巧用字母妙解题

.化简求值所以a十1 27a 1 > 27a l 272a l例1化简解比压在 万原式-丫丁豆十了冗百 护而十护丽一x酒一y石一:，则x y即272000 1_27200， 1云丽砚丙户乏而不丙·x Zy xyZ xz yz _工 y一(x y)(xy z) 1 xy z l杯 拓一杯一杯.例2已知(x 刃，(y z)，(z十x)一4:6:8，求x:y:z的值.解设x y一4t，y z~6t，z 二一8t，以上三式相加，得x y z一gt. 3.分解因式例5分解因式: x‘十2006x2十2005x 2006.解设2006=a，则2005一a一1，原式一了 二“ (a一1)x a ~(x‘一x) a(x“ x l)一(xZ x 1)(x“一x a) =(xZ十x l)(xZ一x 2006). 4.解方程(组)例6解方程:所以即…     

解题要胸有目标——从一道题目的解法谈起

老师布置给初一(5)班同学一道题目: 求云正:四个连续自然数的积与1的和一定是一个完全平方数. 同学们设四个连续自然数为二,二十1,二一+2,二十3. 小梅的解法是乞 了(x+1)(x+2)(及+3)十1 一〔r“+了)(才“十5￡十6)十1 一‘x“+x)(x之+‘r+哇x+6)+1 ‘一(xZ+劣)“+(4x十6)(了2+x)+1. 无法做下去了. 小清的解法是: 了(工+1)(沈、+2)(工+3)+1 一了(2,+2)(沈·+1)(必+3)十1 一‘劣“十2了)(了2+4才十3)十i 一〔二2+4二一卜3一(2二十3)](,一“+4二+3)+1 一(了2十4x+3)’一(2主+3)(犷2+4x+3)+1. 到此,小清也做不下去了. 小华的解法是: x(x+1)(x+2…     

算术平均值代换法

例1.分解因式:(xZ一劣+15)(劣2一x一5)+51解令夕二忿念一劣十15+劣2一劣一5=劣名一劣+5.则原式=(夕+10)(夕一10)+51二夕2一49 =(军一7)(夕+7) =(劣一2)(劣+1)(劣2一2+12)。例,·求{劣‘+犷4”272’劣一歹二2的实数解. 解设:二宁,结合‘一;第1式化为(:2一9)(22+25)=o,=2,方程组士3.故得两组解:一2,一4;=4,=2。二X夕之了,、、例3.已知劣,+劣:十.)为实数。求证:==1,名2蕊劣万。劣护..、几+端‘专十十”·十吐(等式当且仅当::二‘二二劣.二告时成立,· ﹂贝1一扩 +1 .1 劣 一一解设劣‘…+:二二0.因此 十‘护全 劣 十I‘1 劣+:盖 . . .十名注 …     

一九八○年合肥市、淮南市中学生数学竞赛试题及参考解答

一、证明等式:ina。inZa。in3a=0.8对a为任何值都不成立 证明:‘.’。ina。in3q=士(eo、Za一eo、4a) 则。ina,inZ a oin3a=含、inZa(eo公Za一eo;4a) =去。云n4a一士。inZ a eoo4a<十+士=0.75 .’.,iu a oinZ a oin3a== 0.8对a为任何值都不成立1)一l)二、求证:(23一1)(23+1)(33一1)(3”+1)(43(4“+(n3一1)(刀3+1) 2:二一. 3”2+n+1刀(n+1)其中。是大于1的自然数证明:,.’(n+l),一(n+1)+1二nZ+儿+1.’.左式_(2一1)(3一1)(4一1)··一(n一1)(22+2+i)(32+3+z)一(2+1)(3+i)(4+i)……(n+l)(22一2+1)(3“一3+i)_]·2·3……(n一1)(2:+2+1)(32+3…     

如何求解有理分函数Y=a_1x~3+b_1x+c_1/a_2x~3+b_2x+c_2的极值

我们知道,求形如梦-a,xZ+乙,x+e,a Zx’+石Zx+cZ(a,,a:不同时为零)且函数定义域为a:工’+西2。‘2年。的实数的函数的极值,是用判别式刁方等实根的充要条件是(朱)2十法,通过求函数的值域,然后求得函数的极值的。例1求函数夕 xZ一x+1一‘xZ十x+1的极值.召1 Cl夕2 cZ欢】·】翻>。· 解:丫又少x任R都有扩+x十1>o,:.函数定义域R.去分母变形为(,一1)护一卜(;+1)x十刀一1二0当夕一1子。即夕铸1时,由x任R得① 刁解之得=(方+1)’一4(夕一z)’》0.告《万(3。当穿=1代入方程①得x二O任R.二函数召的值域为一登(万簇3.故函数的极值为穿。i。=合,…     

