反证法的应用

要证明一个命题,一般是从已知条件出发,依据已确立的公理、定义和定理,用逻辑推理推导出结论的正确性。这种方法称为直接证法。但有些命题很难直接证明。 [例1] 如图1,由14个大小相同的正方形和七个不涂色的小正方形.但图中有八个涂形组成的图形.试证明,不论如何用剪刀沿着图中直线进行裁剪,总剪不出七个由相邻两个小正方形组成的矩形来. 如     

怎样补充条件?

例　已知 :如图 1 ,∠ACB =∠DBC ,要使△ABC≌△DCB ,只需增加的一个条件是　　　　 (只需填写一个你认为适合的条件 ) .除了证明直角三角形全等的定理“HL”外 ,一般证明三角形全等需三个条件 ,因此 ,首先应看看要证明全等的两个三角形已具备哪些条件 :已知条件有∠ACB =∠DBC ,由图形可得BC =CB(这是一条公共边 ,是“躲”在图形中的一个非常重要的隐含条件 .其他还有公共角、对顶角、邻补角、外角等 ) .这样 ,△ABC和△DCB便有一个角和一条边对应相等 ,只需补充一个条件即可 .下面就应联想证明三角形全等的相关定理1 .联想“…     

浅谈反证法在两直线平行条件下的巧妙运用

在初中数学学习过程中,数学证明是较为常见的。一般证明的方法有直接证明法和间接证明法两种。直接证明法就是从原命题所给出的条件出发,结合各种定理、公式或者是法则等,通过推理和证明获得需要的结论;间接证明法就是指通过证明与原命题等价的命题来推断原命题成立。其中反证法就属于间接证法之一。     

比例式和等积式的证明

证明比例式和等积式是平面几何题最重要的类型之一 ,而学生感到困难的是不知从何入手 ,用什么方法进行证明 ?下面就比例式和等积式的一般证明方法做一些整理 ,供参考 .证明时 ,可按照下面口诀给出的方法及步骤进行 .口诀 :一找二代 ,三线四探 .一找 :就是找三角形相似 ,从而证明比例式或等积式成立 .二代 :即用等量代换、比例代换、等积代换的方法来达到证明的目的 .三线 :利用平行线 ,构造相似三角形或根据平行线分线段成比例定理来证明比例式或等积式成立 .四探 :从已知出发寻求所要证明的途径 .1　三点定位法找三角形相似在一个图形中 ,…     

控制收敛定理的一个处理方法

首先证明一个引理,然后利用该引理及几乎处处收敛型控制收敛定理证明依测度收敛型控制收敛定理。这样结合利用Fatou引理可较简捷证明几乎处处收敛型控制收敛定理的特点,从而为课堂上处理控制收敛定理提供了较理想的处理方法。并借助一个猜想给出了一个由依测度收敛型控制收敛定理直接证明几乎处处收敛型控制收敛定理的方法。     

用闭区间套定理证明拉格朗日微分中值定理

大多数数学分析教材,描述实数连续性的定理──闭区间套定理,只在证明实数连续性定理的等价性和闭区间上连续函数的性质时应用过它。本文应用闭区间套定理证明拉格朗日微分中值定理,一来扩大闭区间套定理的应用范围,二来给出一个不利用洛尔定理直接证明拉格朗日微分中值定理的方法。     

立体几何入门要学数学方法

和平面几何一样 ,立体几何中的推理多为演绎法 ,但在入门阶段学习立几时 ,推理仍然会遇到许多困难 ,其原因是多方面的 ,如公理、定理不会运用 ,几何符号语言如何理解 ,对图形缺乏空间想象力等 .更重要的是立体几何的推理还有许多和平面几何不同的地方 ,这里介绍立体几何入门学习常用的数学方法 ,以供同学们学习时参考 .一、反证法立体几何入门阶段 ,反证法是应用较多的一种证法 ,一般地 ,当命题直接证明有困难时常用反证法 ,其步骤是 :(1)反设 :作出与命题论证相反的假设 ;(2 )归谬 :从假设出发与已知条件一起进行推理 ,导出不合理 (与已知…     

洗尽铅华 返璞归真

<正>1试题呈现(江西中考第22题)课本再现思考:我们知道,菱形的对角线互相垂直。反过来,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?可以发现并证明菱形的一个判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。定理证明(1)为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程。     

控制收敛定理的一个处理方法

首先证明一个引理,然后利用该引理及“几乎处处收敛型”控制收敛定理证明“依测度收敛型”控制收敛定理。这样结合利用Fatou引理可较简捷证明“几乎处处收敛型”控制收敛定理的特点,从而为课堂上处理控制收敛定理提供了较理想的处理方法。并借助一个猜想给出了一个由“依测度收敛型”控制收敛定理直接证明“几乎处处收敛型”控制收敛定理的方法。     

浅谈数学证明题的解法

<正>在高中数学的各类题型中,证明题是比较难的一类,主要是因为证明题对证明过程的书写要求较严格。命题的证明主要分直接证法和间接证法,本文就来谈谈两种最常用的直接证明方法。1.综合法综合法是中学数学证明中的常用方法,其逻辑依据是演绎推理方法。其解题思路是"由因导果",是从已知条件出发,顺着推证,经过一系列的中间推理,最后导出所证结论的真实性。例1已知a,b,c∈(0,+∞),求证:(ab     

用“中间量”证圆中比例线段

对于圆中比例线段问题的证明,除可以利用与比例线段有关的定理(平行线截线段成比例定理、角平分线定理、相似三角形性质、射影定理、相交弦定理、切割线定理等)直接证明以外,也可以利用“中间量”过渡的方法来证明,现列举数例说明.     

