k阶等差数列的求和法则

ｋ阶等差数列的求和法则江苏省新沂市教师进修学校贾玉友六年制重点中学代数课本第二册Ｐ．７７第１５题的第一小题为：用数学归纳法证明１×２×３＋２×３×４＋３×４×５＋…＋ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）＝１４ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）．通过观察，很容易发现，...     

阅读 观察 猜想 归纳

近年来，在中考试卷中经常出现一种“阅读理解———猜想归纳”型的试题．这类题目主要考查学生对数学材料的理解、接受及加工处理能力，运用数学知识分析和解决实际问题的能力．本文选取近年来的典型试题加以分析．例1（湖北省黄冈市，２０００年）已知：１＋３＝４＝２２，１＋３＋５＝９＝３２，１＋３＋５＋７＝１６＝４２，１＋３＋５＋７＋９＝２５＝５２，……根据前面各式的规律，可猜测：１＋３＋５＋７＋……＋（２n＋１）＝（其中n为自然数）．解１＋３＋５＋７＋…＋（２n＋１）＝（n＋１）２．例2（山东省济南市，２０００年）…     

有趣的1995

有趣的１９９５金戈一、问：１）１９９５１９９５的末位数是几？２）１９９３１９９５的末位数是几？３）１９９５１９９５末两位数是几’解：１）因为５×５—２５，故末位数是５的整数的任一正整次暴的末位数总是５。所以１９９５１９９５的末位数是５。２）．３×３＝...     

你出现过这样的错误吗

例１计算（１）a１２÷a４；（２）x３n＋４÷x３n＋１．错解：（１）a１２÷a４＝a３；（２）x３n＋４÷x３n＋１＝x３n＋４－３n＋１＝x５．剖析：同底数幂相除的法则是“底数不变，指数相减”．（１）式的计算中，错把“指数相减”变成了“指数相除”；（２）式的计算中，法则虽没有用错，但在３n＋１的外面没有加上括号，导致符号错误，正确答案是：（１）a８；（２）x３．例２计算：（－２x）４÷（－４x）３错解：（－２x）４÷（－４x）３＝犤（－２）÷（－４）犦·x４－３＝１２x．剖析：－２和－４是括号内单项式的系数，可将（－…     

一题多变 拓展思维

“一题多变”是启迪思维，训练思维灵活性和深刻性，提高解题能力的常用方法．下面以一道代数题为例进行“一题多变”．例把ｘ２－２ｘ－１５分解因式（初二代数Ｐ３５）．解原式＝（ｘ－５）（ｘ＋３）．就这么一道简单的例题，可以从下面几个方面来变：１．改变字母的指数．把二次项ｘ２变成ｘ４或ｘ６，则一次项ｘ相应地就要变成ｘ２或ｘ３．（１）ｘ４－２ｘ２－１５；（２）ｘ６－２ｘ３－１５．解（１）原式＝（ｘ２－５）（ｘ２＋３）．（２）原式＝（ｘ３－５）（ｘ３＋３）．２．改变字母的个数．把一个字母Ｘ变成两个字母ｃｙ或更…     

沟通知识联系 拓宽解题思路

按比例分配应用题的解法是把总数量按一定的比求出各部分量是多少。如：水果店运来桔子、苹果共９６筐,桔子与苹果筐数的比是３∶５。求桔子、苹果各多少筐？用按比例分配的方法可以这样解答：３＋５＝８;９６×３／８＝３６（筐）;９６×５／８＝６０（筐）。如果把题变为：（１）水果店运来一批水果,桔子与苹果筐数的比是３∶５。已知有苹果６０筐,桔子有多少筐？（２）水果店运来一批水果,桔子与苹果筐数的比是３∶５。苹果比桔子多２４筐,桔子有多少筐？多数学生的解法是：题（１）３＋５＝８,６０÷５／８×３／８＝６０×８／…     

因式分解的几种巧解方法

一、巧选主字母例１分解因式ｘ３－ａｘ２－２ａｘ＋ａ２－１．解：这是一个关于ｘ的三次式,不易分解．若选ａ为主字母,则是ａ的二次式,便于分解,原式＝ａ２－（ｘ２＋２ｘ）ａ＋（ｘ３－１）＝（ａ－ｘ＋１）（ａ－ｘ２－ｘ－１）＝（ｘ－ａ－１）（ｘ２＋ｘ－ａ＋１）．二、探求相除法例２分解因式３ｘ３＋２ｘ２＋４ｘ＋５．解：当ｘ＝－１时,原式＝０,因此原式必有因式ｘ＋１,用综合除法可得（３ｘ３＋２ｘ２＋４ｘ＋５）÷（ｘ＋１）＝３ｘ２－ｘ＋５,∴原式＝（ｘ＋１）（３ｘ２－ｘ＋５）．三、待定系数法例３分解因式…     

