一道几何题的引伸及应用

初中几何课本第二册第66页题9是:过△ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F及E,求证:AE:ED=2AF∶FB。不难将此题简单地引伸为:过△ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD所在直线分别交于点F及E,则AE∶ED=2AF∶FB,如图。     

一道习题的推广

1992年初二暑假作业第27页有这样一题:已知D为△ABC边AB的中点,E为AC边上的一点,AE=2CE,BE和CD相交于G,求证:BE=4GE。这道题和重心定理极其相似,重心定理是:已知D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,求证:E,CD相交于一点且BE=3GE。因此,我想AE=3CE,结果如何呢?更一般地,AE=nCF呢?于是得出下面的定理。定理1 已知D为△ABC边AB的中点,E为AC边上的一点,AE=nCE,BE和CD相交于G,则BE=(n+2)GE 证明:作AH∥EB交CD的延长线于N, ∴△CGE∽△CHA。     

关于三角形有关比例的两个定理及应用

定理1 △ABC中,AD是中线,F为AD上任一点、BF交AC于E,若AE(?)EC=m,则AF:FD=2m.证 过D作DG∥BE交AC于G(如图),则AF:FD=AE:EG.∵ D为BC中点,∴AF/FD=AE/((1/2)EC),即AF:FD=2m.定理2 △ABC中,D为BC上一点,E为AC上的一点,AD、BE交于点F,若AE:EC=m,CD:DB=n,则AF:FD=m(1 n).证明 过D作DG∥BE交AC于G(如图),则     

梅涅劳斯定理及其应用

(本讲适合初中)1梅氏定理及其逆定理1·1梅氏定理一条直线截△ABc的三边BC,CA,AB或其延长线于D,E,F,则刀DC五AF一.一-一二二._刀C石A FB=工。证法一(平三二*一‘/月BD_S△FBDDes全;ne’CE_S△cE,_S△cED石亘一s△丽蔽一亏乙而石,仁里=芝叠‘些迎土S全卫旦D=逻些卫卫少刀且S△人;:+S△人EDS△人;D,AF_S么人牙D尸丑S△二BD,BDDCCEEAAF_;乡石一人·行线成比例法) 如图1,过C作CK才AB,交FD于K,则1·2梅氏逆定理在△ABC的边B矶CA,AB或其延长线上分别取点D,刀,F.如果有BDDCCE AF刀AF刀“1,那么D,E,刀DDC_刀F…     

利用面积证题一例

84年在贵州参加全国数学竞赛的命题工作,会议期间曾讨论过一道问题: 设在△ABC中,D为BC的中点,G为重心,过G任作直线分别交AB、AC于E、F。设AE/AB=h,AF/AC=k,求证我们不想局限于就解决这一个问题,所以,先作一些推广,考虑一下,D为BC上任意一点,G为AD上任意一点,这时的结论是什么? 设BD/DC=λ_1/λ_2,λ_1+λ_2=1,AG/AD=t,我们断言有为了证明(2),我们借助于三角形的面积。设△AEG,△AGF,△ABC的面积分别为S_1,S_2,S。则由于△ABD的高与△ABC的高相同,而     

三角形的一个性质及其应用

定理 设P是△ABC所在平面上一点,AP,BP,CP分别与对边BC,CA,AB所在的直线交于D,E,F,则AP/PD=AE/EC AF/FB. 证明 如图1,因为△APC和△BPC有公共边CP,故S_(△APC)/S_(△BPC)=AF/FB,同理S_(△APB)/S_(△BPC)=AE/EC。 图1 ∴AE/EC AF/FB=S_(△APC)/S_(△BPC) S_(△ABC）/S_(△BPC)=(S_(△ABC)-S_(△BPC))/S_(△BPC)=(S_(△ABC)/S_(△BPC)-1)=AD/PD-1=AP/PD。 即AP/PD=AE/EC AF/FB。     

灵活转换轻松证题

题目如图1,过△ABC的顶点C作一条直线,与边AB及中线AD分别交于点F和点E,求证:(AE)/(ED)= (2AF)/(FB).这是一道好题.通过结论的灵活转换,可以获得该题的多种证法.下面介绍有关的思路.思路1.由(AE)/(ED)=(2AF)/(FB),得(AE)/(ED)=(AF)(1/2FB),所以关     

1981年第三期数学问题

1、已知AD是△ABC外接圆的直径,分别由B、C作AD的垂线,交AC、AB于E、F,求证:AB~3/AC~3=AE/AF。 2、已知两等圆O_1、O_2相互外切于P,且分别和边长为a、b、c的△ABC的∠B、∠C两边相切于D、G和E、F,求圆的半径。(以上两题,合肥八中周远鑫、合肥十五中余成培、合     

双管齐下、一箭双雕在几何证题中的妙用——从梅氏定理谈起

众所周知,梅氏(Menelaus)定理:一直线l截△ABC三边AB、AC、刀C或其延长线分别于D、E、F三点,如下图甲、乙,_._BF CEA刀侧{右孚认·舀币·斋云二1.州月Fc’EA一刀B一上’CG,AB昌令{①②③.今△F‘C。△FDB△GCE。△DAEBF刀B厂’C一GCCE‘CEA一AD/‘‘.沪l古t、l、;代B尸万’C、-之、rB乙二-~~~曰.人一----~~盏下C占L①·②得③·韶,CE DBEA一AD刀FFC CE AD’￡A’万B 甲‘ 其中直线l叫做梅氏直线,D、E、F叫做梅氏点,在证明时所作的辅助线叫做梅氏辅助线。 证明一:平移AB至CG处如图一甲、乙。刃~一一份r二、…     

