一道数学选择题的解法及评析

'95高考第12题:等差数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n与T_n,若S_n/Tn=2n/(3n 1),则(?)a_n/b_n等于(A)1(B)(6~(1/2))/3(C)2/3(D)4/9.应该说这是一道考察基础且具有一定灵活性的好题.就解法看,(i)从熟悉的关系a_n=S_n-S_(n-1)着眼,由题设可转化为S_n=kn·2n.T_n=kn·(3n 1)(k∈R且k≠0)得a_n=2k(2n-1).b_n=2k(3n-1)∴(?)2k(2n-1)/2k(3n-1)=(?)(2n-1)/(3n-1)=2/3.(ii)从灵活利用公     

此题有玄机(高二、高三)

在复习“三角函数”时,老师讲了一道三角题已知sin3α/sin(π/6-3α)=cos3α/cos(π/6-3α)=2~(1/3)(α≠kπ/4,且k∈Z),求tan2α.老师给出的解答:由已知可得     

指导高三文科学生学好数学的策略

1.点拨盲点,深化概念例1(数学第一册下第92页第11题)函数y=sin(-3x π/4),x∈R在什么区间上是减函数·我板书学生作业:由2kπ π/2≤-3x π/4≤2kπ 3π/2,k∈Z得此函数的单调减区间为〔-2kπ/3-5π/     

巧用“1”求值

1.巧乘“1”求值 例1 (2 1)(2~2 1)(2~4 1)…(2~k 1)(k为自然数)的值是( ). (A)4~2-1 (B)2~(2~(2k))-1 (C)2~(2~k)-1 (D)2~k-1 分析:此题若直接计算是很繁难的.如果能想到第一个括号前有一个“1”,而1=2-1,利用平方差公式,问题立即可解。     

从一道易错的习题看双基的重要性

熟练地掌握基础知识和基本技能,是学好数学的必要条件。从上面例子中可看出“双基”的重要性。例用数学归纳法证明,对任意的自然数 n,(3+5~(1/2))~(n)+(3-5~(1/2))~(n)能被2整除。证法一:当 n=1时,(3+5~(1/2))~(n)+(3-5~(1/2))~(n)=6,能被2整除。设 n=k 时,(3+5~(1/2))~(k)+(3-5~(1/2))~(k)能被2整除;当 n=k+1 时,(3+5~(1/2))~(k+1)+(3-5~(1/2))~(k+1)=(3+5~(1/2))~(k+1)+(3+5~(1/2))(3-5~(1/2))~k+(3-5~(1/2))~(k+1)-(3+5~(1/2))(3-5~(1/2))~k=(3+5~(1/2))[(3+5~(1/2))~(k)+(3-5~(1/2))~k]+(3-5~(1/2))~k(3-5~(1/2)-3-5~(1/2))∵(3+5~(1/2))~(k)+(3-5~(1/2))~(k)能被2整除,且     

直线问题中的陷阱分析

一、忽视斜率不存在的情形例1直线l过点P(2,1)且与直线y=3~(1/2)x 1的夹角为30°,求直线l的方程．错解：设直线l的斜率为k,则|(k-3~(1/2))/(1 3~(1/2)k)|=tan30°,解得k=(3~(1/2))/(3),故所求直线方程为y-1=(3~(1/2))/(3)(x-2),即3~(1/2)x- 3y 3-2 3~(1/2)=0．     

一道“希望杯”赛题的推广及应用

我们称反比例函数y=k/x(k≠0)的图象为等轴双曲线,它的方程与x2-y2=±a2(a≠0) 相去甚远,为何也称之为等轴双曲线?看过下面几个例题你就会对此有了新的认识．题1 求证:平面内与两个定点 F1(-2~(1/2),-2~(1/2)),F2(2~(1/2),2~(1/2))的距离的差的绝对值是常数22~(1/2)的点的轨迹方程是xy=1．     

巧算

竞赛中的计算问题,往往需要巧算. 例 (2001年“华杯赛”中学组一试第1题)计算1~2/1×3+2~2/3×5+3~2/5×7…+1000~2/1999×2001. 解上式中的一般项是k~2/(2k-1)(2k+1),其中,k是自然数1,2,…,1000中的任一个. 由于(2k-1)(2k+1)=4k~2-1,所以     

一道数学题剖析

题:当k为何值时,解析式 f(x)=x~2+(kx~2+2kx+1/2k+1)~(1/2)是实数集上的函数?写出函数的定义域。乍一看来问题不难,然而学生在解此题的过程中往往出错或者解答不全面。原因是不能很好地地利用数形结合以正确地寻觅全面解决问题的方法步骤,现将此题的分析过程和解题步骤叙述如下: 分析当且仅当f(x)的表达式中被开方式     

一道不等式的推广及证明

高中代数有这样一道不等式:题 求证 2~(1/2) 7~(1/7)<3~(1/3) 6~(1/6).对此不等式我们注意到高中代数有这样一道不等式:题 求证2~(1/2) 7~(1/7)<3~(1/3) 6~(1/6).对此不等式我们注意到2 7=3 6,7-6=3-2.所以,我们拟将不等式推广为:题 对任意正实数m,有:(x-m)~(1/(x-m)) (x n)~(1/(x n))<(x-m 1)~(1/(x-m 1)) (x n-1)~(1/(x n-1))(x>m,n>1-m).证明 构造如图Rt△ABC和     

“换句话说”的妙用

题设L:y=kx+m是双曲线x2-y2/2=1的切线,则斜率k的范围是(A)|k|>2~(1/2) (B)|k|<2~(1/2)(C)|k|≥2~(1/2) (D)不确定错解:∵L:y=kx+m是x2-y2/2=1的切线,联立得(1-k2/2)x2-kmx-(m2/2+1)=0,     

