用构造法解三角题

一、构造函数例1设α、m为常数,θ是任意实数,求证:眼cos(θ+α)+mcosθ演2≤1+2mcosα+m2.证明构造函数y=f(θ)=1+2mcosα+m2-眼cos(θ+α)+mcosθ演2,则只需证明y≥0即可.f(θ)=sin2(θ+α)+2m眼cosα-cosθcos(θ+α)演+m2sin2θ.令sin(θ+α)=x,则得二次函数y=x2+2msinθ·x+m2sin2θ.由于Δ=4m2sin2θ-4m2sin2θ=0,且二次项系数为1,故y≥0,即原不等式成立.二、构造数列例2已知:sinφcosφ=60169,π4<φ<π2,求sinφ、cosφ的值.解由题意可知,sinφcosφ=(215姨13)2且sinφ>cosφ,构造等比数列cosφ,215姨13,sinφ.设sinφ=215姨13·q,c…     

由一道最值问题引发的模式联想

求函数y=x·(1-x2)~(1/2)(0相似文献   

一道三角题的多种解法

题目已知sinθ+cosθ=51,θ∈(0,π),则cotθ=·这是1994年的一道高考题·该题解法颇多,除了通常的平方法,求sinθ、cosθ值外,本文再给出其它几种转化法·解法1:(定义法)设sinθ=5y,cosθ=5x,则有y5+5x=51,(5y)2+(5x)2=1·化为y2-y-12=0·由θ∈(0,π),知y>0,x<0,可解得y=4,x=-3·从而cotθ=yx=-43·解法2:(辅助式)设sinθ-cosθ=m,与sinθ+cosθ=51联立,两式平方后相加,可得m2=4259·由题设可知θ∈(2π,34π),则sinθ>cosθ,故m=57·再将sinθ-cosθ=75与sinθ+cosθ=51相加减,得sinθ=54,cosθ=-53,从而cotθ=-43·解法3:(巧设等差数列)…     

2005年中国数学奥林匹克试题及略解

第一天 郑州1月22日上午8:00～12:30 (每题21分) 一、设θi∈(-π/2,π/2),i=1,2,3,4.证明:存在x∈R,使得如下两个不等式 cosθ1cosθ2-(sinθ1sinθ2-x)2≥0,① cosθ3cos2θ4-(sinθ3sinθ4-x)2≥0,②     

一个命题两种结果的问题

《高中数学竞赛培训教材》[1](高一)P107,第6题:“已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos2θ=95,则sinθcosθ的值是().A.±!32B.!32C.-!32D.±13”.作为选择题,作者的本意是不用计算的:∵θ是第三象限角,∴sinθcosθ>0,排除A、C、D,选B.但一些同学计算的结果是23,这是怎么回事呢?方法一:由sin4θ+cos2θ=95,得:sin2θ(1-cos2θ)+cos2θ=95,∴sin2θ+cos2θ-sin2θcos2θ=59,∴sin2θcos2θ=94,∴sinθcosθ=±32,∵θ是第三象限角,∴sinθcosθ=32.看来同学们做对了(命题人也希望这样做).再看下面的解法:方法二:由sin4θ+cos2θ=95,∴sin4…     

“恒成立”问题求解对策

一、利用函数思想例1 (1999年全国高中数学联赛题)当x∈[0,1]时,不等式x2cosθ x(x-1) (1- x)2·sinθ>0恒成立,求θ的取值范围. 分析:因为x2(1 cosθ sinθ)-(1 2sinθ)x sinθ>0在x∈[0,1]时恒成立,令F (x)=x2(1 cosθ sinθ)-(1 2sinθ)x sinθ. 则只须当x∈[0,1]时,[F(x)]min>0. 解:由F(0)>0,得sin0>0,     

用三角代换求最值

在求某些函数的最大值、最小值时,用三角函数代换可巧妙地求解.这里介绍几种求最值时常用的三角函数代换. 1.若|x|≤1,可令x=sinθ. 例1 求函数y=(1-x~2)~(1/x)的最大值和最小值. 解:函数定义域是-1≤x≤1令x=sinθ,θ∈[-π/2,π/2],则(1-x~2)~(1/2)=cosθ,∴ y=sinθcosθ=1/2 sin2θ∴当θ=π/4即x=2~(1/2)/2时,y_(max)=1/2,当θ=-π/4即 x=-2~(1/2)/2时,y_(max)=-1/2.     

