两个新分式不等式的推广

文献[1]给出了两个新分式不等式,将这两个特殊的分式不等式进行了推广,得到两个更一般的分式不等式.     

一个不等式再推广的注记

问题[1] 　设a1,a2 ,a3,a4 ∈R+ ,求证a31a2 +a3+a4+a32a3+a4 +a1+a33a4 +a1+a2+a34 a1+a2 +a3≥(a1+a2 +a3+a4 ) 21 2 ①文 [2 ]应用基本不等式 ,将不等式①推广为 :定理 1　设a1,a2 ,… ,an∈R+ ,a1+a2 +… +an=s,k∈N ,k≥ 2 ,则有ak1s-a1+ak2s-a2+… +akns-an≥ sk - 1(n -1 )nk- 2 ②其中等号当且仅当a1=a2 =… =an 时成立。定理 2　设a1,a2 ,… ,an∈R+ ,a1+a2 +… +an=s,k∈N ,k≥ 2 ,则有∑ni=1akis-ai≥ 1n -1 ∑ni=1ak- 1i ③其中等号当且仅当a1=a2 =… =an 时成立。本文给出两点注记 :注记 1　定理 1的条件可以放宽为 :设ai≥ …     

一个不等式的推广

设a、b、c为正实数,则有 222[1]1(),2abcabcbccaab (1) 222[2]1().2abcabcabbcca (2) 文[3]将不等式(1)、(2)统一推广为 定理1 设a、b、c为正实数,l、m、u是不全为零的非负实数,则有 2aabcabclmulmu 宄 . (3) 其中表示对a、b、c的循环和,等号当且仅当abc==或0,0lmu==时成立. 本文从指数方面考虑,给出不等式(3)的推广. 定理2 设a、b、c为正实数, l、m、u是不全为零的非负实数,2m,则有 213()mmmaabcabclmulmu-- 宄 . (4)证明 22()mmaaabcabclmulmu=? 22()()maabclmu? (根据Cauchy不等式)① 22()()maalmu= …     

两个优美而有用的不等式

最近在研究分式不等式的证明中,发现了两个优美而有用的不等式,现介绍如下：设入,y;（i一l,2,…,n）均为正数,且x;＜X。＜…＜X。,则证（1）将数列X;,X。,…,X。按足标依次作轮换,连同自己本身在内共n个排列：工1曾xZ昏””,＊。;工2昏J3f’“”,JI;＊＊＠工1钞’””汐＊刀一1．将其中每一个排列中的n个数对应地与n个分数y,h,…,7相乘并相加,就有n个和依排序原理,在这n个和中,以第一个和为最小,故得：把这些不等式相加,便有类似地,可证（2）．简言之,若生,丝,…,丛与。,x。,…,xJIxZ三刀的单调性…     

一个不等式的推广

文[1]建立了一个新的代数不等式: 若a,b,c为不大于1的正数,n为正整数,则 1/n√1 a 1/n√1 b 1/n√1 c≤3/n√1 3√abc.     

一个分式不等式的加强与推广

文 [2 ]用初等方法证明了文 [1 ]中的分式不等式 :若ａ1、ａ2 、ａ3 、ａ4∈Ｒ+,求证 :ａ3 1ａ2 +ａ3 +ａ4+ ａ3 2ａ1+ａ3 +ａ4+ ａ3 3 ａ1+ａ2 +ａ4+ ａ3 4ａ1+ａ2 +ａ3≥(ａ1+ａ2 +ａ3 +ａ4) 21 2 .①本文将给出①的加强与推广 .加强　若ａ1、ａ2 、ａ3 、ａ4∈Ｒ+,求证 :ａ3 1ａ2 +ａ3 +ａ4+ ａ3 2ａ1+ａ3 +ａ4+ ａ3 3 ａ1+ａ2 +ａ4+ ａ3 4ａ1+ａ2 +ａ3≥ａ21+ａ22 +ａ23 +ａ243 .②证明 :∵ａ2ｂ≥ 2ａ -ｂ(ａ、ｂ∈Ｒ+) ,∴ (3ａ1) 2ａ2 +ａ3 +ａ4≥ 2 (3ａ1) - (ａ2 +ａ3 +ａ4) ,即　 ａ3 1ａ2 +ａ3 +ａ4≥ 23ａ21- 19(ａ1ａ2 +ａ1ａ3…     