因式分解容易错(初二)

1.符号出错 例1分解因式一4m3+z6mZ一26m. 解原式-一Zm(2,2+sm一13). 2.系数出错 例2分解因式(2x十4)2一(护+Zx). 解原式一2(x十2)2一x(x+2) 一(x+2)(x十4). 3.指数出错 例3分解因式p3m一尸m. 解原式一尸,(尸3一1) 一尸‘(尸一1)(PZ+P+1). 4.有公因式不提 例4分解因式16一36护. 解原式一(4+6x)(4一6x). 5.提公因式不尽 例5分解因式4x一9护. 解原式一x(4一16xZ) 一x(2+4x)(2一4x). 6.书写结果不规范 例6分解因式(3a一4b)(7a一sb)+(1 la一12b)(7a一sb). 解原式一(7a一sb)·2·(7a一sb). 7.结果不是整式的积 例7分解因式a卜3+了.解原式一(去…     

初二“希望杯”训练题

L因式分解: (1)as十a+l; (2)(x+l)(x+3)(x+5)(x+7)+15; (3)2(xZ一sx+4)”+5(xZ十1)(xZ一sx+4)+2(xZ+l)2.2.黑是否一定可以表示成1 998个分母互不相同的真分数的和,并且每个真分数的分母不超过4 00。。。o?34.已知a+b+‘一O,试求 aZ .bZ二,二厂气一下一+二兀飞一下一一一乙a‘十口亡乙口“十aC+二二厂--万的值 乙‘--卜“D有1 998个互不相等的有理数,每1 997的和都是“分母为3 998的既约真分数”,求这1998个有理数的和.今天是星期日,若明天算第一天,问第1’+23+33十…+1 9983天是星期几?已知自然数m、、,在数轴上点登和点号哪个更靠近点…     

带余除法的妙用

例1.已知a“十a一1=O,求“”+Za“+的值. 解:应用长除法,得 as+2a2+3=(。+1)(aZ+a一1)+4=4. 仁,!2。n为自然数,求证3“’‘干“一s;一9是4的倍数. 证:、“l时,命题显然成立,应用长除: 32(凡+1)十2一8仁无+l)一9 =3 Zk+4一8孟一17 =9(32人千2一8无一9)+64(忌+1). 故只要厅“h时命题成立,则。=k十1时命题成立.20x一29 4x一5.解:由带余除法得,1、气“十乏玉二丁少=(不匕简: 32坑玉二16)一(5一价、)(5一互坛生‘).二百妥万而+蓬至万弓·3一一 一为 + 1ZX一3 1O解之得x二一二一 ‘巾.求函数了(·卜釜资备袱的极值.甫夕:f(x)二1- 7xZ+:十1二‘…     

若干数列前n项和公式的推导

一、2艺+4之+6“+…+(22,)2 2=了’‘(”+1)(Zn+l)·将n个等式相加,得(n+1)‘一1证明:22+4“+6之+…+(Zn)“ 二22·12+22一22+22一32+… +2 2.n2二4(1“+2“+…+n3)+6(12+2“+…+月2) +4(1+2+…+n)+n. 变形整理,得 4(13+23+33+…+几3)=22(1“+2“+3“+…+n“) 1=4’一百“(”+l)(2,‘+1)一(,+,)4一6·言、(。+l)(2·+,)誉。(。+‘,‘2“+‘,· 1一4’万”’L几+l)一‘几+l)二、1“+32+52+…+(Zn一1)息 1=下叫凡(4忍‘一1)。 J证明:i艺+32+5“+…+(Zn一1)“=(忍+1)略一刀(忍+1)(2九+1) 一2冷(龙+1)一(拜+1)=n“(n+1)之. 13+28+33+…+n3=〔…     

分式运算中的常见错误分析

一、错用分式的基本性质四、违背运算顺序 上。+。化简王__ la一乙画计算a+2 3a:(u+2)(z+2错解原式=‘了+2 3aa+2 3a原式二一{二。!只2几一。)·!0‘未一’0“ 分析乘法和除法是同级运算,谁在前面先算谁,上述解法错在没有按照运算顺序进行计算.正解原式=a+2 3a 1 11a十Za+2 3a2+6a分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘五、通分时去分母﹃乙解析一例一错分以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变”.而错解中分开乘以2,分母乘以10,错用了分式的基本性质.困计算厂。十a+乙,x 105(i+1()ba一10乙X 10 错解原式=bZ+(‘,+b)(。一b)= bZ+…     

