错在哪里

<正>问题(2013年第9期问题征解147)设正数x、y满足x³+y3+y³=x-y,求使x3=x-y,求使x²+λy2+λy²≤1恒成立的实数λ的最大值.错解因为正数x、y满足x2≤1恒成立的实数λ的最大值.错解因为正数x、y满足x³+y3+y³=x-y,所以x-x3=x-y,所以x-x³=y+y3=y+y³=y (1+y3=y (1+y²)≥2y2)≥2y².即得y2.即得y²x-x2x-x³≤,且x-x3≤,且x-x³>0,结合x>20,得00,结合x>20,得02+λy2+λy²≤1恒成立,分离     

排列组合题解法举例

一、在应用公式Pmn =n !(n-m) !或Cmn =n !m !(n -m) !时 ,必须使n、m满足关系式n m >0 .【例 1】　已知13 Cyx+2 =15Cy+2x+2 ,求x和y的值 .分析 :已知条件实质是一个方程组 ,反映的是组合数的问题 ,因此x、y必须满足x +2 y+2且y >0的整数 .由组合数公式将原方程组化为 :13 · (x+2 ) !y !(x -2 -y) !　 =15· (x+2 ) !(y+1 ) !(x-y +1 ) !　 =15· (x +2 ) !(y+2 ) !(x -y) !∵ (x-y+2 ) !=(x -y+2 ) (x-y+1 ) !(y +1 ) !=(y+1 ) ·y !(x-y +1 ) !=(x-y+1 )· (x-y) !(y+2 ) !=(y +2 ) · (y+1 ) !∴等式可变形为5(y+1 ) =3 (x-y+2 )x-…     

一道参数求值题的解法

例已知关于x,y的方程组{x-y=m,2x+y=m+1.的解满足x+y=2,求m的值.解法1解关于x,y的方程组{x-y=m,2x+y=m+1得{x=(2m+1)/3,y=(-m+1)/3.代入x+y=2,得     

特殊代数方程的几种解法

一、换元法例1 解方程2x4+3x3-16x2+3x+2= 0. 解析:这是一个一元高次方程,观察方程各项系数的特点,可发现方程中各项系数关于中间项是对称的,且x≠0,因此,给方程两边同除以x2,得2(x2+1/x2)+3(x+1/x)-16=0. 令x+1/x=y,,则x2+1/x2=y2,即得2y2+3y-20=0, 解得:y1=5/2,y2=-4. 代入令式得:x1=2,x2=1/2,     

对称换元法在分式求值中的妙用

当题目中的未知数具有对称关系时,应用基本对称式x+y=a,xy=b进行代换,可使解题过程简化。现以部分试题为例,介绍这种解题技巧在分式求值中的妙用。例1若x-1x=1,则x3-1x3=的值为()(A)3(B)4(C)5(D)6解:设1x=y,则x-y=1,xy=1。故x3-1x3=x3-y3=(x-y)3+3xy(x-y)=13+3×1=4。故选(B)。例2若x2-5x+1=0,则x3+1x3=解:显然由x2-5x+1=0可知:x≠0,故在等式两边同除以x,得x+1x=5,故设1x=y,则有x+y=5,xy=1。所以:x3+1x3=x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)=53-3×1×5=110。例3已知ax+a-x=2,那么a2x+a-2x的值是()(A)4(B)3(C)2(D)6解:由题设可设,ax=m,a-x=n,则有m+n=…     

一道捷克和斯洛伐克数学奥林匹克决赛试题的两种解法

问题若实数x,y,z满足x+y+z=12,x 2+y 2+z 2=54,试求xy的最大值和最小值.[JP3]解法1:由x 2+y 2=54-z 2,可设x=54-z 2 cosθ,y=54-z 2 sinθ.[JP]则x+y+z=12,即12-z=54-z 2(sinθ+cosθ)=108-2z 2 sin(θ+π4),从而|12-z|≤108-2z 2,解得z∈[2,6].所以xy=12[(x+y)2-(x 2+y 2)]=12[(12-z)2-(54-z 2)]=z 2-12z+45.由2≤z≤6,得9≤z 2-12z+45≤25,即xy的最大值为25,最小值为9.     