平面三角带条件的等式的证明

本文通过介绍“直推法”、“代入法”、“消去法”、“用特殊公式法”等,使学生探索在充分注意条件特点的基础上掌握平面三角带条件等式的各种证明方法.一、带条件等式的证明方法数学证明方法一般指直接证明、间接证明两种.平面三角恒等式的证明常采用直接证明法.直接证明法包括综合法、分析法及分析综合法,一般又多见分析综合法.现对平面三角     

拉格朗日中值定理的另一种证明

格朗日中值定理是微分学中的一个重要定理,其证明方法有多种,但主要是通过构造函数进行的。文章提供了一种新的不通过构造函数进行证明的方法:借助于图形直观,构造一系列闭区间,利用区间套定理和文章提出的引理进行证明。     

“a·b=c·d±e·f”型命题的三角证法

在平面几何中,求证线段等式a·b=c·d±e·f一类命题,是比较繁难的问题之一。本刊84年第1期发表的《“a·b=c·d±e·f”型命题的一种证明方法》。介绍了这类命题的几何证法,本文谈谈这类命题的三角证法。这类几何命题,可用正弦定理证明,也可用余弦定理证明。设a、b、c、d、e、f都是已知图形中的线段,用正弦定理证明a·b=c·d±e·f,其方法是: 第一步,利用正弦定理,考察已知图形中有关的边和角之间的关系,写出c·c±e·f/a·b的三角表达式; 第二步,根据已知条件,将这个三角表达式化简,证明它的值等于1。例1 在△ABC中(图1),已知∠A=2∠B, 求证BC~2=AC~2 AB·AC。证明设∠B=θ,则∠A=2θ,∠C=180°-3θ。在△ABC中,由正弦定理得     

让隐藏的等腰三角形显原形

“等腰三角形的两个底角相等”和“有两个内角相等的三角形是等腰三角形”分别是等腰三角形的性质定理和判定定理.这两个定理在几何证明中应用十分广泛,但许多题目的图形中并没有显示完整的等腰三角形,需要设法让隐藏的等腰三角形显原形.现举例说明. 例1 已知:如图1,AB=AC,∠ABD=∠ACE.     

浅谈反证法在初中数学中的应用

在数学题目的求解中 ,当直接证明一个命题感到困难 ,甚至不能证明时 ,我们可以采用反证法。所谓反证法 ,就是从否定结论 (作出相反判断 )出发 ,把相反的判断作为已知条件 ,在正确逻辑的推理下 ,导致逻辑矛盾 ,根据 (逻辑学 )矛盾律 ,得知想法判断是错误的 ,再根据 (逻辑学上的 )排中律 ,而肯定原命题的判断本身是正确的 ,其逻辑上的理论依据是形式逻辑中的两个基本规律———矛盾律和排中律。下面我们首先来谈谈反证法的证题步骤。反证法的步骤是 :1 )反设 :作出与求证的结论相反的假定。2 )归谬 :由反设出发 ,推出了与公理、定义、定理或题…     

反证法证题释疑

众所周知 ,“解题教学”是提高学生数学素质 ,培养学生解决实际问题能力的重要途径 .各种解题方法的正确理解和掌握又是锻炼学生思维的多样性、敏捷性、灵活性的基础 .近年来 ,各类数学试题中需用反证法证明的命题已屡见不鲜 ,而许多学生又不善于运用这种方法 ,个别学生甚至还是一个空白 ,究其原因 ,主要有以下问题 :一、反证法的含义反证法是指“证明某个命题时 ,先假设它的结论的否定成立 ,然后从这个假设出发 ,根据命题的条件和已知的真命题 ,经过推理 ,得出与已知事实 (条件、公理、定义、定理、法则、公式等 )相矛盾的结果 .这样 ,就证…     

例谈反证法的应用

<正>在证明数学命题时,待证明的结论要么正确,要么错误,两者必占其一。我们可以先假定命题结论的反面成立,在这个前提下,若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,说明命题结论的反面不成立,由此断定命题的结论成立,这种证明方法叫做反证法。当要证明的命题直接证明较困难时,我们可以尝试一下用反证法,也许会收到意想不到的效果。1.用反证法证明结论的否定命题     

高三数学“极限”章教学问答

12　可以给学生归总数学证明有哪几类 ?答 :在数学中常常是从已知条件或者定义、公理、定理出发 ,通过逻辑推理 ,从而使新的结果获得证明 .常用的数学证明方法可以分为演绎法和数学归纳法两大类 .演绎法有下面两种形式 :( 1 )直接证法 .它的格式可以写成“因为……所以……于是     

谈初中几何题的基本方法

几何题目的证法,按获得待证结论的最后一步所用方法可分为:标准图形法、辅助式法、间接法。一、标准图形法符合某定理(定义、公理)含义的图形叫该定理的标准图形,如两条平行线与其截线的组合图形就构成“平行线性质定理”的标准图形,在已知图形中找出或作出某定理的标准图形,从而运用该定理直接推出待证结论的方法,叫标准图形法。