怎样速求“连比”比值

我们把形如ｎ１：ｎ２：ｎ３（ｎ为一物理量）的比叫做连比．在“全国统编”九年义务教育三年制初中物理第一册第１１８页和近几年中考以及初中物理竞赛中常有求连比比值的问题，而有的“试题”的答案繁琐，有些同学对上述问题感到“困惑”，为此本文介绍简单易行的方法如下；例１有三个用相同材料制成的圆柱体，高度相同．它们的质量之比为ｍ１：ｍ２：ｍ３＝２：３：５，把它们竖直放置在水平面上，则水平面上受到的压强之比ｐ１：ｐ２：ｐ３是（）Ａ．２：３：５；Ｂ．５：３：２１Ｃ．１：１：１；Ｄ．１５：１０：６．（’８９南京市初…     

一个有趣的代数式

“m个球队进行单循环比赛，总共比赛场数可用代数式m（m－１）２计算．”这个式子是怎样得来的？所谓“单循环比赛”，比如５个球队进行比赛，其中的任何一个队都要与其它４个球队分别比赛，既不轮空又只比赛一场.如果我们把５个球队依次编号为１，２，３，４，５则第１号球队与其余４个球队各赛一场，共５－１＝４场；第２号球队，由于已与第１号球队赛过了，只需与第３，４，５号球队各赛一场，即５－２＝３场；第３号球队，已与第１、２号球队都赛过了，只需再与第４，５号球队各赛一场，即５－３＝２场；同理，剩下的第４、５球队还需比…     

一道因式分解题的多种解法

分解因式：ｘ３－６ｘ２＋１１ｘ－６对于这样的三次四项式，既无公因式可提取，又不能用公式法、十字相乘法或分组分解法分解因式．因此，必须将它的某一项（常数项、一次项、二次项或三次项）拆成两项，然后用分组分解法分解因式．拆项分组的目的是使各组可分别用公式法、提公因式法或十字相乘法分解因式．一、拆常数项解１原式＝（ｘ３－１）－（６ｘ２－１１ｘ＋５）＝（ｘ－１）（ｘ２＋ｘ＋１）－（６ｘ－５）（ｘ－１）＝（ｘ－１）（ｘ２－５ｘ＋６）＝（ｘ－１）（ｘ－２）（ｘ－３）．解２原式＝（ｘ３－８）－（６ｘ２－１１ｘ－…     

因式分解思想的巧用

一、用于化简求值例１当ｘ＝２时,求代数式ｘ＋３ｘ２－１·ｘ２－２ｘ＋１ｘ２＋２ｘ－３的值。解：原式＝ｘ＋３（ｘ＋１）（ｘ－１）·（ｘ－１）２（ｘ＋３）（ｘ－１）＝１ｘ＋１。当ｘ＝２时,原式＝１２＋１＝１３。二、用于方程组例２方程组ｘ＋ｙ＝５ｘ２－ｙ２＝１５的实数解共有（　　）（Ａ）０组;　（Ｂ）１组;（Ｃ）２组;　（Ｄ）４组。解：∵ｘ２－ｙ２＝１５,（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）＝１５,又ｘ＋ｙ＝５,∴ｘ－ｙ＝３,从而原方程组可转化为ｘ＋ｙ＝５ｘ－ｙ＝３解之得ｘ＝４ｙ＝１∴应选（Ｂ）。三、用于确定待定…     

根据“相差关系”找规律

“盈亏”问题应用题，如按一般的思路分析，很难找到合适的解题方法。若根据题中的“相差”关系，往往可以发现这类题的解题规律。例１把铅笔分给若干个学生，若每人分３支则余７支；若每人分５支则少９支。问铅笔有多少支？学生有多少人？解：因为每个学生多给铅笔５－３＝２（支），铅笔总数相差７＋９＝１６（支）。所以学生人数１６÷２＝８人，铅笔支数为３×８＋７＝３１（支）或５×８－９＝３１（支）。规律一：有余加不足，除以每人分物之差，得人数。例２有练习本若干，分给许多学生，若每人分８本则差１０５本；若每人分５本则差…     

并不仅仅是粗心——小学生计算错误的原因及纠正

小学生计算中发生各种错误的原因大致可以分为三种情况。一、口算错误口算错误是指由于基本口算不熟练而造成的计算错误。这种错误大量反映在计算的各个环节中。０．９３２３．５２２１６７２７２０（２３５－２１６计算错误）２４如：二、方法错误方法错误主要包括三方面：１．计算法则错误如：（１）１８００５－７５６１６１４９３６５４×１４４１５３１６７４（２）３２．４５．５×１６２０１６２０１７．８２０（３）（１）是对退位减法的认识模糊，以为被减数的十位、百位都是“０”，“借”了两次，就是从千位上“借”走了“２”。…     

