是数轴上表示这个数到原点的距离.如,|a|的几何意义是:数轴上表示数a的点与原点距离.|a-b|的几何意义:数轴上表示数a的点到表示数b点之间的距离.那么|x-a|+|x-b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a、b两点之间的距离之和.对于一些复杂问题,运用绝对值几何意义求解,直观简捷,事半功倍.     

用绝对值的几何意义解题几例

实数 a 的绝对值|a|,表示数轴上点 x 到原点的距离.|x-a|表示数轴上点 x 到点 a 的距离.在解题中.若注意实数绝对值的几何意义,可以避免冗长的讨论.下面仅举几例加以说明.例1(武汉、广州、福州三市联合竞赛题)已知|x-1|+|x-5|=4,求实数 x 的值.     

|x|的几何意义的推广及应用

|x|的几何意义是数轴上表示数x的点到原点的距离.进而可以推广:|x-a|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a的点的距离.运用绝对值的几何意义思考问题,具有直观性和简明性. 例1 适合|2a+7|+|2a-1|=8的整数a的值的个数有( ).     

一道高考选择题的解法及推广

函数f(x)=∑9n=1|x-n|的最小值为().A·190B·171C·90D·45解法1利用不等式|a|+|b|≥|a+b|∵∑9n=1|x-n|≥|x-1+19-x|+|x-2+18-x|+…+|x-9+11-x|+|x-10|=90+|x-10|≥90,当且仅当x=10时所有的等号成立,∴[f(x)]min=90.选C.解法2借助绝对值的几何意义由绝对值的几何意义知:问题即求数轴上x代表的点与1,2,3,…,19代表的点的距离之和的最小值,易知当x≥19时,f(x)=19x-190≥f(19),当x≤1时,f(x)=190-19x≥f(1),因此使函数f(x)取得最小值的x∈[1,19],且此时|x-1|+|x-19|为定值18,故欲使f(x)最小必须且只需|x-2|+…+|x-18|最小即可,由以上推理知…     

论证|f(x)|>g(x)的一种简单解法

<正>在人教版数学选修4-5《不等式选讲》中,我们学习了不等式|f(x)|>g(x)的两种解法,掌握了解绝对值不等式的关键是去"||"符号,去绝对值的依据是"||"的定义,解绝对值不等式的常用方法是分类讨论。解法一:根据绝对值的定义,将不等式|f(x)|>g(x)去绝对值,则|f(x)|>     

求解绝对值问题的对策研究

<正>绝对值的问题在新课程初、高中教材里都占有一定比例.中考试题中偶尔会出现,在高中试题中却是经常出现.但由于学生没有掌握方法,很容易失分.为使学生不害怕"绝对值的问题",我们课题组摸索出一套解决此类的方法,在这里与大家共享.一、绝对值的意义1.代数意义正数的绝对值是正数,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0,2.几何意义|a|就是在数轴上表示数a的点到原点     

巧用数轴解题

数轴,中学生刚进入初中一年级就学习它.它有三要素:原点、单位和正方向.|x-a|的几何意义是表示数轴上两点P(x)、Q(a)间的距离.巧妙地利用数轴来解题,可以使问题简捷明了,达到很满意的效果.1.应用于不等式【例1】已知y=|x 2| |x| |x-1| |x-3|,求y的最小值.分析:常规解法是:分x≥     

|x-a|的几何意义(初一、初二)

|x-a|的几何意义是:数轴上两数x和a对应的点A和B之间的距离(如图1),即线段AB的长.记为|AB|. 从这个几何意义出发,能很好地解决一些含有绝对值符号的问题,比用代数法简单. 例1 适合关系式|3x-4|十|3x+2|=6的整数x的值的个数是( ) (A)0.(B)1.(C)2.(D)大于2的自然数.     

妙用几何意义 巧解竞赛试题

绝对值的几何意义：在数轴上，|a|表示数a的对应点到原点的距离，由此可知，|x-a|表示数x的对应点到表示数a的对应点的距离。     

绝对值问题的“分层作图”法

<正>数形结合是一种非常重要的数学思想方法,也适用于绝对值问题,这主要是绝对值的几何意义,|a|为在数轴上数a到原点0的距离,即|a|=|a-0|.据此,我们可以将|a-1|理解为在数轴上数a到点1的距离;而|a+1|,即|a-(-1)|可以理解为在数轴上数a到点-1的距离.为了更加直观地解好绝对值问题,同时便于解后检查,笔者尝试了"分层作图"办法,帮助学生中考前复习.现分类例说如下.一、单个绝对值的问题例1 | x-1|=2,则     

