天堑变通途——法向量在立体几何中的应用

<正>新课程苏教版《数学》教材(选修2-1),给出了平面α的法向量的定义,但却没有对它的应用作系统的讲解,而法向量在空间几何中扮演着一个非常重要的角色.法向量的应用打破了空间几何的传统解法,可以减少大量的辅助作图以及对图形的分析、想象,可以直接使用代数运算来解决空间几何中的证明     

向量法求解立体几何问题

空间向量是解决立体几何问题的重要工具之一，本文主要谈谈如何巧妙地利用空间向量求解立体几何试题．     

向量在立体几何中的应用

新大纲9（B）编写的教科书内容，对传统立体几何内容进行了重大改革。特别体现在第二、三大节中，主要思想引进了向量工具改传统立体几何的教学。引入向量学习立体几何有几个理由：（1）几何发展的根本出路是代数化，引入向量研究几伺是几何代数化的需要。（2）研究几何的代数方法有多种，如面积和体积的计算，质点组几何，笛卡尔时代的坐标，向量几何等。其中被实践证明，对中学较为有效的方法是向量几何。（3）使用空间向量处理立体几何问题不仅不会增加学生的负担，相反由于学生掌握一套有力的工具反而会降低学习难度，减轻学生的负担，在立体几何中使用“形到形”的推理方法，由于空间图形的复杂性，比较难学，通过使用向量方法学习立体几何，可使学生较牢固地掌握向量代数工具，从而丰富学生的思维结构和运用数学的能力。     

向量在立体几何中的应用

立体几何是高中数学的重要内容,它在培养学生空间想象能力、逻辑推理能力等方面有着独特的作用,因而立体几何在每年高考中都占有重要的位置。在过去的几何教学中,主要使用“形到形”的综合推理方法学习立体几何,由于空间图形的复杂性、多变性,对于多数学生都是比较难学的。向量     

空间向量在立体几何中的应用

在立体几何中。新教材的特点之一是引人向量．以前的教材中证明异面直线互相垂直和线面垂直时，常需作辅助平面，特别是研究线线垂直时，有时还要解三角形，这样往往要添加很多辅助线，使图形复杂，计算复杂．如果借助向量来解决这类问题，就容易多了．下面用向量来研究两个问题．     

浅谈法向量在立体几何中的应用

向量在数学中的应用和物理学中的应用很广泛,在解析几何和立体几何中的应用更为直接,向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。高中数学新教材中引进了空间向量的概念和知识,拓宽了解答立体几何问题的思路和方法,充分显示了空间向量在立体几何中的强有力的工具作用,也为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法——向量法。     

无敌法向量在空间立体几何中的应用

向量是既有大小又有方向的量.由于这种特性使它具备了代数和几何的双重身份,成为了研究数学和物理问题的重要工具.06年辽宁课改选用人教B版教材,将用空间向量解决立体几何问题加入高中数学教学内容中,进一步凸显了向量的工具性.而法向量作为一个重要而多能的特殊向量,为我们解决很多立体几何中的线面问题带来了全新的思想方法.在学习应用中被同学亲切的称为---无敌法向量.本文将举例说明法向量的几种重要应用类型,供参考.     

法向量在立体几何中的妙用

立体几何中经常需要计算有关距离和空间角 ,在解决这一问题时 ,也常常需要作出垂线段和角 ,这是解决问题的难点 ,应用法向量可以解决这一难点 .《人教版高中数学第二册 (下Ｂ)》第 42页对平面的法向量是这样定义的 :如果向量ｎ⊥α ,那么向量ｎ叫做平面α的一个法向量 .课本还给出射影的定义 :已知向量ＡＢ =ａ和轴ｌ,ｅ是与ｌ同方向的单位向量 (图 1 ) .作点Ａ在ｌ上的射影Ａ′,作点Ｂ在ｌ上的射影Ｂ′,则Ａ′Ｂ′叫做向量ＡＢ在轴ｌ上或在ｅ方向上的正射影 ,简称射影 .可以证明Ａ′Ｂ′=ＡＢｃｏｓ〈ａ ,ｅ〉=ａ·ｅ.同样 ,设ｎ是与ｌ同方…     

空间向量在立体几何中的应用

向量引入中学数学 ,大大丰富和发展了中学数学知识结构体系 ,进一步拓宽了中学数学问题解决的思维空间 .空间向量在处理立体几何中有关度量、角度、平行、垂直等问题时具有独到之处 ,可以减少一些复杂的思维和推理过程 ,提高解题效率 .现就空间向量在立体几何中的有关应用分别举例说明 .一、平行问题( 1)共线向量定理 :对空间任意两个向量a、b(b≠o) ,a∥b的充要条件是存在实数λ ,使a =λb .( 2 )设a =(a1 ,a2 ,a3) ,b =(b1 ,b2 ,b3) ,a∥b a1 =λb1 ,a2 =λb2 ,a3=λb3.例 1　已知直线OA⊥平面α ,直线BD⊥平面α ,O、B为垂足 ,求证 :…     

