名画的启示

波洛丹诺夫&;#183;别列斯基是俄国著名的画家．他的名画《难题》上画的是一群学生围着一块黑板上的“难题”在抓耳挠腮地冥思苦想．这个难题是要求用口算很快地求出（10^2＋11^2＋12^2＋13^2＋14^2）&;#247;365的结果．     

乘法公式与名画《难题》

俄国画家波路丹洛夫·别列斯基的名画《难题》展示了一群学生围着黑板上的难题（10^2＋11^2＋12^2＋13^2＋14^2/365=？）各自思考时不同的神态．这道题也出现在了苏科版七年级上册数学教材第59页中,数学兴趣小组的组长小明决定“老题新做”,把它作为今天活动的第一题．     

2007欢迎您

1．将下式中各汉字换成30以内，且从小到大排列的7个自然数，使等式成立． 迎^2＋接^2＋二^2＋零^2＋零^2＋七^2＋年^2=2007．     

两道竞赛题的统一推广

1．2005年中国数学奥林匹克国家集训队测验（一）第6题：设a，b，f，d〉0，且abcd=1，求证：1/（1＋a）^2＋1/（1＋b）^2＋1/（1＋c）^2＋1/（1＋d）^2≥1.[编者按]     

江苏卷部分选择题、填空题的解法

7．若对于任意的实数x,有x^3=a0＋a1（x-2）＋a2（x-2）^2＋a3（x-2）^3,则a2的值为（ ）. A.3 B.6 C.9 D.12 解法1 由x^3＋a0＋a1（x-2）＋a2（x-2）^2＋a3（x-2）^3，比较两边x^3项的系数，得a3＋1，比较两边x^2项的系数，得a2＋1·3·（-2）=0，故a2=6，故选B.[第一段]     

巧配方求最值

我们熟知，对于任意实数α来说α^2是一个非负数，即α^2≥0，所以α^2就有最小值为0，对于一般情况α^2＋m显然有α^2＋m≥m（m为任意实数），即当α=0时代数式α^2＋m有最小值为m．运用这一性质，可以巧妙的解决一类竞赛题．     

向量的一个性质及应用

定理 在多边形A1A2…An中,^→A1A2＋^→A2A3＋…＋^→An-1An＋^→AnA1=0. 这是一个显然的结论，根据向量加法的意义即可证得．巧用这一结论，可解决一系列向量问题，现举例说明．     

例谈信息互动分析法之应用

例1：若0〈a〈1，0〈b〈1，求证：√a^2＋b^2 ＋√（1-a）^2＋b^2 ＋√a^2＋（1-b）^2 ＋√（1-a）^2＋（1-b）^2≥2√2.     

利用一元二次方程根的定义解题

若x1，x2是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的两根，则有ax1^2＋bx1＋c=0，ax2^2＋bx2＋c=0．反之，若ax1^2＋bx1＋c=0，ax2^2＋bx2＋c=0，且x1≠x2，则x1，x2是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的两根。     

多项展开式项数的计算

我们考察（a1＋a2＋a3）^n展开式中的项数，易见 （a1＋a2＋a3）^1=a1＋a2＋a3，其中共有3（即1＋2）项； （a1＋a2＋a3）^2=a1^2＋a2^2＋2a1a2＋2a1a3＋2a2a3，其中共有6（即1＋2＋3）项；     

逆代、构造巧用柯西不等式

柯西不等式是指：设a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn是两组实数，则有（a1b1＋a2b2＋…＋…anbn）^2≤（a1^2＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2），当且仅当这两组数对应成比例，即a1/b1=a2/b2=…=an/bn时等号成立，通常我们多用n=2或3时的形式。     

一元二次函数解题一例

先让我们欣赏如下的一个算术题：10^2＋11^2＋12^2＋13^2＋14^2/365=？ 这是一个很有趣的题目，出现在俄罗斯著名画家波格达若夫·贝尔斯基的一幅画中．画的名字叫《一道难题》．这幅画作于1895年，画中描绘的是当时著名的数学教授拉欣斯基正在给学生们上课的情景，呈现在课堂上的是上面的那个算术题．     

一道中考试题的引申

下面是2009年湖北省鄂州市的一道数学中考题： 为了求1＋2＋2^2＋2^3＋…＋2^2008的值,可令S=1＋2＋2^2＋2^3＋…＋2^2008,则2S=2＋2^2＋2^3＋2^4＋…＋2^2009,     

勾股数组的探讨

勾股数组是指满足勾股定理a^2＋b^2=c^2的数组（a，b，c），例如20^2＋21^2=29^2可以得到一组勾股数（20，21，29）．[第一段]     

帮你巧算方差

我们已经知道,方差是反映一组数据波动大小的基本量．其计算公式是s^2=1/n[（x1-x）^2＋（x2-x）^2＋…＋（xn-x）^2]。方差越大,数据的波动越大;     

通过一题多解拓展思路

一日，数学老师在黑板上写下这样一个题目：已知实数a，b，c满足a＋6＋c=6……① a^2＋b^2＋c^2=12……②，试证：a=b=c.[第一段]     

试用柯西不等式验证经典性错误的解法

完整的柯西不等式通常是在进入大学后才具体见识和应用的，是解决相关数学问题最常用的定理之一．它的一般形式为：对于任意实数ai，bi（i=1，2，…，n），有（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）^2≤（a^2＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2），其中当且仅当ai=kbi，即ai与bi（i=1，2，…，n）成比例时取到等号．     

巧用完全平方公式的变式求最值

一、两个变式 a^2＋b^2=1/2[（a＋b）^2＋（a-b）^2] （1） ab=1/4[（a＋b）^2＋（a-b）^2] （2）     

使用数学归纳法的易错点

易错点一：对假设设而不用 例1用数学归纳法证明：1^2＋2^2＋3^＋……n^2=1/6n（n＋1）（2n＋1）     

一堂课后的反思

在课本上我们用数学归纳法证明了等式1^2＋2^2＋3^2＋…＋n^2=n（n＋1）（2n＋1）/6．然而n（n＋1）（2n＋1）/6是怎样得来的？1^3＋2^3＋…＋n^3又等于多少？下面通过几种不同的思路进行考虑．记S1（n）=1＋2＋3＋…＋n,S2（n）=1^2＋2^2＋3^2＋…＋n^2,S3（n）=1^3＋2^3＋3^3＋…＋n^3.