一个分式不等式的指数推广

文[1]利用柯西不等式与算术--几何平均不等式证明了如下分式不等式(即文[1]推论2): 若ai∈R+(i=1,2,…,n),2≤n∈N,m∈N,且S= ai,则有 (1) 本文给出不等式(1)的一个指数推广.     

两个分式不等式的统一推广

本文运用幂平均不等式和柯西不等式得到两个分式不等式的统一推广．     

也谈一个不等式的证明及推广

本文对《一个猜想的否定及改进》一文给出的一个命题及其拓展进行了探究,同时给出该命题的另一种证法,并对命题及其拓展进行加权推广.     

一个条件不等式的另一推广

已知a，b〉0，a^3＋b^3=2，则a＋b≤2．对此流行不等式，文[1]作了推广：ai〉0，i=1，…，n,∑ni^m=a1^m＋…＋an^m=l（2≤m∈N），则∑ai≤（mn＋l-n）/m．现给出另一推广.     

一个不等式的另证与推广

《数学通报》2018年5月2425号问题提供的解答用到了幂平均不等式、均值不等式以及切比雪夫不等式,本文仅用均值不等式和柯西不等式给出它的一个另证与推广.     

柯西不等式的推广

本文推广了柯西不等式,并给出严格证明     

一个加强无理不等式的推广

笔者在拙文[1]中证明了如下无理不等式: 设a,b,c∈R ,n≥2, 则有∑n 1√(a/b c)n≥n 1/n 1√n(1) 等式成立当且仅当n=2且a=b=c.     

一个优美的不等式及其妙用

定理若x、y、a、b均为实数,且a>0,b>0,那么(x2)/(a)+(y2)/(b)≥((x+y)2)/(a+b)(※)等号成立当且仅当(x)/(a)=(y)/(b).证明不等式(bx-ay)2≥0显然成立,当且仅当(x)/(a)=(y)/(b)时取等号.     

分式不等式的又一证法

关于分式不等式的证明 ,人们已总结了不少方法 .本文利用柯西 (Ｃａｕｃｈｙ)不等式的一种变式再给出一种证法 ,这种证法常被人们所忽视 ,然而它在证明一类分式不等式时却十分凑效 ,现介绍如下 ,以供参考 .柯西不等式的变式　设ａｉ∈Ｒ ,ｂｉ∈Ｒ(ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,则　　　 ( ｎｉ=1ａｉｂｉ) 2 ≤ ( ｎｉ=1ａｉ) ( ｎｉ=1ａｉｂ2 ｉ) ,( )等号成立当且仅当ｂ1=ｂ2 =… =ｂｎ.由柯西不等式易知不等式 ( )成立 ,证明从略 .为书写方便 ,用 表示循环和 .例 1　已知ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ ,ｋ为常数 ,ｋ∈Ｒ ,求证 ｘｋｙ ｚ ｙｋｚ ｘ ｚｋｘ …     

一个不等式的多方位推广

《数学通报》2008年8月号问题1748如下： 供题者给出了比较巧妙的解答,但个人觉得比较不符合常规．观察不等式左边,容易猜此类型问题可以用柯西不等式进行求解,但由于分子的次数不是二次的,故可以考虑利用契比雪夫不等式先对其进行降次,从而得到证明．下面笔者给出问题的别证．     

柯西不等式的一个推广

我们知道柯西不等式的用法极广,但它的形式是二次的,对高于二次的形式却无公式．下面给出更为广泛的柯西不等式的一个推广公式：