七巧板及其有关的计算

七巧板起源于我国唐宋时代,最早称作“燕几图”.19世纪初,七巧板流传到西方,被称为“东方魔板”(如图1).它成为中华民族智慧的一个代表,得到了全世界的赞誉.七巧板仅有七块组成,即五个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形,但用它可以拼出多种多样的图形.近年来,全国各省、市的中考、竞赛命题都以七巧板为背景,编拟一些有关面积计算问题.现举例说明.例1(2005年山西省)用边长为1的正方形纸板,制成一幅七巧板(如图2①),将它拼成“小天鹅”图案(如图2②),其中阴影部分的面积为()A.38B.176C.12D.34解析:仔细观察会发现:阴影部分的面积…     

例说拼图型中考题

近几年全国各地的中考中 ,出现了一类新题型——拼图型中考题 ,就其出题方式及所考查的知识及能力而言 ,大致分以下几类 :一、考查图形的重新组合、位置变换及空间想象能力的试题例 1　 (2 0 0 2年济南 )如图 1,用一块边长为 2 2的正方形 ABCD厚纸板 ,按照下面作法 ,做了一套七巧板 :作对角线 AC,分别取 AB、BC的中点 E、F,连结EF.作 DG⊥ EF于 G,交 AC于 H .过 G作 GL∥ BC,交 AC于 L ,再由 E作 EK∥ DG,交 AC于 K.将正方形ABCD沿画出的线剪开 .现用它拼成一座桥 ,如图 2 ,这座桥阴影部分的面积是 (　　 )(A) 8.　 (B) 6…     

有关七巧板的两类问题

七巧板是我国古代人民创造的一种益智游戏.七巧板的七块板分别是一个正方形、一个平行四边形和五个等腰直角三角形(如图1)构成,其中,等腰直角三角形有三种不同尺寸.由这七块板可以拼出许多有趣的图形.本文列举两类有关七巧板的问题. 一、拼摆图形问题     

一道中考题的几种解法

有这样一道中考题:如图,正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆,则阴影部分的面积为()A郾仔2a2B郾仔2a2-a2C郾a2-仔4a2D郾仔a2-a2(辽宁省2004年中考试题第7小题)几种解法如下:解法一:直接分割求解.如图1,S阴影=8S弓形AMO=8(S扇形ABO-S△ABO)=8[14仔(2a)2-12(2a)2]=仔2a2-a2解法二:转换构造求解.如图2,S阴影=2·2(S半圆-S△AOC)=4[12仔(a2)2-12·a·a2]=仔2a2-a2图2OABC图1ABMO解法三:转换构造求解.如图3,先求出阴影部分面积,S'阴影=S正方形-2S半圆则该题所求阴影部分面积为S正方形-2S'阴影小结:解法二、三的实质是利…     

利用正方形的对称性解题

正方形是一种比较特殊的图形,它不仅是特殊的矩形,又是特殊的菱形,身兼二者性质.在对称性方面也如此,既是轴对称图形,对称轴有4条;又是旋转对称图形,最小旋转角为90°,同时又是中心对称图形.利用它的对称性可较好地解题.例1已知:如图1,正方形ABCD边长为4,AC是其一条对角线,求图中阴影部分的面积.观察到每个阴影部分的面积都不容易求,注意到AC是正方形的一条对称轴,可将阴影部分的面积对称到一起,构成△ADC或△ABC,这时阴影部分面积=正方形面积的一半=4×4÷2=8.图1图2例2已知:如图2,在正方形ABCD中,P为对角线AC上一点,过P作PE⊥A…     

静化动,难化易

有些数学问题如单纯从静止的观点去思考,很难找到解题方法,但通过“静化动”往往能起到化难为易的作用。例如:两个正方形的面积者为9平方厘米,其中一个正方形的一个顶点在另一个正方形的中心点上,求图中阴影部分的面积(如“图1”所示)     

算与拼——利用多解与多变培养思维能力

初中起始年级的同学可以利用多解题、变式题,培养思维能力,下面举一个例子。例求正方形中阴影部分的面积.(如图1)思路1 两个1/4圆面积的和比正方形面积多出的部分就是图中阴影部分的面积.思路2 从1/4圆面积中减去一块空白部分面积;而一块空白部分面积又等于从正方形面积中减去一个1/4圆的面积.     

欢庆新年——1991

值此1991年来临之际,特拟“1991”数题欢庆新年,并飨读者! 1.如图,把单位正方形的每边分成n等分,再连接每个顶点与相对顶点最近的分点,这样在正方形的内部构成了一个小正方形,小正方形(图中阴影部分)的面积是1/7924181,试证:n=1991。证:如图:     

30分钟智力冲浪

1.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如图,一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面,“锦”表示右面,“程”表示下面,则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的 2.如图所示,4个半径为Ictn的圆紧紧地放在一个正方形内,则阴影部分的面积是_cIn,(保留小数两位).嗽王黝刁 第1题图第2题图第3题图第4题图 3.图中阴影部分的面积是 4.如图,立方体的每个角都被切掉(图中仅画了两个),那么所得到的几何体的棱有()条, (A)24(B)30(C)36(D)12 5.M表示一个两位数,N表示一…     