智解绝对值赛题

绝对值是初中代数的重点 ,它是中考与竞赛中的常见问题 ;绝对值是初中代数的难点 ,但灵活巧妙地运用绝对值的定义、非负性、几何意义 ,就能化难为易 ,智解问题 .一、智用绝对值的非负性解题例 1　 (第十六届江苏省初中数学竞赛初一试题 )如果 | x -2 | + x -2 =0 ,那么 x的取值范围是 (　　 )(A) x >2 .　　　　 (B) x <2 .(C) x≥ 2 .　　　　 (D) x≤ 2 .解 :由条件知 :| x -2 | =2 -x;由绝对值的非负性知 :2 -x≥ 0 ,即 x≤2 ,故选 (D) .评注 :所有实数的绝对值都大于或等于零 ,这是绝对值的非负性 .本题就是利用这一性质 ,求出 x的取…     

浅谈关于绝对值的化简

进入初中阶段,绝对值总是学生们感觉较难的问题·无论是从绝对值的几何定义,还是绝对值的代数定义,都揭示了绝对值的一个重要性质———非负性,也就是说任何一个有理数的绝对值都是非负数,即:无论a取任意有理数都有|a|≥0·下面关于绝对值的化简题作一探讨·一、含有一个绝对值符号的化简题1·已知未知数的取值或取值范围进行化简·如,当x>2时化简|2x-3|+x(根据绝对值的意义直接化简)解:原式=2x-3+x=3x-3·2·没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简·如,化简|x-5|+2x(必须进行讨论)我们把使绝对值符号内的代数式为0的未知数的值叫做界值,…     

巧用绝对值的几何意义

一个数x的绝对值,就是这个数x在数轴上所表示的点到原点的距离,它记作|x|.一般地,|x-a|表示x到a的距离.利用这个意义来处理一些问题,显得新鲜、简捷、明快.     

四类不等式恒成立问题的解法

<正>恒成立是不等式中一种常见题型,下面仅结合学习体验例析其常见的类型及解法。一、含绝对值不等式的恒成立问题例1对任意实数x,若不等式|x+1|-|x-2|>k恒成立,求k的取值范围。解析:令f(x)=|x+1|-|x-2|,由绝对值的几何定义知f(x)是数轴上的点到-1,2两点的距离之差,故[f(x)]_(min)=-3,由恒成立原理知k<-3。     

以“形”解“数”直观简捷

“数”与“形”是数学殿堂里密不可分的两大柱石,“数缺形时少直观、形缺数时难入微”。若某些代数问题有明显几何意义,则转化为几何图形,适当地运用几何方法,以“形”研究“数”,会使问题直观形象,解法简捷灵活。现结合实例说明:1.在数轴上以“形”解“数”例1.解方程｜x+1｜+｜x-1｜=4。分析:初看这是一道纯代数题,通常的解法是分段定出x的取值范围,分类讨论去绝对值符号再解,但这样较费时费力,若利用绝对值的几何意义,则可快捷求解。解:如图1,画数轴,设A(-1),B(1),由绝对值的几何意义,求这个方程的解即是在数轴上找到与点A、B的距离的…     

解含参数不等式的几个策略

含参数不等式是高考考查的重点内容之一,但由于其对学生的综合能力要求较高,导致许多学生在解题思维活动中都存在障碍.下面介绍解参数不等式的几种策略.1 分清不等式中的主次,找出使其成立的充要条件,对不等式进行合理转化 例1 已知实数a>0,a＃1,解关于x的不等式|loga(x 1)|<|loga(x 1)2 1|. 分析:这是一道既含有绝对值又含有指、对数的不等式.首先,应该是绝对值不等式,其次才是指、对数不等式.因此可以先采用解绝对值不等式的方法,先求出loga(x 1)然后再对a进行分类讨论求解x.     

向量妙解线性规划最值问题

正1问题的提出随着高中数学课标课程的实施,使得许多新知识进入了高中数学教材,同时也进入了高考试题.其中,线性规划问题就是这样一种知识.线性规划问题几乎是每年高考必考的内容,而且其理论和方法在实际生活中有着广泛的应用.因而,线性规划问题解法的研究,就成为一个重要的课题.2理论基础①平面向量数量积的几何意义:数量积a?b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.即a?b=|a|?|b|cosθ,θ∈[0,π].②平面向量数量积的坐标表示:两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和.即设1 1a=(x,y),2 2b=(x,y),则1 2 1 2a?b=x x+y y.