对一道竞赛题的再思考

课余小明解一道初中数学竞赛题:如图1,△ABC内有一点O,过O作各边的平行线,把△ABC分成三个三角形和三个平行四边形.若三个三角形的面积分别是1,1,2,求△ABC的面积.(2004,四川)他的解答过程如下:如图2,易知三个三角形与△ABC均相似.记△ABC的面积为S,则√S1√S √S2√S √√S S3     

对角线互相垂直的任意四边形性质的证明和应用

性质:对角线互相垂直的任意四边形性质的面积等于两条对角线乘积的一半.如图1:在四边形ABCD中,AC、BD是对角线,且AC⊥BD,垂足为P,则:四边形ABCD的面积=1/2AC×BD证明:因为AC⊥BD,所以S△ACD=1/2AC×DP,S△ACB=1/2AC×BP.因为四边形ABCD的面积=S△ACD+S△ACB.     

小学数学期末复习设计——六年制第九册面积的计算

一、复习面积公式 1.请同学们回忆一下,我们已学过了哪些基本图形的面积计算? 2.这些图形的面积计算公式是怎样的?学生口述教师板书: S长方形=ab S三形角=ah÷2 S正方形=a~2 S梯形=(a+b)h÷2 S平行四边形=a·h 3.想一想计算三角形、梯形面积时,为什么要     

例析压强公式p=F/S中S的计算

压强公式p=F/S中,F表示压力,压力表示垂直作用在物体表面上的力,着重理解“垂直”二字;S表示受力面积。正确理解受力面积是计算压强的关键。受力面积应包括四层含义：①受力面积S是直接承受压力的面积;②受力面积S是相互挤压的两物体直接接触的面积;③受力面积S不是物体的投影面积;④受力面积S是和压力互相垂直的面积。     

由课本例题,破解高考试题(高二、高三)

如图1,《立体几何》课本给出了: S△ABC·cosθ=S△BCD 推广,可得①若平面图形面积为S,其所在平面a与平面β所成二面角为θ,则此平面图形在平面β的射影面积S’=S·cosθ进一步地,图1 ②若圆锥(台)的侧面积为S,其母线与底面所成角为θ,则其侧面在底面的射影面积S’=Scosθ. 用此结论,求解空间角与面积问题,如:     

丰富多彩的平行四边形中面积

例1.如图1,P为平行四边形ABCD边上一点,E、F分别为PB、PC的中点,△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、S1、S2、若S=2,则S1+S2=＿＿. 解:连接BF ∵E是BP的中点, △PEF的面积S=2, ∴S△BEF =2.     

对一道习题错解的剖析

有这样一道题:已知外接圆半径为6的△ABC的边长是a、b、c,内角B、C和面积S满足条件: ①sinB sinC=4/3,②S=a2-(b-c)2 (1)求sinA (2)求△ABC的面积S的最大值. 为利于剖析,摘录解答过程如下:     

从一道美国数学赛题引出的一组几何定理及代数证法

第五届美国邀请赛有一试题是:如图1示,正方形S1、S2内接于直角△ABC,如果S1的面积是441,S2的面积是440,求:AC BC·在解题中笔者获得下面的数学信息:CD=AACC× BBCC.图1图2笔者还发现下面的试题,如图2示,在以AB为直径的半圆中,CD在AB为直径的半圆中,CD在AB上有一内接正方形CDEF,     

“圆和扇形的面积”复习课教学设计

一、圆的面积(一)复旧(检查、发现、补救)1、把圆过圆心分成若干等份,能拼成一个近似于( )的圆形.如果把圆等分得越多,拼成的图形就越接近于( ),其长相当于圆的( )的一半,用字母( )表示,其宽就是圆的( ),所以圆的面积S=( ).2、已知圆的半径r、直径d、周长c时,要求圆的面积S,各怎样求?即:S=( )S=( )S=( )3、环形面积S=( )(设计意图:由圆的面积公式推导到已知半径、直径、周长怎样求圆的面积和扇形面积,检查学生对新知识的学习掌握情况,发现问题以便补救.)     

p=F/S与p=ρgh不一样(初二)

1.p=F/S 这是压强的定义式,用于求固体、液体、气体的压强. p=ρgh一般只用于求密度均匀的液体内部压强. p=F/S的物理意义是:压强等于物体单位面积上受到的压力.在受力面积S一定时,压强p才跟压力F成正比;在压力F一定时,压强p才跟受力面积S成反比.不能笼统地说p与F成正比,p与S成反比.     

