浅谈数学归纳法的逻辑依据和逻辑结构

数学归纳法是数学里一种基本的、重要的证明方法,了解它的逻辑依据和逻辑结构对于学好这种方法,培养学生观察分析能力,归纳假设能力、逻辑推理能力都有很大的帮助。 我们通常使用两种推理方法,一种是从一般到特殊的推理方法,即演绎法;另一种是从特殊到一般的推理方法,即归纳法。它们是完全不同的两种思维方式。 归纳法又分不完全归纳法和完全归纳法,而完全归纳法要求对每一个对象(所研究的某一类问题)都进行考察。 初等数学中的数学归纳法属于完全归纳法,是证明某些与自然数有关的数学命题的一种重要方法,必须对于任意的自然数都进行考察后才能对命题下结论。 它主要分二步: 第一步:验证当n取第一个值(例如n=1)时命题成立。 第二步:在当n=k时命题成立的假设下,证明n=k+1时命题也成立。 若以上两步均成立,就可下结论:对于任意的自然数,命题都成立。 由于学生很少遇到这类问题,常常怀疑这种证法是否有效,提出:为什么通过这样两步就能实现对一切自然数的验证呢?由于弄不清道理,只好死套格式,发生各种各样的错误。 如:1.用数学归纳法证明     

数学归纳法的教学探讨

数学归纳法是一种证明关于自然数的命题的重要方法,学生在初学时往往感到困难。他们不大能理解数学归纳法的精神实质,常常对它产生怀疑,怀疑这种证法是否真正可靠,他们不大相信数学归纳法能把所有的自然数都归纳过,都验证过。认为它还是不完全归纳法,有的     

高观点下的数学归纳法

<正>数学归纳法(Mathematical Induction)是一种数学证明方法,通常被用于证明某个给定命题在整个(或者局部)自然数范围内成立.除了自然数以外,广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构,例如:集合论中的树.这种广义的数学归纳法应用于数理逻辑和计算机科学领域,称作结构归纳法.虽然数学归纳法名字中有"归纳",但是数学归纳法并不是不严谨的归纳推理法,它是属于严谨     

数学归纳法教学初探

数学归纳法是一种证明与自然数n有关的数学命题的重要方法。是通过有限次的验证、假设和论证，来代替无限次的事例的验证，达到严格证明命题的目的。也就是把从某些特殊情况下归纳出来的规律，利用递推的方法，从理论上证明这一规律的一般性。在教学中，发现有一部分学生不知道在什么情况下用数学归纳法；不会用数学归纳法证明命题；或者在证明过程中不能“自始至终”（即证明步骤不完全）；或者没有用到归纳假设，有的虽然按照数学归纳法的方法和步骤对命题进行了证明，也是照葫芦画瓢，没有真正理解了归纳法原理，对用数学归纳法所证明的…     

怎样使学生理解数学归纳法

数学归纳法是数学教材当中的一个重要内容,也是教学的一个难点,要使学生真正掌握好这一推理工具,关键是要让学生充分地理解它。以下是根据自己的教学实践和体会,谈谈如何使学生理解数学归纳法。 一、先认清一种并不可靠的推理方法——不完全归纳法 数学归纳法是科学的推理方法,但有相当一部分学生难于理解。因为它针对的是关于自然数的命题,而自然数是无穷尽的,这类命题要被证明对每一个自然数都会成立,便要涉及到人类思维克服有限性的古老问题。数学归纳法实质是一种对于无限的科学归纳法。 在实际教学中,必须先用不完全归纳法为“数归”的引入作铺垫。不完全归纳是对有限对象的经验式的     

数学归纳法证明不等式若干技巧

数学归纳法是证明一些与自然数有关命题的基本方法。是数学证明的有力工具。但是用数学归纳法证明不等式时,却往往受挫。不过若能掌握若干技巧,将会使证明获得成功,到达胜利的彼岸。本文试对数学归纳法证明不等式的若干技巧举例阐述之。一、改变命题形式例1 求证:当n是不小于3的整数时,有n~(n 1)>(n 1)~n……(Ⅰ) 分析:若用数学归纳法证明,要证明传递性:设n=k时有k~(k 1)>(k 1)~k,则n=k 1时,(k 1)~(k 2)是     

不完全归纳法的应用举例

不完全归纳法是通过对一类事物中的部分个体的研究 ,推断出这一类事物的一般性结论的推理方法 .不完全归纳法的过程通常是 :选取个体———观察分析———推测结论 .不完全归纳法对于发现问题的结论和探索解题思路有独到的作用 ,对于解选择题和填空题十分适用 ,对于某些与自然数有关的解答题也可帮助探索 ,但要用数学归纳法证明 .下面通过例题来说明不完全归纳法的应用 .一、利用不完全归纳法解选择题例 1　已知数列 {ａｎ}满足ａｎ+1 =ａｎ -ａｎ- 1 (ｎ≥ 2 ) ,ａ1 =ａ,ａ2 =ｂ,记Ｓｎ =ａ1 +ａ2+… +ａｎ,则下列结论正确的是 (　　 )(Ａ)…     

归纳法的若干问题研究

1 问题的提出 归纳法是一种特殊的推理方法。归纳法的定义通常有: 定义1.归纳就是由特殊推到一般的过程。 定义2.归纳就是通过对某类事物中的若干特殊情形的分析得出一般结论的思维方法。 遵此定义,有的数学读物认为归纳法只包括简单归纳法与完全归纳法,不包括类比法;有的资料将“归纳法”与“归纳推理”视为相同概念;还有的认为归纳法是一种特殊的推理和论证方法……由于逻辑学中的归纳法是中学数学体系中重要的思想方法之一,澄清对归纳法的种种模糊认识,对数学教育工作是确有必要的。     