一道竞赛题的引伸与演变

第七届加拿大笛卡尔数学竞赛中有这么一道题(本文在应用中称之为命题1)。命题1 设AD为△ABC的一条中线,引任一直线CEF交AD于E,交AB于F,求证: (AE)/(ED)=(2AF)/(FB)。它的证法很多,比较常用的有: (1)作DH∥CF交AB于H,由     

三角形内角平分线定理在几何题中的应用

1.证明线段成比例 例1 在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥C,∠ABC的平分线交AD于F,交AC于E,求证:DF:FA=AE:EC.(初中《几何》第二册总复习题18题)。 思路:如图1,由本题结论特点,可寻找第三个比:分别在△ABD和△ABC中应用三角形内角平分线定理,得DF/FA=BD/AB和AE/EC=AB/BC.如果BD/AB与AB/BC相等,问题即解决。由直角三角形比例中项定理可得AB~2=BD×BC,即BD/AB=AB/BC.     

30分钟智力冲浪

1.如图1,△ABC中,AB≠AC,△ADB与△AEC都是等边三角形(三边相等、三内角相等).那么,CD与BE是否相等?为什么?图1图22.已知,如图2,△ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,他们相交于点F,且BF=AC.在CE的延长线上取点G,使CG=AB.连接AF,AG.试说明AF⊥AG.3.已知,如图3,AD∥BC,DE∥BF,点E,F在AC上,AF=CE.你能说明AB与DC的位置关系吗?图3图4图54.已知,如图4,CF是正方形ABCD外角∠DCG的平分线,E是BC边上的一点,且AE⊥EF.你能说明AE与EF相等吗?(提示:正方形的四条边相等.设法找到分别以AE,EF为一边的两个三角形,并说明他…     

借助几何画板对一道平几题的探究

原题:已知锐角△ABC内接于圆O,如图1,设AB＞AC,点E在边BC上,连结AE并延长交劣弧(?)于点F,过E分别作边AB、AC的垂线,垂足分别是点G、H.连结FG、FH.求证:当AF经过圆心O时,S_(四边形AGFH)= S_(△ABC).     

一类有趣的连比题

应用九年义务教育三年制初级中学教科书几何第二册第264页题19:“过△ABC 的顶点 C 任作一直线,与边 AB 及中线AD 分别交于点 F 和 E.求证:AE:ED=2AF:FB”.(图1)可巧解一类连比题.     

“a^2=bc”型题的证明思路

首先介绍一个有关的常用图形:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D.由相似三角形易得CD2=AD·BD,AC2=AD·AB,BC2=BD·AB.练习1.在正方形ABCD中,AE=1/4AD,E在AD上.G是AB的中点,GF⊥EC,垂足为F.求证:GF2=CF·EF.(提示:连接EG,CG.通过证△AEG(?)△BGC,得     

三角形的一个特殊点集

众所周知,三角形有重心、垂心、内心、外心、旁心及费尔马点等特殊点,这里我们将介绍三角形的一个特殊点集。 定理1 以△ABC三边为底向形外（或形内）作三个相似等腰三角形ABD、BCE、CAF,则AE、BF、CD三线共点。（如图） 证明 分三种情况考虑,并设向形外作的三个相似等腰三角形的底角为α。 (1)当α趋于0时,则三个相似等腰三角形的顶点D、E、F分别趋于AB、BC、CA的中点,所以,当α=0时,D、E、F是AB、BC、CA的中点,由重心定理可知AE、BF、CD三线共点。 (2)当α趋于π/2时,则AD与BD、BE与CE、AF与CF趋于平行,则CD与AD、BD;BF与AF、CF;AE与BE、CE也各趋于平行。所以当α=π/2时,CD∥AD∥BD,BF∥AF∥CF,AE∥BE∥CE,(D、E、F为无穷远点)所以此时CD⊥AB、BF⊥AC、AE⊥BC,由垂心定理可知CD、BF、AE三线共点。     

条件过剩的“希望杯”赛题

第五届“希望杯”全国数学邀请赛初二决赛第三题1小题是:如图,五边形ABCDE中,AB一AE,BC DE一CD,艺BAE一艺BCD=1200,/ABC 乙AED-180。,连接AD,求证:AD平分匕CDE. 以下证明可见该题条件匕BAE一乙BCD一1200是多余的: 证明:延长CB到F,使 BF一刀E,连结AC、AF, 乙ABF一1 800一艺ABC一匕AED AB~AE.…△ABF里△AED(sAs) 艺F~艺ADE,AF一AD, 又.:CF一CB BF~CB DE一CD, AC一AC.:.△ACF望△ACD(555) 艺F一艺ADC.匕ADE一艺ADC. 即AD平分艺CDE. 刊在《中学数学研究》94年第10期上的解答中,为了利用匕BAE…     

梅氏定理及其应用

下面是初中几何课本第一册第235页第26题。已知:一直线截△ABC的边BC、CA、AB或其延长线于点D、E、F,求证:BD/DC·CE/EA·AF/FB=1     

几道平面几何赛题的关联

题1如图1，在△ABC中，AB＞AC，AD为∠A的平分线，①点E在△ABC内部，且EC⊥AD交AB于F，②ED∥AC．③求证：射线AE平分边BC．④     

广义梅涅劳斯定理

定理 在△ABC的边BC的延长线上及CA,AB上取点D,E,F,如AF/(FB)=λ_1,BD/(DC)=λ_2,CE/(EA)=λ_3,则 S_(△DEF)=|(λ_1λ_2λ_3-1)/((λ_1 1)(λ_2-1)(λ_3 1))|S_(△ABC)。 证明 ∵CD/(BC)