方程为多元搭桥

面对含二元、三元 ,甚至多于三元未知问题时往往会令我们束手无策 ,但方程思想为我们指明了一条光明大道 .【例 1】　已知x ,y ,z∈R ,x+y +z=π ,x2 +y2 +z2 =π22 ,求证0 ≤x≤2π3 ,0 ≤y≤ 23 π ,0 ≤z≤ 23 π分析 :x ,y ,z为三元尽管具有对称性但让我们无从下手 .怎样才能减少变元从而化归为我们所熟悉的问题呢 ?且看方程解 :由题知　y+z =π-x ①y2 +z2 =π22 -x2 ②①2 -② y·z =x2 -πx+ π24= (x -π2 ) 2 ③由①③可得y·z是方程t2 -(π-x)t + (x-π2 ) 2 =0的两实数根 .∴Δ =(π -x) 2 -4 (x -π2 ) 2 ≥ 0 x· ( 3x-2π)…     

一道竞赛题的推广及简证

文 [1]用函数性质证明了第 31届西班牙数学奥林匹克第 31题 :如果 (x+x2 +1) (y+y2 +1) =1,那么 x+y=0 .该题可作如下的推广 :如果 (x+x2 +m) (y+y2 +m) =m,其中 m∈ (0 ,+∞ ) ,那么 x+y=0 .下面用构造法给出简证 .思路 1——构造对偶式证明 1　由已知 ,m>0 ,(x+x2 +m ) (y+y2 +m) =m,1令 (x- x2 +m) (y- y2 +m) =n,21× 2得 (- m) (- m) =mn,∴ n=m,即有 (x- x2 +m) (y- y2 +m) =m.3由 1得 x+x2 +m=my+y2 +m=- (y- y2 +m) . 4由 3得 x - x2 +m =my- y2 +m=- (y+y2 +m) . 54 +5得 2 x=- 2 y,∴x+y=0 .思路 2——构造等比数列证明 2　 m >0 …     

2010年江苏高考理科数学试题12题详解

已知实数x,y满足3≤xy2≤8,4≤（x2）/（y）≤9,则（x3）/（y4）的最大值是____. 解法1 设x3/y4=（xy2）m（x2/y）n,对比次数得：m＋2n=3,2m-n=-4.解得m=-1,n=2.由已知得：1/8≤1/xy2≤1/3,16≤x4/y2≤81,两式相乘得：2≤x3/y4≤27.当xy2=3且x2/y=9时取最大值27,此时x=3,y=1.     

巧用不等式(组)妙解竞赛试题

本文与同学们谈一谈不等式(组)在数学竞赛中的4种常规应用,以开阔同学们的解题视野,提高同学们的解题能力,下面举例加以说明,供同学们学习时参考.一、用于求值例1已知函数x,y,z满足3x+2y-z=4,2x-y+2z=6.x+y+z<7求x+y+z的值解:将已知等式相加得5x+y+z=10,∴10-4x=x+y+z<7,∴x>3/4,∵y,z为正整数,∴5x=10-y-z≤     

用判别式法求函数值域

判别式法是求函数值域的主要方法之一,方程思想在函数问题上的应用。它的理论依是:函数的定义域是非空数集,将原函数看作以y为参数的关于x的二次方程,若方程有数解,必须判别式Δ≥0,从而求得函数的值。因此,判别式法求函数值域的适用范围虽然泛,但又是有条件制约的。一、判别式法的广泛性⑴判别式法不只适用于形如y=x2+b1x+c1x2+b2x+c2(a12+a22≠0)的函数的值域问题。例1:求函数y=x-2-x√的值域。解:由已知得x-y=2-x√∵2-x≥0∴x≤2,又∵x-y≥0∴y≤2y=x-2-x√两边平方,整理得:x2-(2y-x+y2-2=0则解得y≤94又∵y≤2,故原函数的值域为狖y∈R…     

2006年山东省初中数学竞赛试题参考解答

一、选择题(本题共8小题,每小题6分,满分48分):下面各题给出的选项中,只有一项是正确的,请将正确选项的代号填在题后的括号内.1.已知x2-4+2x+y=0,则x-y的值为()(A)2(B)6(C)2或-2(D)6或-6解:因x2-4≥0,2x+y≥0,所以只能有x2-4=2x+y=0,分别解x2-4=0,2x+y=0,得x=2或-2,y=-2x.从而,得x-y=x-(-2x)=3x,即x-y为6或-6.应选(D).2.一个样本为1,3,2,2,a,b,c.已知这个样本的众数为3,平均数为2,那么这个样本的方差为()(A)8(B)4(C)78(D)74解:已知样本平均数为2,得1+3+2+2+a+b+c=2×7=14,所以a+b+c=6.又由样本众数为3,知a,b,c三数中至少有两个,则另一个…     

2010年高考江苏省数学卷试题解法集锦：江苏卷第12题

题目 设实数x,y满足3≤xy^2≤8,4≤x^2/7≤9,则x^3/y^4的最大值是____. 解法1 观察条件式与被求式的结构得     

一道题目的错解分析

题目 已知P（x,y）是椭圆x^2/4＋y^2/9=1上的点,则2x—y的取值范围是___. 错解：因为P（x,y）是椭圆x^2/4＋y^2/9=1上的点,所以-2≤x≤2,-3≤y≤3,所以-4≤2x≤4,-3≤-y≤3,所以-7≤2x—y≤7．     