数学归纳法的拓展及应用

数学归纳法是证明与自然数有关的数学命题的一种完全归纳法,由于数学命题有种种形式和多种不同的实际需要,应用数学归纳法时,也要做出相应的变化,由此得到数学归纳法的一些其他形式.常见的形式一般有四种：第一数学归纳法,第二数学归纳法,倒推数学归纳法,螺旋数学归纳法.再介绍两种形式：跳跃数学归纳法和二元数学归纳法.并由皮亚诺公理和最小数原理给以证明,每种形式分别给出例题,介绍他们的应用.     

浅谈数学归纳法及其运用

数学归纳法(也称完全归纳法)是证明与自然数有关命题的一种重要论证方法,也是数学证明中的一个强有力的工具,在研究线性代数以及其他数学分支中都经常要用数学归纳法.一、数学归纳法的陈述形式假设有一个关于自然数n的命题,它当n取第一个值n.(如n_0=1或2等)时,结论正确;又苦假设它当n=k时(k∈N,且K≥n_0)时、结论正确后,可以推出n=k 1时,结论也正确,则该结论对一切自然数都正确.     

数学归纳法教学设计(第一课时)

<正>教学目标1.理解数学归纳法的原理,了解完全归纳法与不完全归纳法的联系与区别;2.用数学归纳法证题时能规范书写;3.能体验数学归纳法的本质是用有限步的证明达到无限步验证,完成了从有限到无限的过渡.感悟数学归纳法是中国文化(善于归纳)与西方文化(长于推理)的完美结合.     

浅谈数学归纳法的逻辑基础

数学归纳法的逻辑基础目前有三种看法,一部分学者认为数学归纳法的逻辑基础是归纳法,一部分学者认为是演绎法,还有一部分学者认为归纳法和演绎法二者结合是数学归纳法的逻辑基础。对于此可以从数学归纳法的由来和美中逻辑基础的代表思想及其发展过程进行探讨。     

数学归纳法教学刍议

一、深刻理解数学归纳法原理数学归纳法是一种严格的证明方法,专门用来论证与正整数相关的命题。要证明命题:     

归纳法的意义及应用

归纳法是由考察若干个别事物或个别现象的属性，从而作出一般性的结论的一种推理方法，简单地说，它是从特殊到一般的推理方法。归纳法主要有完全归纳法、不完全归纳法和一种特殊形式的完全归纳法——数学归纳法。     

数学归纳法浅谈

数学归纳法是数学证明中的一种重要方法,它适用于可以递推的有关自然数的命题,在初等数学和高等数学中都有广泛的应用。 数学归纳法是通过如下两个步骤来证明某些与自然数n有关的数学命题的证明方法: (1)验证当n取第一个值(如n=1)时,命题为真; (2)假设当n=k(k∈N)时命题为真,证得当n=k+1时命题也真;     

数学归纳法运用中的几个问题

数学归纳法是数学证明中常用的一种重要推理方法。它是建立在自然数性质的基础上。有相当一部分涉及自然数的命题,用数学归纳法得到简捷地证明。因该方法是从特殊到一般的推理方法,所以,用数学归纳法而得证的命题往往带有一般性的结论。常用的数学归纳法主要有二种形式。它们是:数学归纳法第一形式。设 P(n)是一个     

数学归纳法小议

本刊1986年第二期禹佳同志的《这是数学归纳法吗?》一文,从一个侧面纠正了一些错用数学归纳法的情形,十分必要。但文中关于“一个与自然数n有关的命题P(n),要证它对一切自然数n都成立,一般有两种证法,一是数学归纳法,另一是直接证法”的说法,笔者认为欠妥。因为文中所说“直接证法”的实质是什么并未点明。我认为凡是证明一个与自然数n有关的命题(以下简     

数学归纳法复习应做到“三学会”

<正>数学归纳法是一种重要的证明方法.虽然近年来对数学归纳法的考查热度已降低,但是在全国各地的高考数学卷中依然有所体现.本文试图通过对一些试题的分析,结合自身经验,提出数学归纳法复习应做到"三学会".一、学会用好归纳假设数学归纳法的证明过程是一个"连环套",归纳过渡是证明的关键,归纳假设是过渡的基础.1.不能不用归纳假设例1用数学归纳法证明:     

关于数学归纳法的几个问题

数学归纳法在中学课程中就开始学到了。但正如许多其它数学内容一样,要想在开始学习时就能深刻地理解其本质是很困难的。笔者在教学中见到,学生每遇数学归纳法的问题,常有不甚明了者。因此,本文就来讨论一下这方面的问题。一、数学归纳法的两种形式设 P(n)是关于自然数 n 的某个命题,如果要证明 P(n)对所有的自然数成立,一个重要的方法是:(1)验证 P(1)为真(1称为归纳初值);     

浅谈数学归纳法

数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是:1°验证:n=1时,命题成立;2°在假设当n=k(k≥1)时命题成立的前提下,推出当n=k+1时,命题成立.根据1°,2°可以判定命题对一切正整数n都成立.数学归纳法的两个步骤("归纳奠基"和"归纳递推")是缺一不可的.使用数学归纳法证明时,只有把两个步骤结