高中数学竞赛解题中的"进"与"退"

"进"与"退"既对立又统一,进退互用是重要的数学思维策略.那么,何为"进"?何为"退"呢?数学中的"进"是指将特殊的,具体的,局部的,低维低次的,抽象水平弱的问题"进一步"转化为一般的,抽象的,整体的,高维高次的,抽象水平高的问题来处理.与之相反的是数学中的"退".合理的"进"可起到居高临下,高瞻远瞩,深刻认识事物本质,透彻解决问题的目的.善于"退",足够地"退"也会起到峰回路转,四两拨千斤之功效.     

例谈从一般"退"向特殊的解题策略

"以退为进","退一步海阔天空"之类的做法,在日常生活中经常用到,在解数学题时也能用.虽然,通常解题只是"进"由条件向结论"进",但是遇到一些复杂的问题时,只是"进",有时会感到无从下手,无门而入,更谈不上解决了.华罗庚说过:"善于‘退',足够地"退",退到原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窍!"所谓的"退"就是将一个一般性的复杂的问题"退"成特殊的简单的问题,把这个特殊的问题想通了,找出规律,然后再来一个飞跃,不仅能解决原来的问题,而且还能进一步拓广,本文主要介绍由一般向特殊的"退".     

数学解题中“退”的魅力

正华罗庚指出:善于"退",足够的"退","退"到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.笔者这里所说的"退"不是固执己见停滞不前,而是通过深刻把握,寻找"进"与"退"的契合点,从而达到解决数学问题的目的.如锯条因为进退得当,因而完成了割锯的使命;算盘因为进退得当,因而使计算有了意义.在数学解题中,"退"就是先"退"到解题者能够看清楚或可以解决问题的地方,认真探究、钻研,而后"进"."退"就是"退"到简单,"退"到特     

浅谈数学解题中的“退”

从未知到已知,这是进,也是我们解题的目的,然而,在很多问题的解决过程中,为了达到“进”的目的,而不得不“退”下来.华罗庚曾说过:“善于‘退’足够地‘退’,‘退’到原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个决窍.”以退求进是解决数学问题的辩证思维,是研究问题的一般方法,本文拟从几方面来浅述以退求进这种辩证思维在解题中的应用.     

有所为,有所不为——关于教学中"进"与"退"的几点思考

文[1]中指出:新课程背景下的数学课堂教学,要注意处理好6种关系.其中之一就提到了要处理好“进”与“退”的关系,笔者读后深受启发.古语云:“治国之道,有所为,有所不为.”数学教学也是如此,“有所为”的地方就是该“进”的地方,“有所不为”的地方就是该“退”的地方.课堂教学中教师不仅自身要“有所为,有所不为”,还要引导学生“有所为,有所不为”.教是为了不教,“退”的最终目的是为了“进”.在此本人结合教学实践,谈谈新课程背景下对数学课堂教学中“进”与“退”的几点思考.1教育理念中树立“进”与“退”的辨证思想教育理念是教育行为的先导,有什么样的教育理念,就有什么样的教育行为.我们的许多老师还抱有这样的观念:上课就是不折不扣执行教案或者事先设定的教学思路的过程.于是,教学活动变成了教师主导的独角戏,教师忙于顾及自己在课堂中的“进”,急于将自己的备课内容讲完,急于将自己精妙的解题方法演绎出来,而遗忘了学生的同“进”,漠视或忽略了学生的感受.这样的课堂,实质上还是在走老路子:教师是课堂的权威和主宰,学生只是欣赏教师表演的观众,只能完全被动地接受,被动地参与.新课程改革呼唤教师转变传统教育观念,更新现代教育观念.现代教学交往...     

数学竞赛中的“进退思想”

<正>"进退思想"是人们常用的一种思维方法.日常生活中人们常常"退一步来讲…",退一步的目的就是为了看清问题,解决问题.数学中有时"以退求进",有时"先进后退",有时"进退互化".把握"进与退"是一种常用的解题策略!笔者将"进与退"的辩证策略整理如下,供参考.一、以退求进1.一般后退至特殊在解一些竞赛题时,如果不能直接入手,不妨先退一步考察它的特殊情况或者极端情形,或许你能发现解决问题的途径.     

例谈进退互化策略在解题中的应用

本文举例介绍"进退互化"的解题策略.所谓进,就是把所求的数学问题推进到一般情形下进行研究,所谓退,就是在求解一个一般问题时,先对它作特殊化处理,以期找到解题的方向和解题途径.解题中有时要以退求进,有时要先进后退.恰当运用进退的互化是解决数学问题的一条重要策略.下面举几例     

也谈数学教学中的“进”与“退”

《数学教学》1983年第6期发表了《数学教学中的"进"与"退"》一文,读后很受启发.联想到在解题中还碰到过这样的命题,利用已知数学知识一步步"进"的方法和"退中求进"的方法都不能凑效、或者非常麻烦,但如果把题目推广到一般情形,通过对一般性问题的思考,会立刻令人顿开茅塞,相当快地找到问题的解答.     

