一道数列题的八种解法

题目已知等差数列｛an｝的前m项的和为30,前2m项的和为100,则它的前3m项的和为______.一、解答上题需用到的知识点1.等差数列｛an｝的通项公式:an=a1 (n-1)d;等差数列｛an｝的推广式:an=am (n-m)d;等差数列｛an｝的变式:a1=an-(n-1)d,d=ann--a11,d=ann--mam,由此联想到点列(n,a     

对数列公式的再认识

数学公式是数学现象及其本质规律的揭示，因而在一个公式的结构特征中，往往蕴涵着潜在的规律，只要我们用心观察，认真分析研究，就会从中挖掘出新的使用价值。这无疑能激发学生强烈的求知欲与探索精神，有利于提高数学素养，培养创新精神。现以数列中的公式为例说明之。首项为a１，公差为d的等差数列｛an｝的前n项和Sn＝na１＋n（n－１）２d＝１２dn２＋（a１－１２d）n，若令p＝１２d，q＝a１－１２d，则Sn＝pn２＋qn（１）不难证明公式（１）是数列｛an｝为等差数列的充要条件。定理１一个数列的前n项和Sn＝pn２＋qn是此数列为等差数…     

高三“数列专题”复习教学设计

高三数学专题复习是由"量的积累"到"质的飞跃"的过程,是进一步完善学生的立体知识网络结构,全面提升能力的关键时期.回顾2008~2012年的考题,2008年第10题考查等差数列的前n项和公式,第19题考查了等差数列、等比数列的综合运用,2009年第14题考查等比数列,第17题考查等差数列的通项公式、前n项和公式,2010年第19题考查等差数列的通项公式与前n项和公式,2011年第13题考查等差数列与等比数列,第20题考查等差数列的综合运用,2012年第6题考查等比数列的通项公式,第20题考     

等差、等比数列的中间值性质及其应用

1 等差数列{an }前n项和Sn的算术平均数(Sn)/(n)叫做等差数列前n项的中间值.根据等差数列前n项和公式,显然有(Sn)/(n)=(a1 an)/(2),即等差数列的中间值等于第1项与第n项的等差中项.     

数列“回归”函数图像“透视”等差——赏析两道姐妹模考题的“另类”解法与相关性质

下面是我校高三4月份文、理科模考试卷上的两道填空题: (文科题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a13 ＞0,a14＜0,a13＞|a14|,若SkSk+1＜0,则k=__________. (理科题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S13 ＞0,S14＜0,若akak+1＜0,则k=_________. 两题结构对称,"个性"鲜明,精巧雅致,独具特色:其一,两题涉及了等差数列中一类"存在k∈N+使akak+1＜0及SkSk+1＜0"的问题;其二,两题揭示了等差数列中"项"与"和"之间关于零点、正负、单调性、最值等问题上的相互转化关系.笔者探究发现,两题除了可用常规公式求解之外,还可将数列"回归"到函数,用图像来"透视"等差(即利用an与Sn对应函数的零点关系与图像求解),且以此为指导思想,可引出此类等差数列的一些相关性质,这些性质看似浅显,但对学生充分理解等差数列的函数本质,以及如何利用图像判断等差数列中的正负、单调性、最值等问题,都将大有帮助.本文下面首先介绍几个预备性质,然后给出两题的"另类"解法,最后将此性质予以推广,供参考.     

等差、等比数列的中间值性质及其应用

1等差数列{an}前n项和Sn的算术平均数Snn叫做等差数列前n项的中间值.根据等差数列前n项和公式,显然有Snn=a12 an,即等差数列的中间值等于第1项与第n项的等差中项.等差数列的中间值有如下两种情况:(1)当n=2k-1时,Snn=a1 2a2k-1=ak,k∈N*;(2)当n=2k时,Snn=a1 2a2k=ak ak 12,k∈N*     

平均数的性质及在数列中的活用

等差数列前n项的算术平均数与前n项和、数列第n项有密切联系,活用它的性质,对解等差数列题有很大帮助;同样等比数列前n项的几何平均数也有类似性质.本文谈谈等差(或等比)数列前n项的算术平均数的性质及其在等差(或等比)数列中的应用.     

