三角形与三棱锥的两个性质命题的逆命题

文[1]讨论了三角形的一个向量性质并将其推广到三棱锥中． 命题1如图1所示,已知△ABC及其内部一点P,若λ1^→PA＋λ2^→PBλ3^→PC=^→0,λ1,λ2,λ3都是正实数,过点P作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点,且^→AM=x^→AB,^→AN=y^→AC,则λ2/x＋λ3/y=λ1＋λ2＋λ3.     

辐角·转角·夹角

设非零复数z1，z2在复平面内对应的向量为^→OZ1、^→OZ2，它们所形成的夹角∠Z1OZ2(0<∠Z1OZ2<π)与^→OZ1转到^→OZ2的角、z1/z2的辐角主值argz1/z2之间联系密切，又不易区分，     

一道“希望杯”赛题的背景及应用

1．题目 O是平面内一点,A、B、C、D是平面内与O不共线的三个点,点P是BC的中点且使等式λ（^→AB/｜^→AB｜＋^→AC/｜^→AC｜）＋^→OA=^→OP成立,则△ABC是（ ）     

三角形的一个有趣性质

性质 若P是△ABC内部一点,λi∈R^＊（i=1,2,3）,且λ1^→PA＋λ2^→PB＋λ3^→PC=^→0,则S△BPC：S△CPB：S△APB=λ1：λ2：λ3.     

一道解析几何范围题的解法探究

题目 已知椭圆x^2/3＋y^2/2=1,点F是椭圆的右焦点,过F的直线l交椭圆于A,B两点,交椭圆的右准线于C,若^→AC=λ^→BC,其中λ〉1,求实数λ的取值范围．     

准线来搭桥

例1过双曲线b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2的左焦点F（-C,0）（c〉0）作圆x^2＋y^2=a^2的切线,切点为E,延长FE交抛物线Yy^2=4cx于点P．若^→OE=1/2（^→OF＋^→OP）,求双曲线的离心率．     

复数集上的定比分点公式

在复平面内，设点Z、Z1、Z2对应的复数分别为z、z1、z2，若点Z将向量Z1Z2^→分成两段Z1Z^→、ZZ2^→,且Z1Z^→/ZZ2^=λ（λ为不等于-1的常数），则有：(z-z1)/(z2-z)=λ,     

从教材中寻找思维的源泉——记一次由学生提问引发的教研活动

1学生提出的问题 近日,六安中学一位青年数学教师向笔者讲述了他在课堂上遇到的一件事：在复习“平面向量”一章时,教师选用了这样一道习题：已知点O是△ABC内部的一点,且^→OA＋2^→OB＋3^→OC=0,求△OBC与△ABC的面积之比。     

一道高考题的推广与引申

2010年全国高考辽宁卷理科第20题是：已知椭圆x^2/a^2＋y^2＋b^2=1（a〉b〉0）的右焦点为F,经过F作斜率为√3的直线与椭圆相交于不同两点A,B,已知^→FA=-2^→FB.（1）求椭圆离心率;（2）若｜AB｜=15/4,求椭圆方程．     

从高考试题看向量数量积的求解方法

平面向量的数量积是平面向量的重要内容,与三角函数、解析几何、平面几何等章节有密切联系.在江苏高考考试说明中是8个C级要求之一,难度比较大.纵观近几年的高考试题,数量积的求解方法主要有以下几种. 一、定义法 [例1](2008年湖南卷)如图1所示,在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=√10,则→AB·→AC= 分析:→AB,→AC的模已知,重点是求出→AB与→AC的夹角. 解:在△ABC中,∵AB=3,AC=2,BC=√10,∴由余弦定理得cos∠BAC=9+4-10/2×3×2=1/4,∴→AB·→AC=| →AB| |→AC| cos∠BAC=3× 2×1/4=3/2.     

向量数量积与抛物线的焦点弦

本文就向量的数量积与抛物线的焦点弦及焦点三角形面积问题进行研究,得出两个新定理：定理1,若｜AB｜是过抛物线y^2=2px（p〉0）焦点F的弦长,且^→BF-^→FA=λ,则｜AB｜=2λ/p;定理2,若AB是过抛物线y^2=2px的焦点弦,O为坐标原点,且^→BF-^→FA=λ,则SΔOAB=P/2√λ．     

三角形面积比的一个定理及其推论

1问题的发现 题目已知P,Q为△ABC所在平面上的两点,且满足→AP=7/20→AB＋1/3→AC,     

向量的一个性质及应用

定理 在多边形A1A2…An中,^→A1A2＋^→A2A3＋…＋^→An-1An＋^→AnA1=0. 这是一个显然的结论，根据向量加法的意义即可证得．巧用这一结论，可解决一系列向量问题，现举例说明．     

一道向量题的价值

题目已知向量OP1^→、OP2^→、OP3^→满足条件OP1^→＋OP2^→＋OP3^→=0,｜OP1^→｜＋｜OP2^→｜＋｜OP3^→｜=1。     

错在哪里？

1 陕西师范大学附中 申祝平 （邮编：710061） 题设z、Y∈R,且2x^2＋3xy十2y^2=1,试求xy＋x＋y的取值范围．解命S=xy,t=x＋y,u=xy＋x＋y=s＋t,则有2x^2＋3xy＋2y^2=1→2t^2-s=1.u=s＋t=st^2＋t-1=2（t＋1/4）^2-9/8.故xy＋x＋y的取值范围为[-9/8,＋∞）．解答错了!错在哪里？ 错解 求函数u=2（t＋1/4）^2-9/8的值域时,没有考虑自变量t（即x＋y）的聚会范围!     

研究一道趣题

趣题 在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1：（x＋3）^2＋（y-1）^3=4和圆C2：（x-4）^2＋（y-5）^2=4.     

关于两个三角形外心相同的充要条件

在△ABC中,A1,B1,C1分别是直线BC,CA,AB上的点,且满足^→AC1=λ^→C1B,^→BA1=μ^→A1C,^→CB1=γ^→B1A,其中,λ,μ,γ均不为-1.     

一道竞赛试题的推广

2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题第8题：已知点O在△ABC内部,^→OA＋2^→OB＋2^→OC=0,△ABC与△OCB的面积之比为5：1.     

YAG：Nd双波长激发上转换发光特性研究

采用808 nm LD激光和氙灯光双波长激发Nd：YAG单晶,研究了Nd^3＋离子激发态吸收上转换发光特性。研究发现,在570～610nm范围内改变氙灯激发光波长,均观测到了较强的453nm、472nm和493nm蓝色上转换发光。根据Nd^3＋离子的能级结构和发光特性可知,它们分别对应于^4D3/2→^4I15/2,^2P3/2→^4I13/2;^4G9/2→^4I9/2;^2P3/2→^4I15/2跃迁。另外对Nd^3＋离子的上转换发光机制作了简单讨论。     

甩拆项法解分式问题

例1设 S=2/1×3×5＋2^2/x×5×7＋2^3/5×7×9＋…2^18/95×97×99,T=1/1×3＋2/3×5＋2^2/5×7＋…2^48/97×99,则12S-3T=（ ）