探索数列的奥秘

小明和兴趣小组的同学一起来找Z老师.小明说:最近看了一些中考试题,颇有收获.但有一类问题,解题时把握不大,似乎有瞎猜瞎碰之嫌.例如,把数字按图1所示排列起来,从上开始,依次为第一行、第二行、第三行……中间用虚线围的一列,从上至下依次为1,5,13,25,…则第10个数为.(2005年济     

数列的递推关系在图形中应用

1数阵中的递推关系 例1将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律,数阵中第n行（n≥3）从左向右的第3个数为——．     

第1992个数除以5的余数是几

一列数1,2,4,7,11,16,22,29,……。这列数的组成规律是第2个数比第1个数多1;第3个数比第2个数多2;第4个数比第3个数多3;依次类推。那么这列数左起第1992个数除以5的余数是几?(五、六年级适用)赛题擂台 (北京市第八届小学生迎春杯竞赛决赛试题)1992÷5=398……2,余数是2。说明第1992个数除以5的余数是循环节中的第2个数2。答:第1992个数除以5的余数是2。这列数除以5的余数是以5为周期(即每隔5个数,余数便依次重复出现)的循环节:1,2,4,2,1。解题方法:先算,指定数序数÷5=商……余数。再用规律判定:如被5整除,则指定数的余数是循环节中的第5个…     

无字证明阿基米德平方求和公式亮相安徽中考试题——从安徽2017年中考第19题说起

1 原题呈现 阅读理解: 我们知道,1 + 2 + 3 + … + n ＝ n(n + 1)2 ,那么12 + 22+ 32 + … + n2 结果等于多少呢? 在图1 所示三角形数阵中,第一行圆圈中的数为1,即12;第2行两个圆圈中数的和为2 + 2,即22;……;第n 行n 个圆圈中的数的和为n + n + … +nn个n ,即n2.这样,该三角形数阵中共有n(n + 1)2 个圆圈,所有圆圈中数的和为12 + 22 + 32 +… + n2.     

巧填幻方

将9个整数填入3×3的9格方阵中,使各行各列及对角线的三个数之和都相等,这样的数阵就是3阶幻方.本文将向大家介绍用“巴舍法”填幻方.在9格幻方的每边的中间向外各画一个虚线方格,如图1.然后将—1,—2,—3,…,—9这9个数字按从大到小依次填入3排斜行中,如图2.再把虚线格内的数字填人相对的方格内,如图3,得出幻方.这就是“巴舍法”.利用这种方法,我们再来填一些幻方.     

以“数阵”为背景的高考题

例1(20()8年高考江苏卷)将全体正整数矿一n一6排成一个三角形数阵:2,.n七n一6,”峪叶一厄甲一= nZ一n 6 2 4 56 78 12 13 9 10 14 15 :.第n(n)3)行从左至右的第3个数是nZ一n 6 2小结数阵中的数列问题是近年来颇受人们青睐的一种新题型,解决这类问题的关键是抓住问题中所给各     

问题征解

问题1.9获奖名单江苏省盐城市陈嘉耀李可可顾啸林彭东亚孙璐凌国超滕腾无锡市陶晟段哲君南京市刘俊逸董炜淮安市施文纪旺朱旭之刘婷复习与练习48问题1.10参考答案【问题1.10】将自然数1,2,3,…按图1所示排列:从1开始,右边写2,然后向下转弯写3,再向左转弯写4,5,再向上转弯写6,7,…,得到第1次转弯的是数2,第2次转弯的是数3,第3次转弯的是数5,第4次转弯的是数7,问第30次转弯的是数几?解转角上的数依次写出来是2,3,5,7,10,13,17,….其每相邻两数的差依次为:1,2,2,3,3,4,….图1即每个转角上的数依次是:第1个是2,第2个是3=2+12个数,第3个是5=2+1+2…     

义务教材六年制小数第五册思考题解析与教学建议(续二)

象这样的数图形题应教给学生由大到小或由小到大的有序思考方法,比如第1图,从左边大边看,只有1个三角形,再从这边的上部分看,就有3个三角形(前面第6题已讲数法),然后看这边的下部分,只有1个三角形,这样一共就有1 3 1=5(个),仿此,就可得出第2图有三角形4个.19.摆两行(?),每行10个,从第一行移动1个到第二行,这时第二行比第一行多几个?移动2个呢?移动3个呢?你发现每次移动的数和相差的数有什么关系?这样的思考题是通过实践操作,从观察比较中发现、总结规律,因此,教学时,应先让学生摆一摆,再观察,摆一次,观察一次,引导发现一次,然后概括总结出规律:相差数为移动数的2倍.如     

构造三角形数阵 妙解一类数列问题

本文从一道引例的分析出发,把一个数列的各项依次“竖起”排列成一个“三角形数阵”,并从数阵中发现规律,从而找出解决问题的方法,而且这种方法在处理一类数列问题中具有普遍性和可操作性.引例在数列{an}中,若a1=1,a2=2+3,a3=4+5+6,a4=7+8+9+10,…,则a10=( ).     