求代数式值的几种常用方法

.1...J一、代入法代入计算是求代数式位的呆常用的方解:原式一l(a l))2一4a乡(a一b)2 4abL(a一b)a 乙 一一飞....J法,一般都是化简后,再代入求值=将求(a 乙)(a一乙)=aZ a一b(a b)2a一乃一一bZ卜例1已知创53,,4a乡\z、“一”十不侧_气“十占一刀 了5a=二2乙二一粤代入 ‘即求得原式的值飞7P qi一夕 一i一户为1. 有时利用分母有理化,往往可以简化运算过程. 例2已知:解:由_卫几很夕士旦- P十q”P qP=1’“F工十万一万-1“1,.工_生以二七q二=这里土玉迄_,. 亿3一了2’,’‘ xZ十xxZ一4x一5的值。(层一 韵’一(备一韵’十4一5.及十卫二士了…     

一个条件恒等式的应用

若a+b+c二0,则减 a3+占3+。3=3a阮(,) (‘)式的证明很简单.下面举例说明(二)式的神奇作用,或许对你有所启发. 了一、分解因式 例1分解因式:(xZ一3x+2)3+(尸-sx+6)3一8(xZ一4x+4)3. 解因(xZ一3x+2)+(xZ一sx+6)一2(xZ一4x+4)=0. 直接运用(二)式得: 原式=一6(xz一3x+2)(xz一sx+6)(xz一4x十4) =一6(x一1)(x一2)(x一2)(x一3)(x一2)2 =一6(x一1)(工一3)(x一2)4. 二、求值 例2已知3(a一6)+乃(6一。)+。一。=0(a笋b),求(a一占)2的值.解由已知得3(a一占)+招(占一。)+(。一a)=0,①(a一b)十(b一。)+《c一a)声0.②刀之n二二二6琳十儿二5mn 或2,3;一一…     

二次根式运算技巧浅析

又’:原式,小二于O, 原式=一了丁二一2。 三、利用题目本身中的内在因素,借劲于约分来提高运算速度 例4化简 、器氛书一群件欲吞原式二(了百一侧万) 一(丫a一、/乙‘’‘算言兴李火)l)心土一i一 不少二次根式的运算,如能注意运算技巧,往往可以事半功倍。下而列举一些例题,加以剖析:供参考. 一、刊用乘法公式简化运算过程 例1计算(了万+、/了+侧万一1)2 +(了一卜、/石卜1一侧万)2。解原式二以侧丁干侧万)一卜(了丁一1)〕2+ 一:一〔训丁+、/万一)一(侧丁一1)〕2 二2〔(训丁一卜、/石)2一卜(、/丁一1)’〕 =24卜8了了。 33 娜计算〔(4十、/此)…     

一道竞赛题引出好结果

第三届“缓云杯’,初灯级数学邀请终有一道判断正误的题: 了丽s石又igs7x lgssx 1989+z不是整数。 ()。 由了一丁又豆灭万灭j刃re=5. 进一步观察(叹N): 了n(,:+z)(。+2)(。十3)+1 ”了而2干息云丽林3,:+2)+i =了一肠“干3司“瘫(。“一卜息两千r =”2+3儿十1. 由此可得结论: 四个连续整数的积加1是个完全平方数. 由(解十3。十2)一(。“+3。)二2,我们提出猜想: 一个完全平方数当且仅当它可以表成相差为2的两数之积与l的和. 即:a(a+2)+]=(a+i)气 这个结论简单.有趣,易记.应用起来也很方便. 例1(1988年全国高考上海试题)方程4’一2‘+‘一8=。…     

巧用(a+b)/2≥(ab)~(1/2)(a>0、b>0)进行对数大小的比较

在对数函数教学中,常常遇到进行对数大小的比较之类问题.在解这类问题时若注意应用基本不等式0+b_.__才》澎石石一(a>6,b>0).常可收到化难为易之效。 二l 109。,+,,n·109(。;1)(”+2)<1即109:(。+l)>109佃+i)(。+2)‘二,由换底公式’。‘·‘·+‘,一‘。g告击例:试比较10923与10934的大小’ 解:…xog32一不奥飞>。.1093‘>0 Ju匕20109(。+,,(”+2)~1092 ”十1南10934109:3=10954·logaZ所以又有1os李击>los共 1’刀十i 若对数式含参数,则在比较大小时,现的一切可能情况分别加以讨论。 l ”+2’需对参数出由基本不等式“而、鲡、丛全奋9翅…     