例谈函数的单调性

一、比较大小例1若logx23-logx53≥log-y23-log-y53,则A.x-y≥0B.x+y≥0C.x-y≤0D.x+y≤0分析根据所给不等式的结构特征,可考虑构造函数f(t)=logt23-logt53,利用函数的单调性即可确定x与y之间的关系.解令f(t)=logt23-logt53,则易证f(t)在(-∞,+∞)上是增函数,由题设条件得f(x)≥f(-y).根据函数f(t)的单调性,得x≥-y,即x+y≥0.选B.二、求值例2已知x,y是实数,而且满足下列方程组(x-1)3+1997(x-1)=-1,(y-1)3+1997(y-1)=1 则x+y=_____.分析要直接解出x,y显然不大可能,因此必须考虑建立x,y之间的联系.解原方程组可化为(x-1)3+1997(x-1)=-1,(1…     

“因式分解”测试卷

一、选择题1.代数式a3b2,-21a2b3,3a4b3的公因式是().(A)a3b2(B)a2b3(C)a3b3(D)a2b22.把6a2(x-y)2-3a(x-y)3分解因式时,应提公因式().(A)3a(x-y)(B)3(x-y)2(C)3a(x-y)2(D)3a(x-y)33.下列变形中,属于因式分解的是().(A)mx+nx-n=(m+n)x-n(B)21x3y2=3x3·7y2(C)4x2-9=(2x+3)(2x-3)(D)(3x+2)(x-1)=3x2-x-24.下列四个式子中,正确的是().(A)x2-81=x+21x-41(B)-(x+y)2=(-x-y)2(C)4b2-4b-1=(2b-1)2(D)(x-y)3=-(y-x)35.如果x2+ax+9是一个完全平方式,那么a的值可能是().(A)3(B)18(C)±3(D)±66.不论x、y为何实数,x2-2xy+y2+100的值总是().(A)…     

从一题的复杂解法回看线性规划的教学

题目设实数x,y满足3≤xy2≤8,4≤x2y≤9,则x3y4的最大值是___. 本题为2010年江苏高考填空题第12题,公认较好的解法为: 因为4≤x2/y≤9,所以16≤(x2/y)2≤81,① 因为3≤xy2≤8,所以18≤1/xy2≤1/3,② 因为x3/y4＝(x2/y)2·1/xy2, 所以①②两式相乘得2≤x3/y4≤27, 当x＝3,y＝1时满足条件,右边等号能取到,故x3/y4的最大值是27.     

配方法的应用

一、化简、求值例1化简26√2√+3√+5√.解:原式=2·2√·3√2√+3√+5√=(2√+3√)2-(5√)22√+3√+5√=(2√+3√+5√)(2√+3√-5√)2√+3√+5√=2√+3√-5√.例2若x4+1x4=2,求x+1x的值.解:由x4+1x4=2,配方,得(x2+1x2)2=4,所以x2+1x2=2.再配方,得(x+1x)2=4,所以x+1x=±2.二、分解因式例3分解因式x4+4.解:原式=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2).□郭安才三、解方程(组)例4解方程2x2+3y2-4xy-6y+9=0.解:原方程可变形为2(x-y)2+(y-3)2=0,∵2(x-y)2≥0,(y-3)2≥0,∴只有x-y=0,y-3=0时,原方程成立.解得x=3,y=3.故原方程的解是x=3,…     

约束条件错误转换的分析

以下做法是否正确？ 例1 （2010年江苏卷第12题） 设实数x,y满足3≤xy2≤8①,4≤x2/y≤9②,则x3/y4的最 大值是______.解 ②式平方乘①式,得3×24≤x5≤23×34.③②式除以x2后再4次方,得28/x8≤1/y4≤38/x8.④④式乘x3,再将③式代入,得25/34≤x3/y4≤37/24.因此x2/y4的最大值是37/24 例2 已知函数f(x)=ax2 -c,满足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.     

一道流行题的错解分析

问题不等式21≤ax2x+23+x1+b≤121对一切x∈R恒成立,求a、b的值.这是许多数学资料都选为范例或典型练习的一道题,主要解法如下:设y=f(x)=ax2+3x+bx2+1,则21≤y≤121,即函数y=f(x)的值域是[21,121].将y=f(x)变形整理得:(y-a)x2-3x+(y-b)=0,由于原不等式对任意x∈R恒成立,则这个关于x的方程必有实根,Δ≥0,即9-4(y-a)(y-b)≥0,亦即4y2-4(a+b)y+(4ab-9)≤0(※),这个不等式的解为:12≤y≤121,则y1=21,y2=121是方程(※)的两个根,则由韦达定理,得a+b=64ab-94=141ba==15,或ba==15.,这个解法是错误的,举一个反例:取a=b=3,则y=f(x)=3x2x+23+x1+3=3+3…