小学数学综合练习(二)

三、按照从小到大的顺序排列下面各一年级一、口算:数: 12 19 13 16 11.js 14 15 20 10 172+8=7+3=8一2=0+9二14一10=5一1一4=理十1十2-3+7+8=8一1一1-5+3十2=5十3=10一2=8一7一5一3“9一8=4十5二7一O二19一9二 5一卜1一卜14二 10一5一4= 9一2一6=1十9+4=7十1+1=四、比大小:15比12__11比12_12比16_13比1 0 18比1获__17比18五,填空:14里面有()十,()个一。」_O里面有()一。一个十和九个一组少如均数是()。一个十和五个一组成的数是()。六、找出课本的第。页、第13页、第20‘。…】按顺序填数:页。…13……1{17………20}日{5{开一…二…}训 il…     

首届“求索杯”数学知识应用能力竞赛试题简析

为了培养、激发、考查学生的创新意识和探索能力 ,首届“求索杯”数学知识应用能力竞赛中设计了许多别具创意的、新颖的试题 .现举例如下 .1 探索数字的规律例 1　有一列数 ,前 5个依次是 1,2 ,3,5 ,8,第 6个是 . (初一 )简析　从前 5个数可以看出 ,从第三个数开始 ,每一个数都是它前面两个数的和 ,所以第 6个数应是 13.例 2　一种新产品投放市场已经 5年 ,各年销售量 (单位 :万台 )顺次为 1,2 ,4,7,12 ,至今尚无同类产品与之竞争 ,估计下一年的销售量为万台 .(初二 )简析　从前 5年的销售量可以看出 ,从第三年开始 ,以后每年的销售量都比它…     

代数初步知识

一、用字母表示数1 用含有字母的式子,表示下面各题的数量关系。(1)10与a的和:　　　　　　　　　;10与b的差:　　　　　　　　　。(2)x减去 5 8的差:　　　　　　　　。(3)a的 6倍:　　　　　　　　;a的16:　　　　　　　　。(4)比a多 8的数:　　　　　　　　　　。(5)比x少 14 1的数;　　　　　　　　。(6)7个b相加的和:　　　　　　　　　。(7)比a的 5倍少 3的数:　　　　　　　。(8)x减去 9的差的13:　　　　　　　　。(9)a比b的13多 1,a=　　　　　　　　。(10)b比 27少a,b=　　　　,a=　　　　。2 用含有字母的式子,表示下面表中的未…     

质数、合数、公约数、公倍数问题选讲——初一数学竞赛系列讲座(4)

上小学的时候,我们就知道所有的非零自然数可以分为自然数单位1、质数(素数)和合数三类,注意1既不是质数,也不是合数.100以内的质数,从小到大依次是:2,3,5,7,11,13,17,19,…,83,89,97.质数的个数是不是有限多的呢?在解决这个问题之前,先来看看另一个问题:怎样判断一个已知自然数是不是质数.比如,221是不是质数?你一定会按照下面这个步骤去判断:先用最小的质数2去除221,不能整除;再用3去试试,还是不行;再依次用5,7,11试试,还是不行;13呢?行!221=13×17,所以221不是质数,而是合数.所以,判断一个数是不是质数,只需用比这个数小的所有质数,依次…     

多少人做操

放学后,三年级数学兴趣小组的同学正在讨论《数学》第六册(人教版)第36页的思考题:同学们做操。小林站在左起第7行,右起第13行;从前边数是第8个,从后边数是第14个。每行的人数同样多。做操的同学一共有多少人?小新说:“这很容易,从题中可知,同学们做操站成的队形是方阵,方阵从左至右有7+13=20(行),每行有人数8+14=22(人),所以,做操的同学一共有22×20=440(人)。”俊军说:“同学们确实站成了方阵。但是,小林的左边有7-1=6(行),右边有13-1=12(行),加上小林所在的那一行,一共有6+12+1=19(行);小林前面有8-1=7(人),后面有14-1=13(人),加上小林,…     

观察分析 抓住规律

上期问题答案:要回答711是数列:11,-12,22,-13,-23,33,-23,13,-14,24,-34…中第几个数?就需要掌握所给数列的变化规根据这个数列的变化规律,我们应该可以出”711是数列中的第几个数。通过仔细观察所给数列的特点,可以现如下一些规律:1.数列中的数的分布是正负相间的。2.以1为分母的分数有1个;以2为分的分数有3个;以3为分母的分数有5个4为分母的分数有7个……以10为分母的数有19个……一般的,以n为分母的分数2n-1个。3.对于分母相同的分数来说,如果不符号,只看绝对值,则其分子从1开始依次加1递增到与分母相同,然后又依次减递减到1为止。现在,…     