数学奥林匹克初中训练题(20)

第一试(总分70分) 一、选择题(每小题7分,共42分) 1.已知a-1/a=1/b-b=3,且a b≠0。则,a/b~3-b/a~3的值是( )。 (A)21(5~(1/2)) (B)21(12~(1/2)) (C)33(5~(1/2)) (D)33(13~(1/2)) 2.如果二次函数y=x~2 (k 2)x k 5与x轴的两个不同交点的横坐标都是正的,那么,k值应     

一道不等式问题的多种证法

第48届 IMO 中国国家集训队测试题(四)第1题:设正实数 a_1,a_2,…,a_n 满足 a_1 a_2 … a_n=1.求证:(a_1a_2 a_2a_3 … a_na_1)×((a_1/a_2~2 a_2) (a_2/a_3~2 a_3) … (a_n/a_1~2 a_1))≥n/(n 1)此题题型新颖,结构优美.本文给出了此题的6种证法,下面的证法1是由笔者给出的.证法1 首先由 Cauchy 不等式易得下述引理.引理1 设 a_1,a_2,…,a_n 是实数,x_1,x_2,…,x_n 是     

浙江省1990年高中数学夏令营考试试题及解答

第一试(二小时)(1990.8.9上午) 1.设正整数k使集合 z={3~(31),3~(31) 1,…,3~(31) k}可以分解为三个不相交的子集A、B和C的并集且这三个集的元素之和等于同一个值,求证k(?)1(mod3)。试找出一列具有这样性质的k。(20分) 证明:∵3~(31) (3~(31) 1) … (3~(31) k)=(k 1)·3~(31) (1 2 … k)=(k 1)·3~(31) 1/2k(k 1)     

一个错误的例题

本刊89年第二期第16页《分子有理化在解题中的应用》中的例1是错误的。题中的已知条件是(x~3 6)~(1/2)-(x~3)~(1/2)-4=5,解的结果是(x~3 6)~(1/2) (x~3-4)~(1/2)=2,显然应有:(x~3 6)~(1/2) (x~3-4)~(1/2)>((x~3 6)~(1/2)-(x~3)~(1/2)-4。所以题目是错的。     

对一道竞赛题的看法

1987年全国数学联合竞赛试卷第一试第一题第二小题: 边长为5的菱形,它的一条对角线长不大于6,另一条不小于6,则这菱形两条对角线长度之和的最大值是: (A)10 2~(1/2)(B)14(C)5 6~(1/2)(D)12 本人认为该题“另一条不小于6”这个条件是多余的,其理由如下: 设此菱形的两条对角线长分别为x、y,且y≤6。由于菱形对角线互相垂直,所以     

1998高考数学压轴题引起的思索

1998年全国高考数学文科第(25)题与理科第(25)题是一对数列与不等式巧妙结合的“姊妹题”,解题的关键(亦是难点)在于分别证明关于自然数n的不等式: (1 1)(1 1/3)…(1 1/(2n-1)>(2n 1)~(1/2), (1) (1 1)(1 1/4)…(1 1/(3n-1)>(3n 1)~(1/3), (2) 笔者尝试着寻找以上两式的简便而统一的证法,探究的结果是下述定理的发现, 定理 若n,k∈N ,且k>1,则     

对2007年浙江省高考数学卷理科第21题的分析

试题已知数列{a_n}中的相邻两项 a_(2k-1),a_(2k)是关于 x 的方程 x~2-(3k 2~k) 3k·2~k=0的2个根,且 a_(2k-1)≤a_(2k)(k=1,2,3,…).(1)求a_1,a_3,a_5,a_7;(2)求数列{a_n}的前2n 项和 S_(2n);(3)记 f(n)=1/2((|sinn|)/(sinn) 3),T_n=((-1)~(f(2)))(a_1a_2) ((-1)~(f(3)))/(a_3a_4) ((-1)~(f(4)))/(a_5a_6) ... ((-1)~(f(n 1)))/(a_(2n-1)a_(2n)),求证:1/6≤T_n≤5/24(n∈N~*).1 特点分析2007年浙江省高考数学试题在"能力立意"思想的指导下,在坚持考查学生基础知识、基本方法的同时,特别突显对学生思维能力的考查,其中理科第21题就是一个亮点.该试题以等差数列、等比数列为基础,将数列、方程、不等式、函数、三角等知识巧妙结合,体现了命题者的匠心独运和超凡构思.试题既考查学生对相关知识的掌握情况,又考查学生能否     

关于复合二次函数的极值问题

复合二次函数y=aφ~2(x) bφ(x) c(a≠0)的极值问题,在初等数学中占有非常重要的地位。先看一个例子: 已知x_1,x_2是方程x~2-(k-2)x (k~2 3k 5)=0(k是实数)的两个实根,x_1~2 x_2~2的最大值是(A)19,(B)18,(C)5 5/9(D)不存在。有人这样解:据韦达定理x_1 x_2=k-2,x_1x_2=k~2 3k 5,因此有 f(k)=x_1x~2 x_2~2=(x_1 x_2)~2-2x_1x_2=-(k-2)~2-2(k~2 3k 5)即 f(k)=-k~2-10k-6它二次项系数为负,因此有最大值 4ac-b~2/4a=4(-1)(-6)-(-10)~2/4(-1)=19     

对2003年全国高考题(12)的辐射式范例数学设计

范例一个四面体的所有棱长都为2~(1/2),四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( ). (A)3π(B)4π(C)3×3~(1/2)π(D)6π这是2003年全国统一高考数学文理试卷的第(12)题,许多考生在此因思路闭塞、