关注等和数列与等积数列

在各类考试中经常出现“等和(积)数列”这种教材中没有出现的新概念.有些学生遇“新”而害怕,其实只要类比等差数列或等比数列的定义及性质去理解,即可轻松解决.下面对此类题型加以介绍.一、等和数列1.定义在数列｛an｝中,若对任意n≥2都有an+an-1=d(n∈N*,d为常数),则称｛an｝为等和数列,常数d为数列的公和.2.通项公式与前n项和设等和数列｛an｝的首项为a1,公和为d,则有通项公式:an=#ad1-,an1,为n奇为数偶,数.前n项和公式:Sn=nd2,n为偶数,a1+n-21d,n为奇数$&&&%&&&’.3.性质由定义知#aann++1+aan-1n==dd,则有an+1=an-1,即等和数列是一个周…     

数列综合题热点透析

数列与数列相结合的综合题这类综合题主要考查等差数列和等比数列的定义、通项公式、前n项和公式以及性质等内容.例1已知Sn是数列｛an｝的前n项的和,a1=1,Sn 1=4an 2,n=1,2,3,4,…(1)设bn=an 1-2an(n=1,2,3,4,…),求证:数列｛bn｝为等比数列.(2)设cn=2ann(n=1,2,3,4,…),求证:数列｛cn｝为等差数列.(3)求数列｛an｝的通项公式及其前n项的和.解析(1)∵Sn 1=4an 2,∴Sn 2=4an 1 2.上述两式对应相减,得an 2=4an 1-4an,即an 2-2an 1=2(an 1-2an).∴bn 1=2bn,且b1=3.∴数列｛bn｝为等比数列.(2)由an 2=4an 1-4an,得2ann 22=42ann 21-24na n2.…     

夯实基础知识注重学科思维提升学习能力——一节等差数列的通项及前n项和的教学设计

2009年江苏高考将数列前移,符合"掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.能在具体的问题情境中识别数列的等差或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题"考试要求.预测2010年在数列上侧重考查等差、等比数列概念、性质、通项公式、前n项和公式等知识的直接应用,且为容易题和中档题.针对今年高考试题体现的命题风格、命题形式,提高高考复习的针对性,对等差数列的通项及前n项和教学进行如下设计:     

《数列与极限》测试题

一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.等差数列｛an｝中,已知a4=4,则前7项的和为()(A)28(B)56(C)14(D)不能确定2.在等差数列｛an｝中,若a3+a9+a15+a17=8,则a11=()(A)-2(B)-1(C)1(D)23.在-9和3之间插入n个数,使这n+2个数组成和为-21的等差数列,则n的值为()(A)4(B)5(C)6(D)74.已知等比数列｛an｝的各项均为正数,公比q≠1,设则P=a2+2a9,Q="a5a6,则P与Q的大小关系是()(A)P>Q(B)P相似文献   

对现行高中数学教材中几个问题的异议

我们对现行高中数学课本及《教学参考资料》中几处地方有异议,分类一一列出。 (一)课本上有六个题目条件欠充分。 (1)已知a、b、c成等比数列,m是a、b的等差中项,n是b、c的等差中项,求证a/m c/n=2。(代数甲种本第二册P43第4题) (2)已知a~2、b~2、c~2成等差数列,求证1/(b c),1/(c a),1/(a b)也成等差数列。(代数第二册P76第6题)     

“递推公式求数列通项”范例解法探究

等差数列和等比数列是高中数学数列一章的重要基础知识.数列综合问题,无论从寻求解题思路、方法及解决途径、过程转化,基本上都要以等差数列和等比数列为蓝本,不断地拓展和延伸相关数学问题.充分运用数学思想方法,在解决问题过程中不断再发现、再创造.下面以“由递推公式求数列通项的范例解法”为例,说明如何运用数学思想方法,有效地设计解决问题.例题:已知数列｛an｝中,a1=65且对任意非零自然数n都有an+1=31an+(12)n+1.求数列｛an｝的通项公式.解一:由an+1=31an+(21)n+1两边同乘以3n+1得,3n+1an+1=3n+1·31an+3n+1·(21)n+1=3nan+(32)n+1设…     