班主任的"退"字

"退",不是消极地工作,无论是退是进,都是班主任的育人之策,其出发点都是为了更好地教育学生,使师生和谐相处.笔者从"退"对学生、"退"对家长、"退"对学校三方面进行论述.     

如何利用"以退求进"策略解题

通常解题只是想到进的一面，而很少想到退．所谓“进”就是从题设条件出发逐步深入地解决，这对简单问题的解决是非常有用的．但遇到较复杂的问题时，只想进有时会感到无门可人，怎谈逐步解决?而所谓退即是把比较复杂的问题“退”成最简单、最原始的问题，把这简单问题想通了，想透了，原来的问题也就解决了．     

例谈"尚简"的解题艺术

数学解题追求"简约而不简单"的境界,"尚简"是数学解题的至真追求.为此,教师要引导学生对数学问题展开去伪存真的分析,可以从"退"中求简、"化"中求简、"换"中求简、"设"中求简 、"借"中求简、"分"中求简.通过化繁为简、删繁就简,发掘"简"的解题之道,生成"简"的解题智慧与艺术.     

浅析汉语为区别同音词而发生的"此退彼进"现象

在汉语的发展演变过程中,经常发生这样的现象:汉语结构体系中某一部成分消失了、改变了,它的功能会由另一成分来代替;某一些具体的规则消失了、改变了,随之会产生另一些具体的规则来补充;某一种趋势或方法减弱了,另一种趋势或方法就会增强.这些就是汉语发展演变中的"此退彼进"现象.本文主要谈的是汉语为区别同音词而发生的"此退彼进"现象,并对"此退彼进"现象所产生的原因、结果,进行了分析.     

"以退求进"的解题策略

对于具有一般性的数学问题,如果在解答过程中,感到“进”有困难,或无路可“进”时,不妨逆向思路,考虑“以退为进”的解题策略。“退”就是从一般退到特殊,从复杂退到简单,从抽象退到具体,从整体退到局部,退到保持特征的最简情形。先解决简单的情形,处理特殊的对象,再归纳、联想,“进”而解决一般情形。下面例说“以退求进”的两个解题策略。     

"退一步"与"进两步"

退与进,是辨证统一的关系.当条件不具备、时机不成熟时,如果采取冒进的方法,急于求成,往往会事与愿违、适得其反.这时候,进反而变成了退,退一步才能进两步.     

动静转化进退自如--例解一类含运动变换的数学问题

有不少数学问题,都可归结为探求某种运动变换状态下的不变量(数量成位置关系)来解决.而研究运动变换状态下的有关问题,又常常利用"特殊化"的思想方法,"退"到属于它的特殊状态,实现"动"与"静"的转化与结合,"进"与"退"的互换与统一,快速、简捷解题.     

关于国有经济"有进有退"问题的探讨

改革国有经济的管理体制和运行机制,一直是整个经济改革的重要环节.在总结国有经济改革和发展实践的基础上,我国国有经济实施了"抓大放小和有进有退"的战略性调整.国有经济实施战略性调整以来,理论与实践方面都有一些争论,其中关于国有经济为什么要进行战略性调整,国有经济"进"与"退"的范围等方面争论较大,需要进一步深入探讨.     

以退为进解题策略例举

著名数学家华罗庚说过,关于"退",足够地"退","退"到最原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窍。这句话道出了解决数学问题的一个重要策略——以退为进,退是为了更好地进。运用这一解题策     

"常"、"变"正确定位,解题灵活简便

一个问题常含有好几个量,这些量是"常量"、"参量"或"变量",它们的定位往往不是绝对的.定位不同,解题途径也就不同,处理好量的定位问题,不但为函数、方程思想的应用开辟新的途径,给解题带来极大的简便,而且能培养学生的创新思维.下面举例说明恰当的定位在解题中的作用.     

“以退求进”法解题初探

“以退求进”是人们常用的思维方法与思维策略．数学解题中的“退”就是把一个较复杂的问题“退”成最简单、最原始的问题。把这个最简单、最原始的问题想通了，想透了，就不仅可以“进”。而且可以来一个飞跃，现就“以退求进”法解题谈点管见。     

"数形结合"妙解不等式

数与形是数学知识的2个基本范畴,数与形的完美结合是数学的最高境界.数学家华罗庚曾十分精辟地论述:"数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休".数形结合的重点是研究"以形助数"."数形结合法"可以简化解题过程,提高解题速度,起到事半功倍的效果.特别对解决选择、填空题,简捷直观,有奇特的功效."数形结合法"也是不等式的一个重要解法,"数形结合"解不等式就是挖掘其式子的"形"以解其"数".