法向量在立体几何中的运用

在普通高中（必修）第二册（下B）及新课程标准选修2—1定义平面的法向量是：如果向量n⊥α,那么向量n叫做平面α的一个法向量．课本给出这个概念后再没进一步研究．其实法向量的引进,对空间问题的解决提供了一个很方便、实用的工具．运用法向量,可减少辅助线的添加,降低解题难度,其思路明确,过程较为程序化,易于掌握．下面举例说明法向量在立体几何解题中的一些运用．     

向量在立体几何求角问题中的应用

向量是解答立体几何问题的一种有效工具．不少复杂的几何推理，可借助向量法使其模式化，用机械性操作加以实现，不需要很复杂的几何推理，也不需要很强的空间想像能力．例如，求角度等几何量的大小时，可借助向量法避开一些麻烦的推理，使解答过程顺畅，乃至简捷．因此，熟练掌握向量法对提高立体几何的解题能力甚有好处．下面本文以新课程改革中几道高考数学试题为例，介绍向量在立体几何求角问题中的应用．     

例谈向量法在立体几何中的应用

立体几何是高中数学的重要内容,是高考的热点,每年的高考试卷中都有立体几何试题,试题为一小一大或两小一大,分值在17与22分之间,中低难度,考查学生的空间想象能力、运算能力、逻辑思维能力．求解立体几何问题主要有两种方法：一种是传统几何法,它对空间想象能力和运算能力要求较高,不易掌握,是一个难点;另一种是空间向量法,它直接根据题目条件,建立空间直角坐标系,求出点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量,再按照有关公式运算即可求解。     

空间向量法在立体几何中的重要作用

空间向量法是在三维空间坐标系中,以点的坐标为基础,利用空间向量来处理空间线线、线面、面面的位置关系和夹角等问题．运用空间向量法研究几何问题,思路简单,模式固定,可使几何问题代数化,抽象问题具体化,复杂问题简单化,使解题思路直观明了,在立体几何中有着无比的优越性和重要性．下面举例说明空间向量法在解决立体几何的问题中的多种应用．     

例谈法向量在立体几何中的应用

在全日制普通高级中学教科书《数学》中，平面向量这一章的引言是：“向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学，物理等学科中的许多问题”，从中可以看出向量的地位，它是联系数学与其它学科的纽带，也是走向高等数学的一座桥梁，它在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题．特别是法向量的应用，将使得原本很繁琐的推理，变得思路清晰且规范．本文结合本人的教学实践，谈谈其在立体几何有关问题中的应用．     

射影法在立体几何中的应用

在立体几何中,将某直线或某平面图形垂直投影到某个平面内,或者将某向量投影到一个单位方向向量(如平面的法向量)上,有时会起到意想不到的解题效果．     

浅谈空间向量在立体几何中的应用

立体几何可以有效培养学生的空间想象能力和逻 辑推理能力,因而立体几何在高中阶段的数学教材中占有很大 的篇幅。而目前大部分学生表示对于立体几何的内容的掌握 有一定难度,而将空间向量引入立体几何中正好可以帮助学生 减少一些复杂推理过程,能够提高学生的解题效率,帮助学生 掌握立体几何的内容。本文以人教版教材为例,就高中数学立 体几何与空间向量在高中数学立体几何中的应用展开探讨,希 望能够为其他从事数学教学工作的人员起到借鉴的作用。     

浅谈空间向量方法在立体几何中的应用

空间向量在处理立体几何问题中提供了新的方法,是十分有效的代数工具,特别是当空间想象力不够,辅助线不知从哪儿画,对题目无从下手时,可以尝试建立直角坐标系,用空间向量的方法来转化问题,从而使问题得以解决。本文通过典型的例题来浅谈空间向量法在立体几何中的应用。     

空间向量求解立体几何问题

“向量”工具的引入,给中学数学的解题注入了新的活力,尤其是“空间向量”的引入,对立体几何的的解题可谓是革命性的．向量的自由性,给了立体几何解题的程序化．下面给出空间向量在立体几何解题中的一些简单的结论,这些结论的证明可以直接由相关定理及方向向量的概念、向量的平行与垂直直接推出,这里不作详细证明,本文仅介绍它们的具体应用．