关于数列教学的一些思考

一名高一学生曾问我这样一道题:题一:一个三角形纸片内有99个点,连同三角形的顶点102个点无三点在同一直线,若以这些点为三角形顶点,把这三角形纸片剪成小三角形,问这样的三角形共有几个?无论我怎么暗示,他就是无法从长时记忆中提取与此题相关的信息,结果解题失败。为了探究他已有的数学认知结构,我将题目作了如下变换:题二:已知等差数列｛an｝中,a3=1,a4=3,求a102.我发现他能很快地运用等差数列的相关知识解出a102=199,说明他在求等差数列的通项公式不存在任何问题。我随即问他对“题一”现在有没有解题思路?遗憾的是他还是很迷惘,并说:我…     

题库(二十七)

1.由以下条件分别给出数列｛an｝:(1)｛2ab｝是等比数列;(2)Sn=n2 1;(3)｛ban｝,是等差数列;(4)an=2/n-1(a1 a2 … an-1)(n≥2).求满足以上条件且使｛ban｝是等差数列的命题的个数.2.数列｛an｝中,a1=8,a4=2且满足an 2=2an 1-an,n∈N .设bn=1/n(12-an)(n∈N ),Tn=b1 b2 … bn(n     

数学《教师教学用书》的错解探究

人民教育出版社高中《数学》第一册(上)P129页练习的第4题如下:已知数列｛an｝是等比数列,Sn是其前n项和。求     

“子集序列”的种数

本文目的将文[1]中的命题作一系列推广，方法是借助直观“场景”为模型，这样不仅能简明地解答文[1]中的命题，同时，更便于讨论和推广．据文[1]的命题，可作如下三个推广：推广一m，n是自然数，有n个学生组成的集合A：｛a1，a2，…，an｝，他们都学习m种课程．如果（*）：每个学生至少有一门课的考试成绩“及格”，这n个学生“及格”的不同的可能情况共有多少种？记，种课程组成的集合是S:｛s1，s2，……，sm｝．记人是第j门课“及格”的学生的集合，则条件（*）表示A1UA2U……UAm=A；｛A1，A2，…，Am｝是一个有m项的A的子集序列；…     

2011年江苏高考压轴题别解

2011江苏高考第20题： 设M为部分正整数组成的集合,数列｛an｝的首项a1=1,前n项的和为Sn。已知对任意的整数k∈M,当整数n〉k时,     

高三数学专题复习高考样卷(三) 数列

第Ⅰ卷(选择题部分60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若向量!an=(cos2nθ,sinnθ),!bn=(1,2sinnθ)(其中n N*),则数列｛a!n·b!n-1｝()A.是等差数列,不是等比数列B.是等比数列,不是等差数列C.是等差数列,是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列2.若实数a b c,a b-c,c a-b,c b-a组成公比为q的等比数列,则q q2 q3=()A.1B.0C.-1D.33.已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若!OB=a1!OA a200O!C,且A,B,C三点共线(该直线不过点O),则S200等于()A.100B.101C.200D.201…     

几种有趣的等差等比数列的求和

中学数学中的数列求和问题,涉及到的数学知识和方法较多，综合性较强，部分同学感到困难较大．但仅是数列的求和方法,在众多文章中，都已作过详尽的讨论，故不赘述．本文只对等差数列、等比数列中一些有趣的求和作一粗浅的探讨，供大家参考.一、切成等长的段作和若以一个n×k项的等差数列{a_n}，公差为d，作成一个新数列{b_n}：则数列{b_n}也是等差数列，其公差若以一个n×k项的等比数列{a_n}，公比为q，作成一个新数列｛b_n｝：则数列{b_n｝也是等比数列，其公比q′=q~k.仿上可作类似的证明，此处略．例1在等差数列｛a_n}中，前四项之和S_…