关注基本图形 彰显数学素养

<正>一试题呈现（南京中考第24题）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D,E在BC上，BD=CE．过A,D,E三点作☉O，连结AO并延长，交BC于点F.(1)求证AF⊥BC;(2)若AB=10,BC=12,BD=2，求☉O的半径长．     

以点带面 巧思转化——一道数学中考压轴题的分析与思考

<正>一、试题呈现（2022年徐州市数学中考第28题）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=12，点P在边AB上，D,E分别为BC,PC的中点，连结DE．过点E作BC的垂线，与BC,AC分别交于点F,G两点．连结DG，交PC于点H.     

一道竞赛题的解法举隅

2008年全国初中数学联赛第二试第二题为：如图1,⊙O与⊙D相交于A、B两点,BC为⊙D的切线,点C在⊙O上,且AB=BC．     

全国部分省市1999年中考数学试题选讲综合题

1．(江苏省连云港市)如图1，△ABC中，BC=4，∠B=45&;#176;，AB=3√2，M、N分别为AB、AC上的点，MN／／BC，并设MN=x，△MNC的面积为S．     

由课本一道几何题引发的联想

九年义务教育四年制初级中学教科书第二册《几何》书中(人教版)第176页14题．已知：如图1在△ABC中，点E在AC上，且AE/EC=1/2,BE的中点是F，AF的延长线交BC于点D．求证：BD/DC=1/3.     

举一反三 一题多变

题目 已知：如图1，四边形ABCD中，AD／／BC，点E是CD的中点，连结AE，BE，AD BC=AB．求证：∠1=∠2，∠3=∠4．     

几何证明中的恒等变形

2008年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛解答题第14题为：例1如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，E为线段AB上的点，且满足AE=AD，BE=BC，过点E作EF∥BC交CD于点F，设P为线段CD上任意一点．     

数学问题与解答 2008年第10期问题解答

746．如图1，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内一点，点P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F，M是边BC的中点，N是AP与BC的交点，若PD^2=PE·PF，求证：∠BPM=∠CPN．     

点拨引路 激发思维——关于一道竞赛题的解法与变式题探究

’98全国初中数学竞赛第11题是：如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=1，∠A=90&;#176;，点E为腰AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE．求ΔCEF的面积．     

解析一道动态探究型题

题目：如图1，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°．EG=4cm，∠EGF=90°．O是△EFG斜边上的中点．[第一段]     

一道中考题的求解启示

例1如图1，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD-LBE，AD=BC．     

数学问题与解答 2006年第4期问题解答

671．如图1，△ABC的BC、AC边分别与它的内切圆I相切于D、E，DI交⊙I于另一点G，直线AG交BC于H，K为AH上的一点，HK=AG．证明：当且仅当B、K、E三点共线时，BC=BA．     

利用解三角形求线段长度

<正>解三角形,就是利用三角形的几个元素(三个角和三条边都是三角形的元素)求其他几个元素的过程,在解三角形时经常使用勾股定理、锐角三角函数、面积公式等定理与公式．下面分析几道解三角形求线段长度的例题,供同学们探究．例1如图1,在△ABC中,AB=AC=5,点D,E分别是线段BC,AC的中点,连接AD,点F在BC上,且BF=3,连接EF,如果AD=3,求EF的长．解析:为什么作:点E是AC的中点,D是BC的中点,AD=3?作法:作辅助线,如图1,过点E作EG⊥BC于点G,以此构建三角形中位线,然后解答．     

数学奥林匹克问题

本期问题 初189 如图1，在△ABC中，AB：BC：CA=3：5：4，⊙O1、⊙O2是两个互相外切的等圆，且都与边BC相切，其中，⊙O1，又与边AB相切，⊙O2又与边AC相切．已知直线O1O2分别交两圆于点P、Q，分别过点P、Q作BC的垂线，垂足为M、N.求证：NC=2BM．     

调和点列的妙用

1 调和点列的定义 对于一直线上排列的4点A，B，C，D构成的有向线段满足：AC·BD/AD·BC=-1，则称点C和D调和分割点A和B．记（AB，CD）=-1．     

三角形内切圆的两个重要性质

我们先看人民教育出版社2006年版教科书《数学》九年级上册第105页例2： 如图1（与原题图略有变化），△ABC的内切圆⊙O与BC．CA．AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF．BD．CE的长。     

谈谈黄金三角形

一、关于黄金分割如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果ACAB=图1BCAC,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.由于ACAB=BCAC可以写成AC2=AB·BC,所以黄金分割也可以说成是“点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的比例中项”.如果设AB=1,AC=x,则BC=1-x.于是　x2=1×(1-x),即　x2+x-1=0.∴x=-1±52.∵x>0,∴x=5-12≈0.618.∴AC=5-12,BC=1-5-12=3-52.我们可以在单位长的线段AB上作出黄金分割点.实际上就图2是要作出长为5-12的线段.作法如下(图2):1过点B作B…     

巧构平行四边形妙解几何题

<正>在解决某些几何问题时，我们若能巧妙地构造出平行四边形，则会收到意想不到的效果．现分类举例说明，与大家分享．一、探究线段倍分关系在探究线段倍分、和差等等量关系，且题中出现三角形中线时，我们可以倍长中线构造平行四边形，为全等创造条件．例1如图1，在等边?ABC中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），过点D在BC的另一侧作∠BDE=120°，且CD=DE,F是线段BE的中点，连结DF,CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并加以证明．     

动点问题三例

例1如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点D是BC的中点,DE⊥BC交边AC于点E,点P在射线AB上运动,点Q在AC上运动,且∠PDQ=90°．     

关于三角形内心、外心连线的一个性质——一个数学问题的拓广

2011年第2期《数学教学》第811号问题： 在△ABC中，AB〉BC〉CA，点E、F分别在AB、BC上，满足AE=CF=AC，点O、I分别为△ABC的外心、内心．已知EF⊥BC．求证OI//BC． 通过探究，我们发现了该问题的拓广，并给出一个解析法的证明：