辅助角公式在高考三角题中的应用

对于形如y=asinx+bcosx的三角式,可变形如下:y=asinx+bcosx=a2+b2(sinx·a22+cosx·b a2+b2).由于上式中的aa2+b2与ba2+b2的平方和为1,故可记aa2+b2=cosθ,ba2+b2=sinθ,则y=a2+b2(sinxcosθ+cosxsinθ)=a2+b2sin(x+θ).由此我们得到结论:asinx+bcosx=a2+b2sin(x+θ),()其中θ由aa2+b2=cosθ,ba2+b2=sinθ来确定.通常称式子()为辅助角公式.它可以将多个三角式的函数问题,最终化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式.下面结合近年高考三角题,就辅助角公式的应用,举例分类简析.一、求周期例1(2006年上海卷选)求函数y=2cos(x+π4)cos(x-π4)+3sin2x的最小…     

联想·推广·变式

三倍角公式:sin3θ=3sinθ-4sin3θ,cos3θ=4cos3θ-3cosθ. 题目 求sin213° cos243° sin13°cos43°的值. 联想:sin213° cos243° sin13°cos43°形如a2 b2 ab.若a-6≠O,则a2 b2 a6a3-b3/a-b.     

三角恒等式衍生出的经典构造

正笔者在研究过程中发现很多问题都是围绕x2+y2=1和x2+y2=2(其中x,y∈Q)的结构来命制的,本文根据如下的两个三角恒等式,给出此类结构的一个经典构造.我们先来熟悉下两个三角恒等式:恒等式1:sin2θ+cos2θ=1;恒等式2:(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2;根据这两个三角恒等式,结合勾股数,我们很容易得出下面的两个恒等式.     

谈三角代换解题

变量代换是解数学题的一种重要策略 ,其中三角代换更是有着广泛而灵活的应用。它能使问题得到巧妙的转化 ,起到化繁为简、化难为易的作用。若运用得法 ,往往能收到事半功倍的效果。1　求最值例 1　已知 x21 6+y29=1 ,求u =x2 +2xy +y2 的最值 ,及相应的x ,y的值。解　据已知 ,可令x =4cosθ,y =3sinθ(θ∈R) ,则u =1 6cos2 θ +2 4sinθcosθ+9sin2 θ=72 cos2θ+1 2sin2θ +2 52 =2 52 sin( 2θ +φ) +2 52 ,其中cosφ =2 42 5 ,sinφ =72 5 ,且 0 <φ <π2 。由此可得 ,cos φ2 =721 0 ,sin φ2 =21 0 。当sin( 2θ +φ) =1时 ,取 2θ+…     

一道错题的辨析

有这样一道习题: 设a sin bθ cos=c acscθ b secθ=c, 求证: sin2θ=(2ab)/(c~2-a~2-b~2). 这是一个流行很广的错题。下面我们做些探讨。 有关资料,给出了如下答案（记为方法一）。 由已知a cscθ b secθ=c,得a cosθ b sinθ=c.sinθcosθ,又∵a sinθ b cosθ=c,∴(a sinθ b cosθ)(a cosθ b sinθ)=c~2sinθcosθ, 整理后可得sin2θ=2sinθcosθ=(2ab)/(c~2-a~2-b~2) 这种证法用到了三角变换、三角恒等式、二倍角公式,并且中间没有不严密之处,所以解答是正确的、完     

三角公式之“三角三姊妹”应用

我们课本上的一道题:已知sinθ+cosθ=2,求sin2θ的值。现3将sinθ+cosθ=2两边平方,易得sin2θ=-5。39顺水推舟,由2sinθcosθ=-5两边乘以-1后再加1得(sinθ-9cosθ)2=14,9姨姨姨姨姨sinθ+cosθ=2姨sinθ+cosθ=2姨姨姨3解方程组姨3姨姨或姨姨姨姨姨姨姨sinθ-cosθ=姨14姨sinθ-cosθ=-姨14姨9姨9姨姨姨姨姨sinθ=2+姨14姨姨姨sinθ=2-姨14姨姨6姨姨6得姨姨姨或姨姨姨姨姨姨姨姨cosθ=2-姨14姨cosθ=2+姨14姨6姨6不难发现sinθ+cosθ,sinθ-cosθ,sinθcosθ之间有着知其一可求     

一到三角函数试题的多解与思考

2013年全国新课标Ⅰ卷理科数学15题为一道考查三角函数性质的填空题,题目结构特殊,内涵丰富,充分体现解法的开放性和多样性,是一道展示新课改理念,考查学生创新精神和培养探索能力的好题.例设当x=θ时,函数f（x）=sin x-2cos x取得最大值,则cosθ=.方法1（收缩变换）f（x）=sin x-2cos x=槡5sin（x-φ）（其中＂φ＂是使得sinφ=2槡5,cosφ=1槡5成立的锐角）,因为θ使函数f（x）取得最大值,所以θ-φ=2kπ＋π2,即＂θ-φ＂的终边在y轴的非负半轴上,则θ=2kπ＋π2＋φ,所以cosθ=cos（2kπ＋π2＋φ）=-sinφ=-2槡55.方法1用到三角函数中的辅助角公式,将解析式由同角异名变形为同名同角.     