专题实战

1.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(如图1所示),把余下的部分拼成一个矩形(如图2所示),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证()     

假设和求证

有这样一道小学数学竞赛题:“如图(一),已知正方形ABCD和正方形CEFG,且正方形ABCD的边长是10厘米,则图中阴影部分(三角形BFD)的面积是多少?”老师们常常想到连接CF,则CF∥BD,F点与C点到BD的距离是相等的,所以,阴影部分三角形BFD)的面积与三角形BCD相等,面积是正方形ABCD面积的一半10×10÷2=50(平方厘米)。但是,这种解法实际上用到了中学几何的     

中考拼图题集锦

一拼图与面积携手——数形结合,验证规律利用剪拼前后的两个图形面积保持不变的性质,可以把同一个量(面积)用不同的方法表示出来,从而验证数学规律或公式.例1(内蒙古鄂尔多斯中考题)如图1-1,在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形,把余下的部分沿虚线剪开,拼成一个矩形(如图1-2),分别计算这两个图形阴影部分的面积,可以验证的乘法公式是(用字母表示).     

借个字母来帮忙

一天,小慧、小聪和小灵三人看到这样一道题:如图,求两个正方形内阴影部分的面积(单位:厘米)。三人都感到奇怪的是,题中并没有告诉大正方形的边长。小聪想,会不会是书上印丢了字?因为只要知道大小正方形的边长,再用“去空求差”法,能很快求出阴影部分的面积。例如,假设大正方形的边长是6厘米,总面积就是36 16=52(平方厘米),3块空白部分包括上面2个小三角形和下面1个大三角形,它们的面积分别是6×(6-4)÷2=6(平方厘米)、4×4÷2=8(平方厘米)和(6 4)×6÷2=30(平方厘米)。所以阴影部分的面积就是52-6-8-30=8(平方厘米)。小慧想,或许大正方形的…     

巧用“覆盖法”求阴影部分面积

有关阴影部分面积问题,可以用“覆盖法”求解,这里举例加以说明.例1如图1,在边长为4的正方形ABCD中,以B和D为圆心,4为半径作两条弧,求图中阴影部分的面积.分析本题中的阴影部分可以看作是由两个全等的扇形即扇形ABC和扇形ADC去覆盖正方形ABCD而形成的重叠部分的图形.为了表述的     

巧求阴影面积

1.合并求和法.把一个组合图形看成由几个常见的几何图形合并而成。先分别求出各部分面积,再相加,即得组合图形的面积。如图(1)即可看成“(?)+(?)”,半圆面积3.14×(2÷2)~2÷2与长方形面积3×2的和,即阴影部分面积。 2.去空求差法。如右图(2),把阴影部分面积看作扇形面积减去一个空白半圆面积。即“(?)-(?)=(?)” S_(阴影)=3.14×4~2×1/4-3.14×2~2÷2=6.28(平方厘米) 还有一种组合图形的阴影面积计算,既要“合并求和”又要“去空求差”。如下图,阴影部分面积要先把扇形和梯形面积合并求和,再减去空白直角     

2006年第5期问题解答

25.请加一个条件,将图中的阴影部分面积求出来(.长度单位是厘米)解:由于此题中正方形的边长是圆的直径,所以要求出阴影部分的面积,只要在正方形的边长、面积及圆的半径、直径、面积等这些量中任意知道其中一个,就可以求出阴影部分的面积.如,若增加正方形的面积为25平方厘米这个条件,则可以知道其边长为5厘米,所以阴影部分的面积为25-π×(2.5)2=25-6.25π(平方厘米).26.设三角形三边长分别为a,b,c,且有(1)a>b>c(;2)2b=a c(;3)b为正整数(;4)a2 b2 c2=84.求a c b2的值.解:由条件可得a c=2b,ac=5b22-84.构造一元二次方程x2-2bx 5b22-84=0.所以…     

与七巧板有关的中考题

七巧板是我国民间流传最广的一种益智玩具,它是我们的祖先运用面积的分割和拼补的方法,以及用有相同成分的平面图形等积的原理创造出来的．七巧板是由尺寸关联的一对大直角三角形、一对小直角三角形、一个中直角三角形、一个正方形和一个平行四边形组成的(如图1)．     

改变图形巧求长度

[题目]如图1,阴影部分面积与正方形面积的比是4:9,正方形的边长是6厘米,AC的长是多少厘米? [一般解法]先求出正方形的面积,再根据“阴影部分面积与正方形面积的比     

“重叠减整法”解题例谈

例1.求右图中阴影部分面积(单位:厘米) 分析:图中正方形里有两个完全一样的扇形,阴影部分就是两个扇形的重叠部分,因此,阴影部分面积可以是两个扇形面积之和减去正方形面积。列式:3.14×4~2/360×90×2-4(?)4(?)25.12-16=9.12(平方厘米)     

此处花开香满堂——记一次意外的求面积探究活动

[案例描述]原题:如图1,ABCD和EFGC是两个边长分别为a,b的正方形,用a,b表示阴影部分的面积,并计算当a=4cm,b=6cm时,阴影部分的面积.图1图2这个问题很多学生课前已经完成,我便把阴影部分改成如图2所示的三角形DBF,在其他条件都不变的情况下要求学生计算△DBF的面积.话音刚落,学生