二次根式解题中的常见错误剖析

同学们在学习二次根式时,常会犯一些错误,现举例说明,供同学们参考. 1.化简x3+2x2y+xy2√. 错解:原式=x(x+y)2√=x+yx√. 分析:答案中根号外的x+y是一个整体,必须加括号. 正解:原式=x(x+y)2√=(x+y)x√. 2.把式子x-1x√中根号外的因式适当变形后移到根号内,并使原式的值不变. 错解:原式=x2√·-1x√=-x√. 分析:由公式a=a2√(a≥0)知,根号外的负因式要移进根号内且保持原式的值不变时,需在根号外添加一负号.如-4=-(-4)2√. 正解:由题意可知-1x>0,∴x<0. ∴原式=--x-1x√=-(-x2-1x √=--x√. 3.计算2√÷3√…     

二次根式大小的比较

比较两个二次根式的大小,是八年级代数的重要内容之一,若不许查表,可采用以下方法进行比较. 一、因式法(将根号外的部分移入根号内)例1 比较76√和85√的大小. 解:76√=294√,85√=320√,∵294√<320√,∴76√<85√.二、作差比较法例2比较23√-7√和7√-3√的大小.解:∵(23√-7√)-(7√-3√)=33√-27√=27√-28√<0,∴23√-7√<7√-3√.三、作商比较法例3比较π√和3π√的大小.解:∵π√÷3π√=π3>1,∴π√>3π√.四、平方比较法例4比较11√+13√2和12√的大小.解:11√+13√2>0,12√>0,将11√+13√2和12√分别平方,得11√+13√2 2…     

构造方程妙求勾股数

近年来,各地中考数学出现了有关直角三角形勾股数的试题.这类题构思精巧,条件隐含,但只要认真观察,仔细分析,根据已知条件与题目结构特征,充分挖掘其隐含条件,探索问题规律,构造方程,就能使问题轻松解答.一、探求数字规律问题例1(安徽试题)观察一组式子:32 42=52,52 122=132,72 242=252,92 402=412…,猜想一下,第n个式子是.【分析】本题给出的每个式子的三个数都是学生非常熟悉的勾股数,要求学生细心观察,分析每个等式的特点,比较每个等式三个数字之间的彼此关系,探求数字规律.主要考察学生的分析、归纳、推理和类比能力.解法一:每组第一个…     

根号中的奥妙

初中代数课本中,有这样一道题目:请同学们判断下列各式是否成立:(1)232!=232!;(2)383!=383!;(3)4145!=4145!;(4)332!=332!.经过计算可知,(1),(2),(3)式是成立的,(4)式是不成立的.这说明在二次根式的化简运算中要特别注意,根号里面的数是不能轻易地放到根号外面来的.细心的同学可能会想,什么情况下根号里面的数能放到根号外面来呢?(1),(2),(3)三式的成立仅仅是巧合吗?其中会有什么规律呢?我们来分析一下前三个式子的运算过程:232!=2×33+2!=38!=232!;383!=3×88+3!=287!=383!;4145!=4×1155+4!=1654!=4145!.通过把带分数化成假分数运算和分子…     

用换元法解方程

初中数学试题常常有解方程(组)的类型,这类方程通常含有根式或分式。若平方去根号或去分母都会产生高次方程,很难解决。对这类方程,一定要认真观察,看看有没有一元二次方程的背景,然后用换元法来解。今以全国各地初中毕业、升学考试数学试题为例来说明。例1.解方程x2x2-3x+5√+3x+1=3x+1分析x2-3x-1-x2-3x+5√=0观察发现根号内的(x2-3x)项是有的,移项后再添上5即可。解:原方程可化为x2-3x+5-x2-3x+5√-6=0令x2-3x+5√=y,则有y2-y-6=0解得y1=-2,y2=3当y1=-2时,x2-3x+5√=-2,此方程无解。当y1=3时,x2-3x+5√=3,解这个方程得x1=4,x2=-1。经检验…     

解数学选择题五法

由于选择题事先给出一些结论 ,这一点类似于证明题 ,但又没有明显的结论 ,解答时就不一定用常规的直接求解法 ,而可以对条件和几个结论进行观察和分析 ,发现其特殊的数量关系和图表位置的特征 ,应用所学知识 ,作出正确的选择。方法一 :求解对照法从题目的条件出发 ,通过正确的运算或推理 ,直接示得结论 ,再与选择题对照来确定选择题。例 1.把式子 m - 2 0 0 3m 中根号外的 m移到根号内 ,结果是 (　　 )。(A) 2 0 0 3m ;　　　　 (B) - 2 0 0 3m ;(C) - - 2 0 0 3m;(D) - 2 0 0 3m。分析 :把 m移进根号内时 ,需要考虑 m的符号 ,但题中没有…     