到底要不要再检验

问题已知关于x的方程x2-kx+k+1=0的两个根为sinθ和cosθ,求实数k的值. 解法1 由二次方程根与系数的关系,得 { sin θ+cos θ=k,sin θcos θ=k+1. 而 (sin θ+cos θ)2=1+2sin θcosθ, 所以 k2=1+2(k+1), 即 k2-2k-3=0, k=3或k=-1. 思考 以上解法对吗?给足思考时间,引导学生积极互动、广泛交流、不断思考,终于明白是非.以上解法中得出的k值是否满足△≥0?要检验!     

解三角题的方程视角

许多三角题若运用方程视角来审视,就会发觉解题路子比原来更宽.本文例述其主要思考方式.一、直解方程即问题明确呈现方程本质,只须从中直接解出所求即可.例1已知sinθ+cosθ=15,θ∈(0,π),求cotθ的值.解析:本题解法较多,但最为稳妥的方法是解方程组:sinθ+cosθ=15,sin2θ+cos2θ=1.即有:sin2θ+(15-sinθ)2=1,整理得25sin2θ-5sinθ-12=0,(5sinθ+3)(5cosθ-4)=0,∴sinθ=45(舍sinθ=-35,∵θ∈(0,π)),从而cosθ=-35,∴tanθ=-43,cotθ=-34.例2在△ABC中,A+C=2B,且1cosA+1cosC=-2cosB,求cosA-C2的值.解析:由条件易知B=60°,从而A+…     

例说构造曲线求“分式三角函数”的最值——一道课本习题的联想

现行全日制普通中学数学教科书 (试验修订本·必修 )第二册 (上 )第七章“直线和圆的方程”中有这样一道习题 :求函数 f (θ) =sinθ- 1cosθ- 2 的最大值和最小值 .编者把此题放在这里 ,意图十分明显 ,就是可把 f (θ) =sinθ- 1cosθ- 2 看成是定点 ( 2 ,1 )与单位圆 x2 + y2= 1上的动点 ( cosθ,sinθ)连线的斜率 ,从而问题转化为求斜率的最大值和最小值 .笔者由此得到启发 ,对动点在常见曲线上的“分式三角函数”的最值问题作如下探讨 ,供教与学中参考 .1　构造直线例 1　求 y=3sin x- 1sin x+ 2 的最值 .分析　因为 y=3sin x- 1sin x- …     

利用cos2θ公式的变形解题几例

2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ 2~(1/2)/2sinθ)cos2θ=cos~2θ-sin~2θ=(cosθ sinθ)(cosθ-sinθ) =2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ 2~(1/2)/2sinθ) ·2~(1/2)(2~(1/2)/2cosθ-2~(1/2)/2sinθ), 则得cos2θ=2cos(θ π/4)cos(θ-π/4)或者cos2θ=2sin(π/4 θ)sin(π/4-θ). 应用上面的结论求解某些余弦函数或正弦函数的乘积时则显得简洁又明快,现举例如下. 例1 求证sin15°sin30°sin75°=1/8. 证明:sin15°sin30°sin75°=1/2sin15°sin75°     

一个三角命题的探讨

文[1]中介绍了两个三角命题:命题1若sin3θ-cos3θ=-1,则sinnθ-cosnθ=-1(n为正奇数).命题2若sin3θ cos3θ=1,则sinnθ cosnθ=1(n为正整数).笔者阅后深受启发,继续探讨发现一、命题1是命题2的特例(在命题2中用-θ换θ同时令n为奇数就得到命题1).二、命题2可以推广为:命题3若sinmθ cosmθ=1(m为正奇数),则sinnθ cosnθ=1(n为正整数).证明当m=1时,sinθ cosθ=1,∴sinθcosθ=0,∴sinθ=0cosθ=1或csionsθθ==10.∴sinnθ cosnθ=1.当m≠1时,∵sinmθ≤sin2θ,cosmθ≤cos2θ,∴sinmθ cosmθ≤sin2θ cos2θ=1.当且仅当sinmθ=sin2θco…     

巧构向量解赛题

题目给定曲线族()22sinθ?cosθ 3x2?(8sinθ cosθ 1)y=0,θ为参数,求该曲线族在直线y=2x上所截得的弦长的最大值.(1995年全国高中数学联赛第2试试题)解曲线族与直线y=2x相交于原点O(0,0)和另一交点为()P x0,y0,显然x0≠0,并且x0,y0满足方程()()2228y0?4x0sinθ y0 2x0cosθ=6x0?y0,构造向量()22a=8y0?4x0,y0 2x0,b=(sinθ,cosθ),由?a b≤a?b≤a b,即a?b2≤a2b2(当且仅当a,b共线时取等号),得[(8y0?4x02)?sinθ (y0 2x02)?cosθ]222222222≤[(8y0?4x0) (y0 2x0)](sinθ cosθ),即(6x02?y0)2≤(8y0?4x02)2 (y0 2x02)2(*),把y0=2x0代入(*)并…