一道伊朗国家选拔考试题的再推广

2009年伊朗国家选拔考试中有如下不等式试题： 若a〉0,b〉0,c〉0,且a＋b＋c=3,求证： 1/2＋a2＋b2＋1/2＋b2＋c2＋1/2＋c2＋a2≤3/4.     

一道考试题引发的思考

本文针对湛江幼儿师范专科学校2018年期中考试的一道题目:验证两直线相交,并求其所成夹角的角平分线方程,给出几种不同的方法,并分析它们之间的联系。由此针对解析几何课程教学中存在的问题提出相应的解决方法。     

一道奥林匹克赛题的推广

例:四边形ABCD内接于圆,AB与DC延长线交于P点,AD、BC延长线交于Q点,由点Q作该圆的两条切线QE和QF,切点分别为E,F.求证:P、E、F三点共线.(1997年全国数学奥林匹克竞赛题) 我们经过探索,发现此例可以推广到圆锥曲线.     

一道国家集训队选拔考试题的简证

题目　在锐角△ABC中 ,AD是∠BAC的内角平分线 ,点D在边BC上 ,过点D分别作DE⊥AC、DF⊥AB ,垂足分别为E、F ,连结BE、CF ,它们相交于点H ,△AFH的外接圆交BE于点G .求证 :以线段BG、GE、BF组成的三角形是直角三角形 .( 2 0 0 3,IMO中国国家集训队选拔考试 )图 1证明 :如图1 ,作DG′⊥BE于G′ ,AM⊥BC于M ,连结FG′.记∠ABC =α ,∠ACB =β,则BM =AMcotα ,CM =AMcotβ.由已知得BF =DFcotα,CE =DEcotβ ,DE =DF ,AF =AE .故 BFCE=tanβtanα=BMCM.因此 ,BF·CM·AECE·BM·AF=1 .在△ABC中 ,由…     

一道美国数学奥林匹克国家队选拔考试题的再推广

赛题 正实数a,b,c满足abc=1,求证： 1/a^5（b＋2c）^2＋1/b^5（c＋2a）^2＋1/c^5（a＋2b）^2≥1/3. 这是2010年美国数学奥林匹克国家队选拔考试题的第2题,     

椭圆中的一个性质及其应用

正~~     

对一道上海中考题的探究与推广

上海2007年中考压轴题的第一个小题是这样的： 已知：∠MAN=60°，点B在射线AM上，AB=4（如图1）．P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点B、P、Q按顺时针排列），O是△BPQ的外心．当点P在射线AN上运动时，求证：点O在∠MAN的平分线上．     

一道解析几何竞赛训练题的解法创新与推广

浙江大学出版社出版的《高中数学竞赛专题讲座》中P₆₈有这样一道题:如图1所示,过抛物线y²=x上的一点A（1,1）作抛物线的切线,分-别交x轴于D,交y轴于B,点C在抛物线上,点E在线段AC上,满足（AE）/（EC）=λ₁,点F在线段BC上,满足（BF）/（FC）=λ₂,且λ₁+λ₂=1,线段CD与EF交于点P,当点C在抛物线上移动时,求点P的轨迹方程.现摘录原文解答如下:解:过抛物线上点A的切线斜率为k=2x|_x=1=2,切线AB的方程为y=2x-1.所以B、D的坐标     

一道竞赛题的推广和有关结论

原题在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，P是对角线AC、BD的交点，M、N分别是AB、CD上的点，满足DM⊥AC，BN⊥AC．求证：M、N、P三点共线．[第一段]     

一道国家队培训题的另解

题目已知实数a、b、c、x、y、z满足（a＋b＋c）（x＋y＋z）=3，（a^2＋b^2＋c^2）（x^2＋y^2＋z^2）=4．求证：ax＋by＋cz≥0．     

2011年中国国家集训队选拔考试

1．给定整数n（n≥3）．求最大的实数M,使得对任意正实数列x1,x2,…,xn,都存在其一个排列y1,y2,…,yn,满足     

浅谈中国蓝球队伍老化及对策

为摆脱中国篮球队伍老化困难,在人材体系、教练员、裁判员及管理制度方面提出一些看法。     

一道国家集训队选拔考试题的简证及推广

题目设∠XOY=90°,P为∠XOY内的一点,且OP=1,∠XOP=30°,过点P任意作一条直线分别交射线OX、OY于点M、N.求OM ON-MN的最大值.(2004,IMO中国国家集训队选拔考试)图1解:如图1,设∠PMO=θ(0°<θ<90°),则OM ON-MN=32 12cotθ 12 32tanθ-12sinθ-32cosθ.令tanθ2=t∈(0,1),则OM     

2006年法国数学奥林匹克国家队选拔考试试题

第一天 1．ABCD是正方形，Г是它的外接圆．M是弧CD上一点（不包括A点），P、R分别是AM和BD、AM和CD的交点，Q、S分别是BM和AC、BM和CD的交点，证明PS和QR垂直．     

France Team Selection Test 2006

Dayl 1 .Let ABCD be a square and let厂be theeireumeirele of ABCD.M 15 a Point of厂belonging tothe are CD whieh doesn,t eontain A.P and R areresPeetively the interseetion Points of(AM)with〔BD〕and[eD〕,Q and 5 are respeetively theinterseetion points of(BM     

一道国家集训队考试题的几点探索

题目　给定正△ＡＢＣ ,Ｄ是ＢＣ边上任意一点 ,△ＡＢＤ的外心、内心分别为Ｏ1、Ｉ1,△ＡＤＣ的外心、内心分别为Ｏ2 、Ｉ2 ,直线Ｏ1Ｉ1与Ｏ2 Ｉ2 相交于Ｐ .试求 :当点Ｄ在ＢＣ边上运动时 ,点Ｐ的轨迹 .该题是 2 0 0 1年中国数学奥林匹克国家集训队选拔考试第 5题 .笔者发现在解答中 ,当证得ＰＤ⊥ＢＣ这一几何关系后 ,在上述已知条件情况下 ,图形中的点、角、边及面积关系 ,可有如下 5个结论 .结论 1　Ｉ1Ｉ22 =Ｏ1Ｉ21+Ｏ2 Ｉ22 .证明 :由∠ＡＯ2 Ｄ =2∠Ｃ =1 2 0°,∠ＡＩ2 Ｄ=90°+ 12 ∠Ｃ =1 2 0°,∠Ｂ =60°知Ｏ2 、Ｉ2 均在图 1…     

2010年中国国家集训队选拔考试第3题的解法追踪

本文利用斐波那契数的性质,通过调整法得到m取任意正整数时的f（m）的最小值的表达式,进而阐述文[1]实例构造方法的一般化．     

2001年IMO中国国家集训队选拔考试试题

二、对给定的正整数a、b,b>a>1,a不能整除b及给定的正整数数列{b_n}_(n=1)~∞,满