一道加拿大奥赛题的简证

08年第40届加拿大数学奥林匹克有这样一道试题： 已知a＋b＋c=1,a,b,c∈R^＋． 求证：（a-bc）/（a＋bc）＋（b-ac）/（b＋ac）＋（c-ab）/（c＋ab）≤3/2．     

一道IMO试题的再推广

第36届IMO第2题为：已知abc=1,a、b、c〉0,求证1/a^3（b＋c）＋1/b^3（a＋c）＋1/c^3（a＋b）≥3/2①     

两道竞赛题的统一推广

1．2005年中国数学奥林匹克国家集训队测验（一）第6题：设a，b，f，d〉0，且abcd=1，求证：1/（1＋a）^2＋1/（1＋b）^2＋1/（1＋c）^2＋1/（1＋d）^2≥1.[编者按]     

对一道不等式联赛题的研究

2010年全国高中数学联赛二试B卷第三题为：设x,y,z为非负实数,求证：（（xy＋yz＋zx）/3）~3≤（x~2-xy＋y~2）（y~2-yz＋x~2）（z~2-zx＋x~2）≤（（x~2＋y~2＋z~2）/2）~3.本题和一些典型的不等式有一定的渊     

上期参考答案

至少有多少人及格解答过程如下：每道题的答错人数（次序不重要）为：26,21,19,15,9。第三分布层：答错3道题的最多人数为（26＋21＋19＋15＋9）/3=30。第二分布层：答错2道题的最多人数为（21＋19＋15＋9）/2=32。第一分布层：答错1道题的最多人数为（19＋15＋9）/1=43。     

运用构造法巧证一道IMO竞赛题

题目设a,b,c∈（0,＋∞）,且abc=1,求证：1/a3（b＋c）＋1/b3（c＋a）＋1/c3≥3/2.（a＋b）这是1995年第36届IMO竞赛试题的第2题．该题的证明方法较多,为简化证明,先作等价     

一个重要不等式的给出、证明及应用

探究2008年陕西省理科高考题第22题的求解过程中,对于问题（Ⅲ）证明：a1＋a2＋…＋an〉n^2/n＋1（注：由问题（I）可求得an=3^n/3^n＋2,n∈N^＊））,不少资料提供的解答参考     

一道美国数学奥林匹克国家队选拔考试题的再推广

赛题 正实数a,b,c满足abc=1,求证： 1/a^5（b＋2c）^2＋1/b^5（c＋2a）^2＋1/c^5（a＋2b）^2≥1/3. 这是2010年美国数学奥林匹克国家队选拔考试题的第2题,     

一道IMO试题的又一漂亮推广

第49届IMO中有这样一道不等试证明题： 设实数x，y，z都不等于1，满足xyz=1，求证：（x/x-1）^2＋（y/y-1）^2＋（z/z-1）^2≥1.（1）     

对一道全俄奥林匹克试题的探究

1994年第20届全俄中学生数学奥林匹克最后阶段竞赛九年级第一天的第1题（称作题1）如下：题1若（（x^2＋1）（1/2）＋x）（（y^2＋1）（1/2）＋y）=1,证明：x＋y=0.笔者一直对题1感兴趣,它最早进入我国应该是1995年[1].笔者后来又见文[2]-[6]等,近日拜读文[7],再次勾起笔者对此题的探究.     

一道习题的拓展

北师大版实验教材《数学》（选修4—5）第20页练习2第1题题目如下：已知a〉0,b〉0,求证：（a＋b）（1/a＋1/b）≥4.     

从一个问题开始，以一个问题结束

《数学教学》2009年第6期数学问题与解答第768题：已知a、b、c是满足a2＋b2＋c2=1的正数，求证：1/a2＋b＋1/b2＋c＋1/c2＋a≥9/2（／3-1）.     

第10个优美不等式之“源”与再推进

安振平老师在文[1]中提出的26个优美不等式,其中的第10个是： 设a、b∈（0,1）,求证：a/1-a^2＋b/1-b^2≥a＋b/1-ab＋a＋b/1-ab（a-b/1＋ab）^2 1 “源” 抚今追昔,勾起了笔者对当年的一道高考题和一个数学问题的回忆：考题 已知函数 f（x）=tanx,x∈（0,π/2）.     

对一道数学竞赛题的探讨

2007年台湾数学能力竞赛决赛（笔试一）第1题为： 试求使√2006/x＋y＋√2006/y＋z＋√2006/z＋x为整数的正整数解.文献[1]中的《数学奥林匹克高中训练题（109）》第二试第2题把它改编为：     

数学问题1767的推广与加强

l《数学通报》2009年第1期“数学问题的解答”1767：n≥2,n∈N＊,求证：（1-1/（3×4））（1-1/（4×5））…（1-1/（（n＋1）×（n＋2））＞√2/2.     

一个错误结论的更正

本刊2008年第12期文（1）例6中的结论：asinx＋bsosx=√a^2＋b^2 sin（x＋arctan b/a）是错的．     

对一道IMO题的再研究

（第29届IMO第6题）已知正整数a,b满足（ab＋1）｜（a^2＋b^2）,求证：a^2＋b^2/ab＋1等是完全平方数． 该题在当时引起一片讨论声,原因在于该题拦倒了主试委员会成员和一些数论专家．丁兴春老师在文[1]中提出并解决了更难的问题：求满足（ab＋1）｜（a^2＋b^2）的所有正整数a,b的解．     

深邃的背景 深刻的启示——2013年湖北省理科数学压轴题的另解与启示

2013年普通高等学校全国统一考试湖北卷理科数学第22题：设n是正整数,r为正有理数． （1）求函数f（x）=（1＋x）^r＋1-（r＋1）x-1（x〉-1）的最小值;（2）证明：n^r＋1-（n-1）^r＋1/r＋1＜n^r＜（n＋1）^r＋1-n^r＋1/r＋1;（3）设x∈R,记[x]为不小于x的最小整数,例如[2]=2,[π]=4,[-3/2]=-1.     

四类平均数图解的进一步探究

问题 已知a，b都是正数，求证： 2/（1/a）＋1（1/b）≤√ab≤a＋b/2≤√（a^2＋b^2）/2,记为H≤G≤A≤Q，即：调和平均（H）≤几何平均（G）≤算术平均（A）≤平方根平均（Q）．这是高中数学第二册（上）中的一道习题，也是高中数学实验教材第五册第111页探究的一部分．本将给出两种非常直观的几何证法，并作进一步的引申．[第一段]     

有机物燃烧计算归纳

有机物完全燃烧的通式： 烃：CxHy＋ （x＋y/4） O2→xCO2＋（y/2） H2O 烃的衍生物：CxHyOz＋ （x＋y/4-z/2）O2→xCO2＋ （y/2） H2O