完全数和一个自然数阵

把自然数排成如下数阵{aij}=1 3 61 0 1 5 2 1 2 83 6…2 5 91 42 0 2 73 5 44…481 3 1 92 63 44 3 5 3…71 2 1 82 5 3 3 42 5 2 63…1 1 1 72 43 2 41 5 1 62 74…1 62 3 3 1 40 5 0 61 73 86……这是一个 ( 2 ,2 )阶的等差数阵[1] ,其通项公式为aij=12 [(i+j) 2 -3i-j+2 ]. ( )定理　所有偶完全数均在数阵 {aij}的第 1行 .证明 :1 73 0年 ,欧拉证明 ,偶完全数可写成( 2 p-1 )·2 p - 1的形式 ,其中 p和 2 p-1都是素数 .令j=2 p-1 ,则 ( 2 p-1 )·2 p- 1=12 j( j+1 ) ,由 ( )知a1j=12 ( 1 +j) 2 -3 -j+2 ]=12 [j2 +2 j+1 -3 -j+2 ]=12 …     

有趣的杨辉三角

“杨辉三角”是指如下一个表：0行 11行 1 12行 1 2 13行 1 3 3 14行 1 4 6 4 15行 1 5 10 10 5 16行 1 6 15 20 15 6 1… ……这个表是我国南宋数学家杨辉首先发现的.由于它的形状是一个三角形,因此叫它为“杨辉三角”.在国外,有人把它叫做“巴斯卡三角形”,他们认为这个表是英国的巴斯卡发现的.其实巴斯卡的发现比杨辉要晚三百多年.杨辉三角的结构特点是：每行首、尾的数字都是1,中间的每个数正好是该数两肩上的两数之和.根据这个特点,我们是容易记住这个表的.杨辉三角是数学之花.它有许多有趣的性质和用途.1“杨辉三角”与“11的方幂”仔细观察“杨辉三角”,不难发现,0行有1=110,1行有11=111,2行有121=112,3行有1331=113,……由此猜测：n行就是11n,这种猜想是正确的.不过要注意的一点是,对第5及以下的各行,要注意进位问题,凡大于或等于10的数必须逢十进一.例如116,第6行的数是1、6、15、20、15、6、1,第三、第四、第五个数进位以后,它就是1771561,而116=1771561.2“杨辉三角”与“2的方幂”现在我们把“杨辉三角”中各行的数分别加起来,得到0行为1.1行为1＋1=2.2行为1＋2＋1=4.3行为1＋3＋3＋1=8.4行为1＋4＋6＋6＋4＋1=16.……观察这组等式,我们发现各行的结果分别为20、21、22、23、24、…,由此我们可以猜想：“杨辉三角”中的第n行各数之和是2n.这是正确的.     

关于自然数平方和的几个模型

自然数的平方和∑ｎｋ =1ｋ2 =16 ｎ(ｎ 1) ( 2ｎ 1)有多种证明方法 ,除了用数学归纳法、变换数学公式、组合恒等式等证明外 ,还可以构造模型来证明 .模型 1　分析求和数 ,ｋ2 (ｋ =1,2 ,… ,ｎ)表示ｋ个ｋ之和 .12 2 2 … ｎ2 形式整齐 .作一等边三角形 ,将各边分成ｎ - 1等份 ,过分点作另两边的平行线 ,可以得到 1 2 … ｎ =12 ｎ(ｎ 1)个分点 .将求和数摆到三角形各交点上 ,ｋ2 摆在第ｋ行的ｋ个位置上 ,表示ｋ个ｋ之和 (图 1( 1) ) .旋转此三角形数阵得到另两个三角形数阵 (图 1( 2 )、1( 3) ) ,每一线段上的数字顺序成等…     

迎新年 解趣题

1 .2 0 0 4年元旦这一天是星期四 ,那么再过 1 +2 -3 +4 +5 -6+7+8-9+… +2 0 0 0 -2 0 0 1 +2 0 0 2 +2 0 0 3 -2 0 0 4天之后的那一天是星期几 ?2 .若a=12 × 1 69m,1a =12 × 43 7n,求 ( 3 6m+74n-1 ) 2 0 0 4的值 .3 .求证 1 1… 12 0 0 4个 1-2 2… 21 0 0 2个 2=3 3… 3 21 0 0 2个 3.4.已知 y1=3x ,y2 =3y1,y3 =3y2,… ,y2 0 0 4=3y2 0 0 3.试求 y1·y2 0 0 4的值 .5 .给出下列数阵 :12　 3　 45　 6　 7　 8　 91 0　 1 1　 1 2　 1 3　 1 4　 1 5　 1 6…　　　…　　…　　…　　　…问 2 0 0 4应排在第几行 ,且在该行上从左向右…     

《用数对确定位置》教学设计

教学内容苏教版课程标准·数学五年级下册第15页。教学目标1.使学生在具体的情境中认识列、行的含义,知道确定第几列、第几行的规则,初步理解数对的含义,会用数对表示具体情境中的位置。2.使学生经历由具体的座位图到抽象成用列、行表示平面图的过程,提高抽象思维能力,发展空间观念。3.使学生体验数学与生活的密切联系,进一步增强用数学的眼光观察生活的意识。教学过程一、设境置疑,产生需要1.(课件出示学生座位图)仔细观察这幅座位图,你知道小军坐在哪里吗&(板书:第4组第3个;第3排第4个)2.设疑:小军的位置没有变,为什么同学们的说法都不一…