一道赛题的拓展与简证

题目:圆内接凸四边形 ABCD 的面积记为S,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,证明:(1)S=((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))~(1/2),其中 p:(a b c d)/2;(2)如果四边形 ABCD 同时具有外接圆和内切圆,则 S=abcd~(1/2).(2005年北京市高一赛题)本题可作如下拓展:定理:任意凸四边形 ABCD 的面积是 S=     

梯形面积与其内三角形面积之关系

图1所示,梯形ABCD中,AB//刀C,对计算中,数例。 例1这两个等式有着巧妙的应用,现举角线AC、BD相交于点O。设△AOB的面积为g,,△DOC的面积为S:,△AOD的面积为S。,梯渗姓刀C刀的面积为s,则有结右论:图乞所示凡/勺 1 .5。二、/S,·52; 2 .5钊召反王+召叉)’ 证明:显知,△BOC的面积也是S。. 二ODS。52 ’OB一51一S。 …:急一s,·52即s。一心盯‘了卜且二盗二(S,+52)=25。二2扩瓦舌{, :.5=s,十52十2扩乖奋二(召盯+斌瓦)’· 上述的二个等式是多么协调、美观.在一类有关梯形对角线所分得的三角形面积的梯形月刀CD的对角纹相交于0,…     

构造一元二次方程证明几何不等式

<正>近年来,在部分省、市中考试题中,时常出现一些有关几何不等式的证明题.证明这类问题的方法较多,本文拟介绍一种通过构造一元二次方程,运用根的判别式来证明的方法.现以部分试题为例说明如下:例1如图1,四边形DEFG是△ABC的一个内接矩形,设△ABC的面积为S,矩形DEFG的面积为S1.求证:S1≤S2.分析本题的关键是寻求联系两个面积的桥梁,可以先通过图形的相似等几何知识找到二者的关系式,然     

巧用构图法解题

[题目]如图1所示,AF=2FB,FD=2EF,直角三角形ABC的面积是36平方厘米,求平行四边形BCDE的面积。[一般解法]如图2所示,连接BD,设△FEB的面积为S,由FD=2EF可知,S△FBD=2S△FEB=2S。同理由AF=2FB可知,S△AFD=2S△FBD=4S,又S△BCD=S△DBE=S△FEB S△FBD=S 2S=3S,所以S△ABD=S△AFD S△FBD S△BCD=4S 2S 3S=9S。由直角三角形ABC的面积为36平方厘米可知,9S=36,则S=4。因为平行四边形BCDE的面积等于三角形BCD面积的2倍,即6S,所以平行四边形BCDE的面积为     

不可小觑的一道习题

在《数学第二册(下B)》第81页有这样一道习题:已知△ABC的面积为S,平面ABC与平面α所成的锐角为θ,△ABC在平面α内的正射影为△A′B′C′,其面积为S,求证:S′=S·cosθ.     

一道习题的探究、推广与应用

题目:如图1,任意四边形ABCD被两条对角线分成四个三角形:△OAD、△OBC、△OAB、△OCD,它们的面积分别是S1、S2、S3、S4,则S1·S2=S3·S4.证明:设△OAD边AO上的高为h1,△OAB边OA上的高为h2,则     

适时联想 合理迁移——谈定比分点坐标公式的应用

公式 x0 =x1+λx21 +λ 是解析几何中数轴上的定比分点坐标公式 .运用联想、类比的数学方法 ,可以用它来解决与之结构相似的多种数学问题 .下面从 4个方面例谈该公式在解题中的妙用 .1　在立体几何中的应用已知棱台上底面积为 S1,下底面积为 S2 ,过棱 AB上一点 P作截面与上底面平行 ,且APPB=λ (λ≠ -1 ) ,设截面的面积为 S0 ,那么S0 =S1+λ S21 +λ .证明 :如图 1 ,S1S0=ADPQ 1S2S0=BCPQ 2由 2得 :λ S2S0=λBCPQ 3由 1 3得 :S1+λ S2S0=AD +λBCPQ图 1图 2延长 BA、CD交于 E(如图 2 ) ,由△ AED∽△ PEQ可得AEAE +…     

一道课本例题引出的台体截面的几个有趣性质及应用

高中课本《立体几何》第64页例2:设棱台两底面积分别是 S,S~1.,它的中截面的面积是 S_0.求证:2(S_0(1/2))=S(1/2) S~1(1/2),这个结论对圆台也是成立的.我们仔细探究本题条件的变化,使中截面的位置发生改变,深入挖掘本例题的潜在功能,可得出台体截面的几个有趣性质.设台体上、下底面积分别为 S~1、S,与两底面平行的     

引入“电阻定律”的两个新实验

很多教师在进行“电阻定律”的教学时,都是按照教材中的实验方法进行推导的。做法是:①两金属电阻丝材料相同,横截面积相同,长度不同,分别为L,L/2,实验结果:R∝L;②两金属电阻丝材料相同,长度相同,横截面积不同,分别为S,2S,实验结果:R∝l/S。由此得出结论(板书):“在温度不变时,导体的电阻跟它的长度成正比,跟它的横截面积成反比,     

一道题的发现、探究、运用

题目:如图1在△ABC中,DE∥BC分别交AB、AC于D、E两点,过点E作EF∥AB交BC于点F,请按图示的数据计算.(1)求平行四边形DBEF的面积S,(2)求△EFC的面积S1,(3)求△ADE的面积S2,(4)发现的规律是什么?解:(1)S=BF×3=2×3=6.(2)S1=12CF×3=12×6×3=9.(3)因为:DE∥BC,EF∥AB.所以四边形DBFE是平行四边形所以DE=BF=2,所以∠ADE=∠ABC.因为∠A=∠A,所以△ADE~△ABC.