观察·实验·猜想

数学是思维科学,也是实验科学.数学中的推理,不仅包含分析、综合、抽象、概括等演绎推理方式,而且包括观察、实验、归纳、猜想、调整等合情推理方式.近年的中考命题常常以此来作为考查学生数学探索能力和创新能力的好题材.下面举例说明.例1(2003年福州市)观察下列各式:1×3=12+2×1,2×4=22+2×2,3×5=32+2×3,…请你将猜想到的规律用自然数n(n≥1)表示出来:.解观察、比较所给已知等式:不难得到上述等式中所体现的规律是n(n+2)=n2+2n.说明:由特殊到一般的过程是人们认识事物的一般规律,而观察、发现、归纳是得出结论、发现数学规律最常用的…     

巧求代数式的值

每年的中考与竞赛都有代数式求值这类题,并且这些题的解法各异,灵活多样.解这类题,若能抓住题目的特点,巧妙代入,就可达到事半功倍的效果.一、直接代入求值例1已知x=2-3√,求2-x(7+43√)x2-(2+3√)x+3√的值.解:把x=2-3√代入,得原式=2-(2-3√)(7+43√)(2-3√)2-(2+3√)(2-3√)+3√=3√(7+43√)(7-43√)-(2+3√)(2-3√)+3√=3√1-1+3√=1.二、先化简,后代入求值例2已知x=2√+2,求x3x-1-x2-x-1的值.解:原式=x3-(x-1)(x2+x+1)x-1=x3-(x3-1)x-1=1x-1.当x=2√+2时,原式=12√+2-1=12√+1=2√-1.三、先代值,后化简求值例3已知x=3√,y=2,那么代数式…     

勇于探索，善于归纳

探索型试题是中考的热点题型,近年来的中考试题有计数问题的探索,数式规律的探索,以及条件探索问题,结论探索问题和存在性问题.因此,有必要在初中教学课堂中,加强“探索规律型”问题数学,通过它培养学生的归纳、类比、猜想、逻辑思维创造能力,挖掘学生潜能.1数字类此类问题首先要认真审题,通过横向或竖向,找出式子的规律.找规律时要积极猜想.例1(河南)观察下面一列数的规律并填空:0,3,8,15,24,…,则它的第2002个数是____.分析将已知的一列数与下面一列数:21,22222,3,4,5,…进行比较,能发现什么规律?不难发现第n个数21nan=-.从而第2002年数是…     