分式通分的技巧

例l计算击+击+丽2+面4一霄8.解:原式=去+南+丽4一霄8=霄4+面4一霄8=霄8一_88=0二、先分组后通分例2计算jX-r击+击一击.解:原州击一击)+(击一i2)=面4一再4=丢杀.三、先拆项后通分例3化简孟而一丽6+高.解:原削去一击)一(去一六)+(击一鬲1)10. Ⅱ一)n—l 俨,Ⅱ+1 驴l叶l四、先变序后通分例4计算赢+南+1j而·解:原式。乏筝(面十二再y丽+南:一!I!兰!一-+一 _y(!!! + 兰!苎二1 2(z-y)(y呵)0叫)’@了)(y叶)(z叫)。(z了)(y-~)(z-x)一叫(烨)70叫)叶(％-y)一n (z一',)(y-:)(Z-X) 一五、约简后通分例5黼硒丽x3-1一了x2+2丁x+l+鬲x-1解:原式=研(x-l丽)…     

“整式的乘除”“平行线”达标自测题

一、填空题(每小题2分,共24分)i·计算一a,·a3一;a,.a,+,=2.计算(aZ)“=;(一2夕)”=3.计算2a4·4a=;(x3)卫·(xZ)“-4·计算(一4x,)(夕一x)一;(一6x。+,)5.用科学记数法表示一0.000 123三·Zx月一场一计算护一尸·护~;(一xZ)“令{一x勺计算(Za”一3)(l+a几}=8.计算2a’.卜冬口}2.(一4a)-一”,’一、2一/、---—-9.计算(12x4一16x3+8二z)二(一Zx)“=10·若3m一15,9。~4,则s二一,”=11.如图l,AE//D刀,之ODB=350,匕OBD一700,则乙OAC=,艺ECO一 .., 42‘,了‘厂酚图1l2如图2,11//l:,13土11,12、13、l。相交于同一点,且匕1~1380,则艺2 ,…     

特殊值法巧解三角选择题

1.化简。os6x+、106二+3sinZ二co,Zx得((C)一l(D)l 解1.从结论看,式子的值与x无关,从而可令二一。,原式一1,故选(D) 2.若:i,:夕+。05夕~甲厂了,则:in夕+,i,2夕+、in3夕+sin4夕一() (A)1+丫万.(行卜厂子(c)1(D)2 3.在△ABC中,二边长a、b、‘成等差数列,则tg2.经观察。一粤适合已知条件 任将夕一李代人可 生求得原式~1十侧厂丁,故选(A) 3.特别地,令a一b一。,可得原式~tg230。二选(A)Ac万’tg万~ (‘)音(C)32一3 B特殊值法巧解三角选择题@吕丁学$山东省莘县一中~~…     

一个不等式的推广

_~‘___.2匕知a、O、‘夕U,则下〔万二~十 口,~‘ 2c+Q.三卜a+b气击、.这是一个常见的不等式·本文将证明它的推广形式‘’‘· 引理设a‘>o(s二1,2,…,n),二(N,S二ai+a:+…+a.,则有不等式(”一1)s用》(s一a1)m十O一aZ).+…+(s一a。)二 证:对。用数学归纳法.当。=1时,左边二(ft一1)s,右边=(s一a,)+(卜aZ)+…十(卜a.)二(移一1):.命题成立.假设二=权>1)时命题戍立,即(。一1)s‘)(s一a,)‘+(:一a:)‘+…+(S‘u。)“.那么(。一1)s为+i=[(:一a:)而+…+(s一a.)‘]·,‘》(s一a,)寿+,+(S一a:)人+‘+…+(卜a,)k+1.故命题对任意自然数。都成立. …     

每期一题

题:已知:、:,是复数,且}‘卜1,‘正明:}r气周=‘。 !‘一:,】里一补丁不飞1万-证法一用复数的三角法证明’:}‘卜1,设z二coso+‘Sin。, 之x二了,(eoso;+15 ino,)s则了=eoso一fs ino。:.}一兰二乙一}=1。 11一名.考11(’:1‘1=1,证法四:.‘一乞=!:}“变换法(利少}」11,z=1)万之来证明){:一之,! i之一z, {1一“一‘,__}兰二兰、(,八一七之、一}二: !叉一2.21!}之Z一2.之1}i一‘“,{eos(一O:)=二}之一z:}训l+r一么一2::}}:一:、}了1+,一2一2,·leos(e一0:)(’:!:卜}:}价一i==l),12 一一 211之证法二用复数的代数法证明(2)1=1-2才=l自丁万五丁…