无解的无理方程

有些无理方程，无需作出解答，可根据题目本身特点及有关性质，直接判断出解的情况，简捷而新颖．举例如下．一、根据算术根的概念判断例１解方程（１）２x２－３x＋２√＋２＝０；（２）３－x√＝x－５．解：（１）移项，得２x２－３x＋２√＝－２，∵２x２－３x＋２√≥０，∴原方程无解．（２）由３－x√≥０，x≤３，x－５＜０，x－５＜０，∴原方程无解．二、根据未知数的取值范围判断例２解方程x－５√＋２＋x√＝２．解：∵x－５≥０，２－x≥０ ∴x≥５，x≤２ ∴不等式组无解，即根式x－５√和２－x√同时有意义的x的值不存在…     

一道考察综合分析能力的好题

题目：如图１所承，是一种调温型电热毯的电路图，其额定电压为 ２２０ Ｖ．这种电热毯是利用两组电阻相同的电热丝，采用平行相隔的布线方式缝置在底布上，通过开关改变电热丝的连接方式，从而改变功率达到调温的目的．图中虚线框内是三刀五位滑动式功率转换开关，三个滑片只能同时位于图中“１”、“２”、“３”、“４”、“５”中的某一位置．求：（１）若开关位于“２”时，电热毯的额定功率为 ２００ Ｗ，则每组电热丝的电阻是多大？（２）开关位于位置几时，电热毯通电发热功率最小？其值是多少？（３）当开关位于位置“３”时，电热…     

不等式(组)类中考题解法示范

不等式（组）问题是中考必考题型之一．下面通过几例说明运用不等式的解解决某些问题的技巧和方法．例１若不等式x＋５２－１＜ax＋２２的解是x＜－０．２５，则a＝．解：原不等式可化为（a－１）x＞１．因它的解为x＜－０．２５，故a－１＝－４，即a＝－３．例２已知a是非零整数，且４（a＋１）＞２a＋１，５－２a＞１＋a 试解关于x的方程３x－２√＋x＋３√＝３a．解：解不等式组４（a＋１）＞２a＋１，５－２a＞１＋a 得－３２＜a＜４３，从而a的值为－１，１．当a＝－１时，方程为３x－２√＋x＋３√＝－３，无解．当a＝１时，方程…     

初一数学下学期总测试题(上)

一、填空题１．把方程３a３x＋（a２＋１）y＝５写成用含x的代数式表示y的形式是．２．当x时，代数式３－２x的值不小于１．３．若｜x－y＋３｜＋（x＋y－７）２＝０，则xy＝．４．已知a＋b＝９，ab＝１４，则a２－ab＋b２＝．５．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：．６．线段AB＝５cm，延长AB到C，使BC＝２AB，若D为AB的中点，则DC的长为．７．若２x－y＝a，x＋２y＝ （a≠０），则x∶y＝．８．若n为整数，且x２n＝７，则（x３n）２－（x２）２n＝．９．不等式５x－７≤０的正整数解是．１０．关于x的方程２…     

构造一元二次方程求值

学习了一元二次方程的有关知识后，对于某些求值问题，考虑构造一元二次方程来解，非常巧妙、简捷．下面举例说明．一、利用去分母构造例１如果x＋１x＝３，求x４＋３x３－１６x２＋３x－１７的值．解：已知等式去分母，得x２－３x＋１＝０，∴x２＝３x－１，x２－３x＝－１．∴x４＋３x３－１６x２＋３x－１７＝（３x－１）２＋３x（３x－１）－１６x２＋３x－１７＝２x２－６x－１６＝２（x２－３x）－１６＝２×（－１）－１６＝－１８．二、利用主元构造例２已知实数x、y满足５x２＋８xy＋４y２－４x＋４＝０，求x２＋y２的值．解：以x…     

猜化学谜语

１．阴沟里的水（打一种元素）２．品德高尚（打三种元素）３．无水是生，有水就熟（打一无机物）４．头等好酒不能喝（打一有机物）５．学而时习之（打一化学术语）６．完璧归赵（打一化学术语）２００３年第５期“趣味竞答”参考答案当宇宙飞船绕行星运行时，可视为该行星的一颗（湖南华容县三中１８７班刘哲供稿）２００３年第５期“趣味竞答”获奖者名单王红丽（辽宁沈阳）蒋红芳（山东招远）贺子林（湖南衡南）张小燕（广西桂林）刘伟光（北京通州）李少华（海南海口）∵GMmr２＝m４π２T２r，∴M＝４π２r３GT２。∴ρ＝MV＝４π…     

一道思考题的几种解法

（人教版五年制）第六册数学中有这样一道思考题：图中的条形图是三个人收集邮票的张数。张强给李林和王红各多少张，三个人的邮票同样多？（想：一格代表多少张？）分析与解：这里向同学们介绍三种解法。一、填补法从条形图可以看出１格代表５张邮票。张强比李林多５格，李林比王红多２格。先从张强中取２格填补给王红，使王红同李林一样多，这样张强同李林和王红比都是多３格，再从张强那取２格分别补给李林和王红各１格，三人便同样多了。以上从张强那给王红填补了两次共３格（１５张），给李林填补了１格（５张）。二、求平均数法如图李…