考察特例 探求规律——中考中探求规律题的分类及解法

~~~不等号的右边是这两个数乘积的2倍,应是2ab郾故反映这种规律的一般结论是a2+b2≥2ab郾例5考查下列式子,归纳规律并填空:1=(-1)2×1;1-3=(-1)3×2;1-3+5=(-1)4×3……1-3+5-7+…+(-1)n+1×(2n-1)=郾(2002年广东省佛山市中考题)分析本题的关键是确定-1的指数,通过观察可知,第n个式子等号右边-1的指数是n+1,故横线处应填(-1)n+1·n郾例6观察下列各式:21×2=21+2,32×3=32+3,43×4=43+4,54×5=54+5……想一想,什么样的两数之积等于这两数之和?设n表示正整数,用关于n的等式表示这个规律为×=+郾(2002年北京市西城区中考题)分析等号左边是两个…     

巧求代数式的值

在初中数学考试中,常常有一类求代数式的值的问题。由于代数式中含有字母,往往只给出字母的值或字母关系式等条件。这类问题若采用直接把条件代入的方法来解则较繁琐,有时甚至无法找到代入的突破口。那么如何巧妙地解决这类问题呢?现精选几道试题来说明。例1.当a=12+3√时,求1-2a+a2a-1-a2-2a+1√a2-a的值。(河北省数学试题)分析:如果把a的值直接代入式子计算是很麻烦的:又由于a2-2a+1=(a-1)2,开根号时要知道a-1的正负,因此必须对a的值和式子都进行化简。解:a=12+3√=2-3√<1.∴a-1<0原式=(a-1)2a-1-(a-1)2√a(a-1)=a-1--(a-1)a(a-1)=a-1+1a…     

学好“二次根式”要点

二次根式是初中阶段必须掌握的基础知识之一,学习这部分内容应注意以下几个要点:一、根号里面代数式的取值必须使式子有意义。如在式子1-x x-1中,应有1-x≥0且x-1≥0,即x≤1且x≥1,因此x只有取1式子才有意义。二、化简二次根式的结果应是非负数。二次根式是一个非负数,在化简二次根式时,必须正确运用公式a2=|a|=a(a≥0)-a(a<0)确定符号。如当m相似文献   

第四章 探寻规律

解此类题目要有较好的观察力和归纳、表述能力才行 .规律的观察角度虽然呈多样化 ,但常见的只有两种 :一是数字间的大小关系 ,二是式子间的结构特征 ,或者二者兼而有之 .从技巧上讲可将题目中的式子竖排 ,这样便于我们发现其中的联系进而找到规律 .另外有两点值得我们注意 :一是用数学符号表述某一规律时应尽量用字母不要多用数字和文字 ;二是找到规律后应代入适当的数字进行验证或换一个角度重新观察以对比 .一、例题解析例 1　下面由火柴棒拼出的一列图形中 ,第 n个图形由 n个正方形组成 .通过观察图 2 - 4- 1可以发现 :( 1)第 4个图形中…     

对一道中考题的探究

<正>内蒙古赤峰市曾有一道中考题如下:观察一组式子:3²+42+4²=52=5²,52,5²+122+12²=132=13²,72,7²+242+24²=252=25²,92,9²+402+40²=412=41²,…猜想一下第n个式子是.一、解法探究观察所给的四个式子___,它们都满足a2,…猜想一下第n个式子是.一、解法探究观察所给的四个式子___,它们都满足a²+b2+b²=c2=c²,我们知道满足a2,我们知道满足a²+b2+b²=c2=c²的正整数a、b、c叫勾股数.其中,第一个数为奇数,最大的数与较大的数差为1.     

数学竞赛中多层根号根式的化简

数学竞赛中常常会遇到含有多层根号的根式 .一般的说 ,这类根式都能通过化简最终化为单一根号的根式或不带根号的式子 .一、多层二次根式的化简化简含有多层二次根号的根式 ,一般有两种思路 :(一 )对根号下的式子进行配方 ,变为完全开方式如果是 a± 2 b的形式 ,设法找到两个有理数 x、y,使 x + y =a,xy =b,则a± 2 b =( x + y)± 2 xy =( x ) 2± 2 xy + ( y ) 2 =( x± y ) 2 =| x± y | ( x >y >0 )如果是 a± b的形式 ,可如下变形a± b =2 a± 2 b2= 2 a± 2 b2再用上述方法化简 .比如 ,化简 ( 1) 3+ 2 2 ;( 2 ) 2 - 3.解 :( 1)原式 =( …     

数学猜想探索题例析

数学猜想探索题,即由题设条件,如有规律的算式、图形、图表等,先从简单情况或特殊情况入手,进行观察归纳,大胆猜想探索,得出结论,再加以论证的探索性问题。近年来,数学猜想探索题倍受中考命题者的青睐,成为中考的一大热点问题。以下举例分析,供同学们参考。例1观察下列各式:2×4=32-1;3×5=42-1;4×6=52-1;…;10×12=112-1;…。将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来:________________。解析观察等式,可发现规律:等式左边是两个连续偶(或奇)数的积,右边是夹在这两个连续偶(或奇)数中间的奇(或偶)数的平方与1的差。故n(n+2)=(n+1)2-1…     

常用的六种换元方法

一、整体换元法例1计算20+142√3√+20-142√3√.解:设20+142√3√+20-142√3√=x,两边立方,得20+142√+20-142√+3202-(142√)3√2(20+142√3√+20-142√√)=x3,∴x3-6x-40=0,∴(x-4)(x2+4x+10)=0.∵x2+4x+10=(x+2)2+6>0,∴x-4=0,∴x=4.故20+142√3√+20-142√3√=4.二、局部换元法例2解方程5x2+x-x5x2-1√-2=0.解:设y=5x2-1√,则原方程可化为y2+x-xy-1=0,∴(y-1)(y-x+1)=0,解得y=1或y=x-1.当y=1时,5x2-1√=1,解得x1,2=±10√5;当y=x-1时,5x2-1√=x-1,解得x3=12,x4=-1,经检验,x3=12,x4=-1是增根.故原方程的根是x1,2=±10√5.三、常值换元法…     

根式化简的技巧

一、运用乘法公式例1化简x+2xy√+yx√+y√.分析:此题若分母有理化,较复杂,如运用完全平方公式先将分子分解,则非常简便.解:原式=(x√+y√)2x√+y√=x√+y√.二、运用乘法法则例2化简(3√+2√)1996·(3√-2√)1997.分析:本题逆用乘法法则中的同底数幂的乘法公式,可巧妙获解.解:原式=(3√+2√)1996·(3√-2√)1996·(3√-2√)=〔(3√+2√)·(3√-2√)〕1996·(3√-2√)=3√-2√.三、字母待定法例3化简7-48√√.分析:若化简此题,需把7-48√写成a2的形式,就可开方出来.解:设7-48√√=x√-y√,x>y>0.两边平方,得7-212√=x+y-2xy√,根据上式,得x+…     

规律探索问题(初一、初二、初三)

1.从数字特征中探索规律例1 观察下面一列数的规律并填空:0,3,8,15,24,…,则它的第2002个数是__. 分析首先从题中所给的一组数中发现第n个数为n2-1这一规律,然后求出当n=2002时n2-1的值. 答案:4008003.     

抓无理数特点巧明概念内涵

一、抓定义无理数的定义是无限不循环小数 ,它有两层意思 :(1)无限小数 ;(2 )不循环。二者缺一不可。有些无理数 (不是全部 )表现为带根号的数 (如 2、 3等 ) ,但带根号的数不一定是无理数 ,关键要看这个带根号的数最终结果是不是无限不循环小数。如9=3,19=13=0 .3· ,虽然形式上带根号或是无限小数 ,但都是有理数。无限小数与无理数是整体与部分的关系。例 1.判断下面的说法是否正确 ?如果不正确 ,举例说明。(1)无限小数都是无理数 ;(2 )无理数都是无限小数 ;(3)带根号的数都是无理数。思路分析 :从无限小数与无理数的关系以及无理数概念的…